Probabilidade · 1.º ano (indicativo)

Como calcular a probabilidade com a distribuição normal?

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Resposta curta

Para calcular P(X ≤ x) numa normal N(μ, σ), padronize com z = (x − μ) ÷ σ e procure Φ(z) na tabela da normal padrão. Para P(X > x) use 1 − Φ(z); para P(a ≤ X ≤ b) use Φ(zb) − Φ(za). A simetria da curva serve para valores negativos de z.

Quando se aplica

Use este método quando a variável tem distribuição normal (curva em sino, simétrica à volta da média μ) e se pede a probabilidade de ela ficar abaixo, acima ou entre valores dados. Exemplos típicos: alturas de estudantes, tempos de viagem, pesos de embalagens, notas de um exame de grande dimensão, erros de medição.

Pré-requisitos

  • Distinguir média μ e desvio padrão σ. Atenção à notação N(μ, σ2): se o enunciado dá a variância, extraia a raiz quadrada para obter σ. Há livros que escrevem N(μ, σ); confirme a convenção do seu manual. Neste artigo, N(μ, σ) significa média μ e desvio padrão σ.
  • Saber ler a tabela da função de distribuição Φ(z) = P(Z ≤ z) da normal padrão (média 0, desvio padrão 1).
  • Saber que a área total sob a curva é 1 e que a curva é simétrica em torno de μ.

Fórmulas e propriedades

Probabilidades com a normal

Padronização: Z = (X − μ) ÷ σ ~ N(0, 1) P(X ≤ x) = Φ(z) P(X > x) = 1 − Φ(z) P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) Simetria: Φ(−z) = 1 − Φ(z)

Valores de Φ úteis (tabela usual, 4 casas; confirme na sua tabela): Φ(0) = 0,5000; Φ(0,5) = 0,6915; Φ(1) = 0,8413; Φ(1,5) = 0,9332; Φ(2) = 0,9772; Φ(3) = 0,9987.

Regra empírica 68–95–99,7

Numa normal, cerca de 68% dos valores estão a menos de 1σ da média, cerca de 95% a menos de 2σ e cerca de 99,7% a menos de 3σ. Serve para verificar se as suas respostas são plausíveis. Por exemplo, Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826.

Método passo a passo

  1. Identifique μ e σ e o que se pede (menor que, maior que ou entre).
  2. Desenhe um esboço da curva com a região a sombrear. Ajuda a decidir entre Φ e 1 − Φ.
  3. Padronize cada fronteira: z = (x − μ) ÷ σ.
  4. Exprima a probabilidade em termos de Φ: um valor para «menor que», 1 − Φ para «maior que», diferença para «entre».
  5. Leia Φ na tabela; para z negativo, use Φ(−z) = 1 − Φ(z).
  6. Calcule e escreva a resposta como probabilidade (entre 0 e 1) ou em percentagem.
  7. Verifique com o esboço e a regra 68–95–99,7.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Probabilidade «menor que»

Enunciado: A altura dos estudantes de uma faculdade é normal, com média 170 cm e desvio padrão 10 cm. Qual é a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso medir menos de 180 cm?

Resolução:

  1. X ~ N(170, 10). Fronteira: 180.
  2. z = (180 − 170) ÷ 10 = 1.
  3. P(X < 180) = Φ(1) = 0,8413.

Resposta: cerca de 84,13%. Verificação: 180 está 1σ acima da média; a regra diz que até 1σ acima há 50% + 34% = 84%.

Exemplo 2 — Probabilidade «maior que»

Enunciado: Com os mesmos dados, qual é a probabilidade de um estudante medir mais de 190 cm?

Resolução:

  1. z = (190 − 170) ÷ 10 = 2.
  2. P(X > 190) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0228.

Resposta: cerca de 2,28%. Verificação: valores acima de 2σ são raros (cerca de 2,5% na regra empírica), logo faz sentido.

Exemplo 3 — Probabilidade «entre»

Enunciado: Com os mesmos dados, calcule P(160 ≤ X ≤ 185).

Resolução:

  1. za = (160 − 170) ÷ 10 = −1 e zb = (185 − 170) ÷ 10 = 1,5.
  2. P = Φ(1,5) − Φ(−1).
  3. Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587; Φ(1,5) = 0,9332.
  4. P = 0,9332 − 0,1587 = 0,7745.

Resposta: cerca de 77,45%. Verificação: o intervalo contém ±1σ (68%) e ainda mais meio desvio acima; 77% é plausível.

Exemplo 4 — Nível de exame: tempo de viagem e valor-limite

Enunciado: O tempo de viagem de casa à universidade, em Luanda, é normal com média 45 min e desvio padrão 6 min. (a) Qual é a probabilidade de a viagem durar no máximo 57 min? (b) Que tempo t é ultrapassado apenas em 5% das viagens?

Resolução:

  1. (a) z = (57 − 45) ÷ 6 = 2, logo P(X ≤ 57) = Φ(2) = 0,9772.
  2. (b) Pretende-se P(X ≤ t) = 0,95. Na tabela, Φ(1,645) ≈ 0,95, logo z = 1,645.
  3. Desfazendo a padronização: t = μ + zσ = 45 + 1,645 × 6 = 45 + 9,87 = 54,87.

Resposta: (a) 97,72%; (b) cerca de 54,9 min. Verificação: (b) z = (54,87 − 45) ÷ 6 = 1,645 e Φ(1,645) ≈ 0,95.

Erros frequentes

  • Usar σ2 em vez de σ na padronização. Se o enunciado dá a variância 36, o desvio padrão é 6.
  • Dar Φ(z) quando se pedia «maior que». Esboce a curva: a cauda direita é 1 − Φ(z).
  • Ler a tabela para z negativo como se fosse positivo. Para z < 0 use Φ(−z) = 1 − Φ(z), a não ser que a tabela tenha valores negativos.
  • Esquecer de padronizar e procurar 180 diretamente na tabela. A tabela é só para a normal padrão.
  • Subtrair as probabilidades pela ordem errada em intervalos: a maior menos a menor, para obter um valor positivo.
  • Arredondar z cedo demais: com z = 1,645 arredondar para 1,6 muda a probabilidade em mais de um ponto percentual.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

X ~ N(50, 5). Calcule P(X < 60).

Ver solução

z = (60 − 50) ÷ 5 = 2. P = Φ(2) = 0,9772.

2Exercício 2

X ~ N(100, 4). Calcule P(X > 96).

Ver dica

O desvio padrão é 4, e 96 fica abaixo da média.

Ver solução

z = (96 − 100) ÷ 4 = −1. P(X > 96) = P(Z > −1) = Φ(1) = 0,8413.

3Exercício 3

X ~ N(20, 2). Calcule P(18 ≤ X ≤ 24).

Ver solução

za = (18 − 20) ÷ 2 = −1 e zb = (24 − 20) ÷ 2 = 2. P = Φ(2) − Φ(−1) = 0,9772 − 0,1587 = 0,8185.

4Exercício 4

O peso de sacos de farinha é normal, com média 50 kg e desvio padrão 0,5 kg. Qual é a probabilidade de um saco pesar entre 49 kg e 51 kg?

Ver solução

za = (49 − 50) ÷ 0,5 = −2 e zb = +2. P = Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2) − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544.

5Exercício 5

As notas de um exame são normais, com média 70 e desvio padrão 10. Qual é a nota mínima necessária para estar entre os 10% melhores?

Ver dica

Procure z com Φ(z) = 0,90.

Ver solução

Φ(z) = 0,90 dá z ≈ 1,28. x = 70 + 1,28 × 10 = 82,8. A nota mínima é cerca de 82,8.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular a probabilidade com a distribuição normal?

Não há uma fórmula fechada para a área; usa-se a padronização Z = (X − μ) ÷ σ e a função Φ da normal padrão, que se lê numa tabela ou na calculadora. P(a ≤ X ≤ b) = Φ(zb) − Φ(za).

Como verificar se o resultado está correto?

Compare com a regra 68–95–99,7 e com o esboço da curva. Uma probabilidade «maior que a média» tem de ser inferior a 0,5; uma «menor que a média» também.

Porque é que P(X = x) vale zero?

Porque a normal é contínua: a probabilidade é uma área, e um ponto isolado tem área nula. Por isso < e ≤ dão o mesmo resultado.

Posso usar a normal para qualquer variável?

Não. Só quando os dados são aproximadamente simétricos e em forma de sino. Em muitas questões o enunciado afirma que a variável é normal; em casos reais convém verificar com um histograma.

Resumo

  • Numa normal N(μ, σ), padronize com z = (x − μ) ÷ σ.
  • «Menor que» é Φ(z); «maior que» é 1 − Φ(z); «entre» é Φ(zb) − Φ(za).
  • Para z negativo use Φ(−z) = 1 − Φ(z).
  • Para o caminho inverso, ache z na tabela e calcule x = μ + zσ.
  • Verifique com um esboço e com a regra 68–95–99,7.
  • Confirme se o enunciado dá σ ou σ2.

Onde aprofundar

  • O programa de Probabilidade e Estatística e o manual da sua instituição — confirme a edição em vigor.
  • Ross, A First Course in Probability, e Meyer, Probabilidade: Aplicações à Estatística — confirme a edição.
  • MIT OpenCourseWare 6.041, em inglês, para exercícios adicionais.

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