O que é a distribuição uniforme contínua?

Definição e características

Diz-se que X tem distribuição uniforme contínua no intervalo [a, b], e escreve-se X ~ U(a, b), quando a sua função densidade de probabilidade é constante nesse intervalo e nula fora dele.

Terminologia essencial

• Função densidade f(x): não é uma probabilidade; a probabilidade obtém-se pela área sob f entre dois pontos. Aqui a área é a de um retângulo de altura 1/(b − a).
• Função de distribuição F(x) = P(X ≤ x): cresce linearmente de 0 (em x = a) até 1 (em x = b).
• Parâmetros a e b: os extremos do intervalo; determinam por completo a distribuição.

Propriedades importantes

1. A área total é (b − a) × 1/(b − a) = 1, como em qualquer densidade.
2. P(X = c) = 0 para qualquer valor isolado c. Por isso P(X ≤ c) = P(X < c) e as desigualdades largas ou estritas dão o mesmo resultado.
3. A mediana coincide com a média, (a + b)/2, porque a distribuição é simétrica.
4. O desvio padrão é (b − a) ÷ √12, ou seja, cerca de 0,289 × (b − a).

Definição formal vs. explicação simples

Em linguagem simples: «não há valores preferidos». Se escolher ao acaso um ponto de um segmento de 10 cm, é tão provável cair nos primeiros 2 cm como nos últimos 2 cm. É a versão contínua do dado equilibrado, em que cada face tem a mesma probabilidade.

Exemplos do quotidiano

• Tempo de espera por um transporte com horário regular. Se um autocarro passa na paragem de 10 em 10 minutos e você chega sem olhar para o relógio, o tempo de espera segue U(0, 10).
• Erro de arredondamento. Ao arredondar medidas às unidades, o erro costuma modelar-se como U(−0,5; 0,5).
• Geradores de números aleatórios. As calculadoras e linguagens de programação produzem números aleatórios em [0, 1], em geral aproximadamente uniformes; é a base de simulações.
• Ponto escolhido ao acaso num segmento, como o local onde se parte uma corda esticada.

Atenção: «chegar sem olhar para o relógio» só dá uma uniforme se o horário for mesmo regular. Em trânsito irregular, como candongueiros em hora de ponta, o modelo pode não se ajustar.

Importância e aplicações

A uniforme é o modelo mais simples de incerteza total dentro de um intervalo e serve de ponto de partida em Estatística. Intervém em simulação de Monte Carlo, na geração de outras distribuições a partir de números aleatórios e na modelação de erros de medição. Nos exames, costuma surgir em exercícios de cálculo de probabilidades de intervalos, de média e variância e de determinação de a e b a partir de dados.

Exemplos resolvidos

Erros e confusões frequentes

• Pensar que f(x) é uma probabilidade. A densidade pode até ser maior que 1: em U(0; 0,5) vale 2. A probabilidade é uma área.
• Dizer que P(X = c) = 1/(b − a). Na variável contínua, a probabilidade de um valor exato é 0.
• Confundir com a uniforme discreta, onde cada valor tem probabilidade 1/n. Aqui há infinitos valores e trabalha-se com intervalos.
• Calcular a probabilidade fora de [a, b]. Só conta a parte do intervalo que está dentro de [a, b]; o resto tem densidade nula.
• Usar a fórmula da variância sem elevar ao quadrado (b − a). É (b − a)² ÷ 12.
• Esquecer que o desvio padrão é a raiz da variância, e dar a variância onde se pede o desvio.