Probabilidade · 1.º ano (indicativo)

Como calcular probabilidades com a tabela normal?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

A tabela da normal padrão dá, em geral, Φ(z) = P(Z ≤ z). Procure a linha com o inteiro e a primeira casa decimal de z e a coluna com a segunda casa decimal. Para «maior que» use 1 − Φ(z); para z negativo use 1 − Φ(|z|); para intervalos subtraia dois valores da tabela.

Quando se aplica

Aplica-se depois de padronizar a variável (z = (x − μ) ÷ σ), ou diretamente quando o problema já é sobre Z ~ N(0, 1). Em provas sem calculadora estatística, a tabela é a ferramenta oficial. Há tabelas de vários tipos: a mais comum é a acumulada desde −∞ (dá P(Z ≤ z)), mas existem tabelas que dão a área entre 0 e z ou a cauda direita P(Z > z). Leia sempre o desenho ou o título da sua tabela antes de a usar.

Pré-requisitos

  • Saber padronizar (z = (x − μ) ÷ σ).
  • Saber que a área total é 1 e a curva é simétrica à volta de 0, logo Φ(0) = 0,5 e Φ(−z) = 1 − Φ(z).
  • Arredondar z a duas casas decimais, que é o que as tabelas aceitam.

Como se lê a tabela acumulada

As linhas trazem z com uma casa decimal (0,0; 0,1; 0,2; …) e as colunas trazem o segundo decimal (0,00; 0,01; …; 0,09). O valor procurado está no cruzamento. Para z = 1,23: linha 1,2 e coluna 0,03.

Alguns valores da tabela usual (4 casas; confirme na sua tabela):

zΦ(z)
0,500,6915
0,670,7486
1,000,8413
1,150,8749
1,230,8907
1,280,8997
1,500,9332
1,640,9495
1,650,9505
1,750,9599
1,960,9750
2,000,9772
2,330,9901

Regras de uso da tabela Φ(z) = P(Z ≤ z)

P(Z ≤ z) = Φ(z) P(Z > z) = 1 − Φ(z) P(Z ≤ −z) = 1 − Φ(z) P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a) P(−z ≤ Z ≤ z) = 2·Φ(z) − 1

Método passo a passo

  1. Escreva a probabilidade em termos de Z e arredonde z a duas casas decimais.
  2. Desenhe a curva e sombreie a área pedida.
  3. Se z for positivo e a pergunta for «menor que», leia diretamente Φ(z).
  4. Se for «maior que», calcule 1 − Φ(z).
  5. Se z for negativo, troque o sinal e use a simetria: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
  6. Se for um intervalo, leia dois valores e subtraia o menor do maior.
  7. Para o caminho inverso (dado a probabilidade, achar z), procure a probabilidade no interior da tabela e leia z nas margens; se não houver valor exato, escolha o mais próximo ou interpole.
  8. Verifique com o esboço: acima de 0 a área à esquerda é maior que 0,5; abaixo de 0 é menor.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Leitura direta

Enunciado: Calcule P(Z ≤ 1,23).

Resolução:

  1. Decomponha 1,23 em 1,2 (linha) e 0,03 (coluna).
  2. No cruzamento da linha 1,2 com a coluna 0,03 lê-se 0,8907.

Resposta: P(Z ≤ 1,23) = 0,8907. Verificação: o valor é maior que 0,5, como deve ser para z positivo.

Exemplo 2 — Cauda direita

Enunciado: Calcule P(Z > 1,96).

Resolução:

  1. A tabela dá a área à esquerda: Φ(1,96) = 0,9750.
  2. A cauda direita é o complementar: 1 − 0,9750 = 0,0250.

Resposta: 0,0250, ou seja, 2,5%. Verificação: pela simetria, P(Z < −1,96) também é 0,025; as duas caudas somam 5%.

Exemplo 3 — Valor negativo

Enunciado: Calcule P(Z ≤ −0,67).

Resolução:

  1. A tabela só tem z positivos, por isso troca-se o sinal.
  2. Φ(0,67) = 0,7486.
  3. P(Z ≤ −0,67) = 1 − 0,7486 = 0,2514.

Resposta: 0,2514. Verificação: z é negativo, logo a probabilidade tem de ser menor que 0,5.

Exemplo 4 — Nível de exame: intervalo e leitura inversa

Enunciado: (a) Calcule P(−1,15 ≤ Z ≤ 1,75). (b) Determine z tal que P(Z ≤ z) = 0,95. (c) Determine z tal que P(0 ≤ Z ≤ z) = 0,4750.

Resolução:

  1. (a) P = Φ(1,75) − Φ(−1,15). Com Φ(1,75) = 0,9599 e Φ(−1,15) = 1 − Φ(1,15) = 1 − 0,8749 = 0,1251, resulta P = 0,9599 − 0,1251 = 0,8348.
  2. (b) Na tabela, 0,9495 corresponde a z = 1,64 e 0,9505 a z = 1,65. O valor 0,95 está a meio, logo z ≈ 1,645.
  3. (c) A área entre 0 e z é 0,4750, então Φ(z) = 0,5 + 0,4750 = 0,9750, e z = 1,96.

Resposta: (a) 0,8348; (b) z ≈ 1,645; (c) z = 1,96. Verificação: (c) pela simetria, P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 2 × 0,4750 = 0,95.

Erros frequentes

  • Usar a tabela errada. Se a sua tabela dá a área de 0 a z, P(Z ≤ z) = 0,5 + valor da tabela, para z positivo. Confira o desenho no topo.
  • Procurar z negativo na tabela só de positivos e ler o valor sem aplicar 1 − Φ.
  • Ler a coluna errada: para 1,23 a coluna é 0,03 e não 0,30. Use uma régua ou o dedo para seguir a linha e a coluna até ao cruzamento.
  • Esquecer o complementar em «maior que». Se a resposta de P(Z > 1,96) for 0,975, falta o 1 −.
  • Subtrair na ordem errada num intervalo, obtendo uma probabilidade negativa. A probabilidade nunca é negativa.
  • Ler como z o valor da probabilidade na leitura inversa: a probabilidade fica no interior da tabela e o z nas margens.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule P(Z ≤ 0,50).

Ver solução

Lê-se na linha 0,5 e coluna 0,00: 0,6915.

2Exercício 2

Calcule P(Z > 1,50).

Ver solução

Φ(1,50) = 0,9332, logo P(Z > 1,50) = 1 − 0,9332 = 0,0668.

3Exercício 3

Calcule P(−2 ≤ Z ≤ 2).

Ver dica

Use a simetria: 2Φ(2) − 1.

Ver solução

Φ(2) = 0,9772. P = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544.

4Exercício 4

Calcule P(Z < −1,28).

Ver solução

Φ(1,28) = 0,8997. P(Z < −1,28) = 1 − 0,8997 = 0,1003.

5Exercício 5

Determine (a) z tal que P(Z ≤ z) = 0,9901; (b) z tal que P(Z > z) = 0,025.

Ver dica

Em (b), escreva primeiro Φ(z) = 1 − 0,025.

Ver solução

(a) 0,9901 aparece na linha 2,3 e coluna 0,03, logo z = 2,33. (b) Φ(z) = 1 − 0,025 = 0,9750, logo z = 1,96.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando se precisa de probabilidades de uma variável normal sem calculadora estatística. Primeiro padroniza-se a variável e depois lê-se a tabela da normal padrão.

Existe um método mais rápido?

Calculadoras científicas e folhas de cálculo têm funções para a normal acumulada e para a sua inversa. Em provas onde só a tabela é permitida, o método acima é o caminho.

O que fazer se z tiver três casas decimais?

Arredonde para duas casas, que é a precisão da tabela, ou interpole entre dois valores vizinhos se quiser mais exatidão, como se fez para 1,645.

Que erros são mais comuns?

Usar uma tabela de outro tipo, esquecer o complementar nas caudas direitas e não aplicar a simetria para z negativo. Veja a secção «Erros frequentes».

Resumo

  • Leia Φ(z) cruzando a linha (inteiro e 1.ª casa decimal) com a coluna (2.ª casa decimal).
  • «Maior que»: 1 − Φ(z). z negativo: Φ(−z) = 1 − Φ(z).
  • Intervalo: Φ(b) − Φ(a); intervalo simétrico: 2Φ(z) − 1.
  • Leitura inversa: procure a probabilidade no interior da tabela e leia z nas margens.
  • Confirme que tipo de tabela está a usar (acumulada, 0 a z ou cauda).

Onde aprofundar

  • O programa de Probabilidade e Estatística da sua instituição e a tabela normal fornecida em provas — confirme a edição em vigor.
  • Ross, A First Course in Probability, e Meyer, Probabilidade: Aplicações à Estatística — confirme a edição.
  • MIT OpenCourseWare 6.041, em inglês.

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