Álgebra Linear · 1.º ano (indicativo)

Como escalonar uma matriz?

  • 7 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Escalonar uma matriz é aplicar operações elementares sobre as linhas (trocar, multiplicar por um número não nulo, somar um múltiplo de outra linha) até que cada pivô fique à direita do pivô da linha de cima e abaixo dele só haja zeros. As linhas nulas ficam no fim. É a base para resolver sistemas e calcular a característica.

Quando se aplica

O escalonamento (eliminação de Gauss) usa-se para resolver sistemas lineares, calcular a característica (número de pivôs), decidir se um conjunto de vetores é independente e preparar o cálculo da inversa. Funciona com qualquer matriz, quadrada ou não.

Pré-requisitos

  • Operações com frações e números negativos.
  • Noção de matriz ampliada de um sistema: os coeficientes e, à direita, os termos independentes.

Operações elementares sobre as linhas

  1. Li ↔ Lj (trocar duas linhas)
  2. Li → k·Li (k ≠ 0)
  3. Li → Li + k·Lj (somar um múltiplo de outra linha)

Estas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema nem a característica da matriz.

Método passo a passo

  1. Comece pela coluna mais à esquerda que não seja toda nula. Escolha como pivô um elemento não nulo (se estiver em baixo, troque linhas).
  2. Anule os elementos abaixo do pivô: para cada linha Li abaixo, faça Li → Li − (ai/pivô)·Lpivô.
  3. Avance para a linha seguinte e a coluna seguinte e repita o processo na submatriz que resta.
  4. Pare quando já não houver linhas ou colunas por tratar. As linhas nulas ficam no fundo.
  5. Conte os pivôs: esse número é a característica.
  6. Opcional (forma reduzida): divida cada linha pelo seu pivô e anule também os elementos acima dos pivôs (Gauss-Jordan).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Escalonamento direto

Enunciado: Escalone A = [[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 6, 10]] (linhas entre parêntesis retos).

Resolução:

  1. Pivô na posição (1,1): 1.
  2. L2 → L2 − 2·L1 = [2 − 2, 5 − 4, 7 − 6] = [0, 1, 1].
  3. L3 → L3 − 3·L1 = [3 − 3, 6 − 6, 10 − 9] = [0, 0, 1].
  4. A matriz já está escalonada: [[1, 2, 3], [0, 1, 1], [0, 0, 1]].

Resposta: três pivôs, logo a característica é 3. Verificação: o produto dos pivôs, 1·1·1 = 1, é o determinante (as operações usadas não o alteram).

Exemplo 2 — Com troca de linhas

Enunciado: Escalone B = [[0, 2, 4], [1, 1, 1], [2, 0, 2]].

Resolução:

  1. O elemento (1,1) é 0: troque L1 ↔ L2. Fica [[1, 1, 1], [0, 2, 4], [2, 0, 2]].
  2. L3 → L3 − 2·L1 = [0, −2, 0].
  3. L3 → L3 + L2 = [0, −2 + 2, 0 + 4] = [0, 0, 4].

Resposta: [[1, 1, 1], [0, 2, 4], [0, 0, 4]], com característica 3. Verificação: a linha 3 original [2, 0, 2], menos 2·[1, 1, 1], mais [0, 2, 4], dá [0, 0, 4].

Exemplo 3 — Linhas dependentes

Enunciado: Escalone C = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]] e indique a característica.

Resolução:

  1. L2 → L2 − 2·L1 = [0, 0, 0].
  2. L3 → L3 − L1 = [0, −1, −2].
  3. Troque L2 ↔ L3 para pôr a linha nula no fundo: [[1, 2, 3], [0, −1, −2], [0, 0, 0]].

Resposta: dois pivôs, logo a característica é 2 (a segunda linha era o dobro da primeira). Verificação: a matriz tem determinante 0, coerente com a linha nula.

Exemplo 4 — Nível de exame: resolver um sistema

Enunciado: Resolva x + y + z = 6, 2x + y − z = 1, x − y + 2z = 5.

Resolução:

  1. Matriz ampliada: [[1, 1, 1 | 6], [2, 1, −1 | 1], [1, −1, 2 | 5]].
  2. L2 → L2 − 2·L1 = [0, −1, −3 | −11].
  3. L3 → L3 − L1 = [0, −2, 1 | −1].
  4. L3 → L3 − 2·L2 = [0, 0, 1 + 6 | −1 + 22] = [0, 0, 7 | 21].
  5. Substituição regressiva: 7z = 21, logo z = 3. Depois −y − 9 = −11, logo y = 2. Por fim x = 6 − 2 − 3 = 1.

Resposta: (x, y, z) = (1, 2, 3). Verificação: 1 + 2 + 3 = 6; 2 + 2 − 3 = 1; 1 − 2 + 6 = 5.

Erros frequentes

  • Operar sobre uma coluna em vez de sobre linhas. No escalonamento por linhas, só se combinam linhas.
  • Multiplicar uma linha por 0. Isso destrói informação; o fator tem de ser não nulo.
  • Erros de sinal ao subtrair linhas com números negativos.
  • Alterar uma linha e usá-la logo na mesma etapa sem cuidado: use a linha do pivô original em todas as anulações da mesma coluna.
  • Esquecer a coluna dos termos independentes na matriz ampliada.
  • Contar linhas não nulas antes de terminar: a característica só se lê na forma escalonada final.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Escalone [[1, 2], [3, 4]] e indique a característica.

Ver solução

L2 → L2 − 3·L1 = [0, −2]. Forma escalonada: [[1, 2], [0, −2]]; dois pivôs, característica 2.

2Exercício 2

Escalone [[2, 4], [1, 2]] e indique a característica.

Ver solução

L1 ↔ L2 dá [[1, 2], [2, 4]]; L2 → L2 − 2·L1 = [0, 0]. Forma: [[1, 2], [0, 0]]; característica 1.

3Exercício 3

Escalone [[1, 1, 0], [1, 2, 1], [2, 3, 1]].

Ver dica

A terceira linha é a soma das duas primeiras.

Ver solução

L2 → L2 − L1 = [0, 1, 1]; L3 → L3 − 2·L1 = [0, 1, 1]; L3 → L3 − L2 = [0, 0, 0]. Forma: [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 0]], característica 2.

4Exercício 4

Escalone [[0, 0, 1], [0, 1, 2], [1, 2, 3]].

Ver solução

Troque L1 ↔ L3: [[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 1]]. Já está escalonada, com três pivôs: característica 3.

5Exercício 5

Resolva por escalonamento: x + 2y = 5 e 3x + 4y = 11.

Ver solução

Ampliada [[1, 2 | 5], [3, 4 | 11]]. L2 → L2 − 3·L1 = [0, −2 | −4]. Logo y = 2 e x = 5 − 4 = 1. Solução (1, 2). Verificação: 3·1 + 4·2 = 11.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Para resolver sistemas lineares, calcular a característica, testar independência linear de vetores e inverter matrizes. É o procedimento de base da Álgebra Linear computacional.

Existe um método mais rápido?

Para determinantes de 2 × 2 e 3 × 3 há fórmulas diretas, mas para decidir a característica ou resolver sistemas de qualquer tamanho o escalonamento é o método padrão. Escolher bons pivôs (por exemplo, um 1) evita frações.

Que erros são mais comuns?

Erros de sinal, esquecer a coluna dos termos independentes e trocar linhas sem registar a troca (que afeta o sinal do determinante).

A forma escalonada é única?

Não: depende das operações escolhidas. Mas o número de pivôs (a característica) e as posições dos pivôs são sempre os mesmos. A forma escalonada reduzida é única.

Resumo

  • Escalonar = operações elementares nas linhas até obter forma em degraus.
  • Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar por k ≠ 0, somar múltiplo de outra linha.
  • Cada pivô fica à direita do pivô da linha anterior; abaixo dos pivôs só há zeros.
  • A característica é o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
  • Num sistema, termina-se com substituição regressiva.

Onde aprofundar

  • O manual de Álgebra Linear da sua instituição e o programa oficial em vigor — confirme a edição.
  • Strang, Introduction to Linear Algebra, e Lay, Álgebra Linear e suas Aplicações — confirme a edição disponível.
  • As aulas de MIT OpenCourseWare 18.06 (acesso livre, em inglês).

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