Probabilidade · 1.º ano (indicativo)

Como padronizar uma variável normal?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Padronizar uma variável normal X de média μ e desvio padrão σ é transformá-la em Z = (X − μ) ÷ σ. Subtrai-se a média e divide-se pelo desvio padrão. A nova variável Z tem distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão 1, e o seu valor diz a quantos desvios padrão x está da média.

Quando se aplica

Padroniza-se sempre que se quer ligar uma normal qualquer à normal padrão, a única cuja tabela está publicada. Também se padroniza para comparar resultados que vêm de escalas diferentes (por exemplo, uma nota de Matemática e outra de Física), pois o valor z mede a posição relativa de cada resultado no seu grupo.

Pré-requisitos

  • Conhecer a média μ e o desvio padrão σ da variável. Se o enunciado fornece a variância σ2, calcule a raiz quadrada.
  • Saber que X tem distribuição normal (ou aproximadamente). Padronizar uma variável que não é normal dá um z válido como medida de posição, mas a tabela da normal deixa de servir.
  • Fazer operações com números negativos e decimais.

Porque funciona

Subtrair μ desloca a curva para que o centro fique em 0; dividir por σ comprime ou estica a escala para que o desvio padrão passe a 1. Uma normal sujeita a uma transformação linear (somar uma constante e multiplicar por outra) continua normal, e por isso Z ~ N(0, 1).

Padronização e transformação inversa

z = (x − μ) ÷ σ x = μ + z·σ Intervalos: a ≤ X ≤ b equivale a (a − μ)/σ ≤ Z ≤ (b − μ)/σ

Como interpretar o valor de z

zSignificado
0x é igual à média
1x está 1 desvio padrão acima da média
−2x está 2 desvios padrão abaixo da média
0,5x está meio desvio padrão acima

Método passo a passo

  1. Anote μ e σ (não σ2).
  2. Subtraia a média ao valor: x − μ. O sinal indica se está acima (+) ou abaixo (−).
  3. Divida por σ: z = (x − μ) ÷ σ.
  4. Interprete o sinal e a grandeza de z.
  5. Se o enunciado dá um intervalo, padronize as duas fronteiras; a desigualdade mantém o sentido porque σ > 0.
  6. Se quiser voltar à escala original, use x = μ + z·σ.
  7. Verifique: repondo z na fórmula inversa deve obter o x inicial.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Padronizar vários valores

Enunciado: X é normal com média 80 e desvio padrão 12. Padronize x = 104, x = 68 e x = 80.

Resolução:

  1. x = 104: z = (104 − 80) ÷ 12 = 24 ÷ 12 = 2.
  2. x = 68: z = (68 − 80) ÷ 12 = −12 ÷ 12 = −1.
  3. x = 80: z = 0 ÷ 12 = 0.

Resposta: z = 2, −1 e 0. Verificação: 80 + 2 × 12 = 104 e 80 − 1 × 12 = 68.

Exemplo 2 — Comparar duas disciplinas

Enunciado: A Maria teve 14 em Matemática, onde a turma teve média 11 e desvio padrão 2. Teve 15 em Física, onde a média foi 13 e o desvio padrão 4. Em qual disciplina se destacou mais?

Resolução:

  1. Matemática: z = (14 − 11) ÷ 2 = 1,5.
  2. Física: z = (15 − 13) ÷ 4 = 0,5.
  3. Compare os valores de z: 1,5 > 0,5.

Resposta: destacou-se mais em Matemática, apesar de a nota absoluta ser menor. Verificação: em Matemática ficou 1,5 desvios acima da média da turma; em Física, só 0,5.

Exemplo 3 — Converter um intervalo e voltar atrás

Enunciado: O tempo de montagem de uma peça é normal com média 80 s e desvio padrão 5 s. (a) Escreva o intervalo 70 ≤ X ≤ 90 em termos de Z. (b) Que tempo corresponde a z = −1,5, se a média for 60 e σ = 8, noutra linha de produção?

Resolução:

  1. (a) za = (70 − 80) ÷ 5 = −2 e zb = (90 − 80) ÷ 5 = 2. O intervalo é −2 ≤ Z ≤ 2.
  2. (b) x = μ + z·σ = 60 + (−1,5) × 8 = 60 − 12 = 48.

Resposta: (a) −2 ≤ Z ≤ 2; (b) 48 s. Verificação: (b) (48 − 60) ÷ 8 = −1,5.

Exemplo 4 — Nível de exame: determinar μ e σ

Enunciado: X é normal e sabe-se que P(X < 40) = 0,1587 e P(X < 70) = 0,9772. Determine μ e σ.

Resolução:

  1. Na tabela da normal padrão, Φ(−1) = 0,1587 e Φ(2) = 0,9772.
  2. Logo, (40 − μ) ÷ σ = −1 e (70 − μ) ÷ σ = 2.
  3. Subtraindo as duas igualdades: (70 − 40) ÷ σ = 2 − (−1) = 3, então σ = 30 ÷ 3 = 10.
  4. De (40 − μ) = −1 × 10 obtém-se μ = 50.

Resposta: μ = 50 e σ = 10. Verificação: (40 − 50) ÷ 10 = −1 e (70 − 50) ÷ 10 = 2.

Erros frequentes

  • Dividir pela variância em vez do desvio padrão. Se σ2 = 25, divida por 5, não por 25.
  • Inverter a subtração: escrever (μ − x) ÷ σ. Isto troca o sinal de z e leva a uma probabilidade errada.
  • Padronizar só uma fronteira num intervalo. As duas têm de ser transformadas.
  • Inverter o sentido da desigualdade sem necessidade. Como σ é positivo, dividir por σ mantém o sentido: a ≤ X ≤ b dá za ≤ Z ≤ zb. Só inverte se multiplicar por um número negativo.
  • Comparar valores brutos de escalas diferentes (14 contra 15) em vez de comparar valores z.
  • Esquecer de voltar à escala original quando o enunciado pede um valor de x e não de z.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Se μ = 100 e σ = 15, calcule o valor padronizado de x = 130.

Ver solução

z = (130 − 100) ÷ 15 = 30 ÷ 15 = 2.

2Exercício 2

Se μ = 30 e σ = 4, calcule o z de x = 24 e interprete.

Ver solução

z = (24 − 30) ÷ 4 = −1,5. O valor 24 está 1,5 desvios padrão abaixo da média.

3Exercício 3

Numa variável com μ = 200 e σ = 20, que valor x corresponde a z = 0,5?

Ver dica

Use a fórmula inversa.

Ver solução

x = 200 + 0,5 × 20 = 210.

4Exercício 4

X ~ N(12; σ2 = 9). Escreva 9 < X < 18 em termos de Z e calcule a probabilidade.

Ver solução

σ = 3. za = (9 − 12) ÷ 3 = −1 e zb = (18 − 12) ÷ 3 = 2. P = Φ(2) − Φ(−1) = 0,9772 − 0,1587 = 0,8185.

5Exercício 5

O António teve 65 num teste com média 50 e desvio padrão 10. A Beatriz teve 80 noutro teste com média 70 e desvio padrão 5. Quem teve o melhor desempenho relativo?

Ver solução

António: z = (65 − 50) ÷ 10 = 1,5. Beatriz: z = (80 − 70) ÷ 5 = 2. A Beatriz teve melhor desempenho relativo, pois ficou 2 desvios acima da média do seu teste, contra 1,5 do António.

Perguntas frequentes

Quando se usa a padronização?

Sempre que se quer calcular probabilidades de uma normal qualquer com a tabela da normal padrão, e também para comparar posições relativas em escalas diferentes.

Existe um método mais rápido?

Em muitas calculadoras científicas e em folhas de cálculo pode-se calcular probabilidades normais sem padronizar à mão. Mesmo assim, nos exames a padronização continua a ser exigida, e é ela que permite perceber o resultado.

A padronização muda a forma da distribuição?

Não. A forma de sino mantém-se; só mudam a localização (o centro vai para 0) e a escala (o desvio padrão passa a 1).

Que erros são mais comuns?

Usar a variância em vez do desvio padrão, trocar a ordem da subtração e esquecer de padronizar as duas fronteiras. Veja a secção «Erros frequentes».

Resumo

  • Z = (X − μ) ÷ σ transforma qualquer normal na normal padrão N(0, 1).
  • O sinal de z indica se x está acima (+) ou abaixo (−) da média; o módulo, quantos desvios padrão.
  • A transformação inversa é x = μ + z·σ.
  • Em intervalos, padronizam-se as duas fronteiras.
  • Os valores z permitem comparar resultados de escalas diferentes.

Onde aprofundar

  • O programa de Probabilidade e Estatística da sua instituição — confirme a edição em vigor.
  • Ross, A First Course in Probability, e Meyer, Probabilidade: Aplicações à Estatística — confirme a edição.
  • MIT OpenCourseWare 6.041, em inglês.

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