Cálculo Integral · 1.º ano (indicativo)

Como calcular primitivas de funções racionais?

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  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Uma função racional é um quociente de polinómios P(x)/Q(x). Se o grau de P for maior ou igual ao de Q, faça primeiro a divisão. Depois fatorize Q, decomponha a fração própria em frações parciais e primitive cada parcela, que dá logaritmos, potências ou arco-tangentes.

Quando se aplica

Aplica-se a integrais do tipo ∫ P(x)/Q(x) dx em que P e Q são polinómios, como ∫ 1/((x − 1)(x + 2)) dx ou ∫ (x2 + 1)/(x2 − 1) dx. Toda a função racional pode ser primitivada em termos de funções elementares, e o método de decomposição em frações parciais é o caminho geral.

Pré-requisitos

  • Divisão de polinómios e fatorização (fórmula resolvente, casos notáveis).
  • Primitivas imediatas: ∫ 1/x dx = ln|x|; ∫ 1/(x + a) dx = ln|x + a|; ∫ 1/(x + a)2 dx = −1/(x + a).
  • Substituição simples.

Tipos de parcelas e a sua decomposição

Fator (x − a) simples: A/(x − a) Fator (x − a) repetido 2x: A/(x − a) + B/(x − a)2 Fator quadrático irredutível (x2 + bx + c): (Ax + B)/(x2 + bx + c)

Método passo a passo

  1. Compare os graus. Se grau P ≥ grau Q, divida P por Q: P/Q = quociente + resto/Q. O quociente é um polinómio, fácil de primitivar.
  2. Fatorize o denominador em fatores lineares e quadráticos irredutíveis.
  3. Escreva a decomposição com uma incógnita (A, B, …) por parcela, segundo a tabela acima.
  4. Reduza ao mesmo denominador e iguale os numeradores.
  5. Determine as constantes: substituindo x pelas raízes do denominador (mais rápido) ou comparando coeficientes.
  6. Primitive cada parcela. A/(x − a) dá A·ln|x − a|.
  7. Junte tudo, some C e, se quiser, simplifique os logaritmos.
  8. Verifique derivando ou juntando as frações.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Dois fatores lineares distintos

Enunciado: Calcule ∫ 1/((x − 1)(x + 2)) dx.

Resolução:

  1. O grau do numerador (0) é menor que o do denominador (2): não há divisão.
  2. Decomponha: 1/((x − 1)(x + 2)) = A/(x − 1) + B/(x + 2).
  3. Igualando numeradores: 1 = A(x + 2) + B(x − 1).
  4. Com x = 1: 1 = 3A, logo A = 1/3. Com x = −2: 1 = −3B, logo B = −1/3.
  5. Primitivando: (1/3) ln|x − 1| − (1/3) ln|x + 2|.

Resposta: (1/3) ln|(x − 1)/(x + 2)| + C. Verificação: (1/3)[1/(x − 1) − 1/(x + 2)] = (1/3) · 3/((x − 1)(x + 2)) = 1/((x − 1)(x + 2)).

Exemplo 2 — Numerador com x

Enunciado: Calcule ∫ (x + 5)/(x2 − x − 2) dx.

Resolução:

  1. Fatorize: x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
  2. Decomponha: (x + 5)/((x − 2)(x + 1)) = A/(x − 2) + B/(x + 1), logo x + 5 = A(x + 1) + B(x − 2).
  3. Com x = 2: 7 = 3A, logo A = 7/3. Com x = −1: 4 = −3B, logo B = −4/3.
  4. Primitivando cada parcela.

Resposta: (7/3) ln|x − 2| − (4/3) ln|x + 1| + C. Verificação: A + B = 7/3 − 4/3 = 1 (coeficiente de x no numerador) e A − 2B = 7/3 + 8/3 = 5 (termo independente), como em x + 5.

Exemplo 3 — Grau do numerador igual ao do denominador

Enunciado: Calcule ∫ (x2 + 1)/(x2 − 1) dx.

Resolução:

  1. Os graus são iguais: divida. x2 + 1 = 1 · (x2 − 1) + 2, portanto (x2 + 1)/(x2 − 1) = 1 + 2/(x2 − 1).
  2. Fatorize: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) e decomponha 2/((x − 1)(x + 1)) = A/(x − 1) + B/(x + 1).
  3. 2 = A(x + 1) + B(x − 1). Com x = 1: A = 1. Com x = −1: B = −1.
  4. Primitivando: ∫ 1 dx + ∫ 1/(x − 1) dx − ∫ 1/(x + 1) dx.

Resposta: x + ln|x − 1| − ln|x + 1| + C. Verificação: derivando, 1 + 1/(x − 1) − 1/(x + 1) = 1 + 2/(x2 − 1).

Exemplo 4 — Nível de exame: fator repetido

Enunciado: Calcule ∫ (3x − 1)/(x − 1)2 dx.

Resolução:

  1. Decomponha: (3x − 1)/(x − 1)2 = A/(x − 1) + B/(x − 1)2, logo 3x − 1 = A(x − 1) + B.
  2. Comparando coeficientes de x: A = 3. Com x = 1: 2 = B.
  3. ∫ 3/(x − 1) dx = 3 ln|x − 1| e ∫ 2/(x − 1)2 dx = −2/(x − 1).

Resposta: 3 ln|x − 1| − 2/(x − 1) + C. Verificação: derivando, 3/(x − 1) + 2/(x − 1)2 = (3(x − 1) + 2)/(x − 1)2 = (3x − 1)/(x − 1)2.

Erros frequentes

  • Decompor sem dividir quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. A decomposição só funciona com frações próprias.
  • Esquecer a parcela B/(x − a)2 quando o fator se repete.
  • Escrever ln(x − a) sem módulo. A primitiva de 1/(x − a) é ln|x − a|.
  • Trocar as constantes ao substituir os valores de x. Confirme sempre que A + B (ou o coeficiente respetivo) bate com o numerador.
  • Tentar decompor um quadrático irredutível em fatores reais. Se o discriminante é negativo, use a parcela (Ax + B)/(quadrático) e, depois, arco-tangente.
  • Cortar termos de numerador e denominador que não são fatores: (x + 1)/(x + 2) não é igual a 1/2.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule ∫ 1/(x2 − 9) dx.

Ver dica

Fatorize x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).

Ver solução

1/((x − 3)(x + 3)) = A/(x − 3) + B/(x + 3), com 1 = A(x + 3) + B(x − 3). Em x = 3: A = 1/6. Em x = −3: B = −1/6. Então ∫ = (1/6) ln|x − 3| − (1/6) ln|x + 3| + C = (1/6) ln|(x − 3)/(x + 3)| + C.

2Exercício 2

Calcule ∫ (2x + 1)/(x2 + x − 6) dx.

Ver dica

Compare o numerador com a derivada do denominador.

Ver solução

A derivada de x2 + x − 6 é 2x + 1, exatamente o numerador. Com w = x2 + x − 6, o integral é ∫ dw/w = ln|x2 + x − 6| + C. Não é necessário decompor.

3Exercício 3

Calcule ∫ (x + 3)/(x(x + 1)) dx.

Ver solução

(x + 3)/(x(x + 1)) = A/x + B/(x + 1), com x + 3 = A(x + 1) + Bx. Em x = 0: A = 3. Em x = −1: 2 = −B, logo B = −2. Resultado: 3 ln|x| − 2 ln|x + 1| + C.

4Exercício 4

Calcule ∫ x2/(x + 1) dx.

Ver dica

O grau do numerador é maior: divida primeiro.

Ver solução

x2 = (x + 1)(x − 1) + 1, logo x2/(x + 1) = x − 1 + 1/(x + 1). Primitivando: x2/2 − x + ln|x + 1| + C.

5Exercício 5

Calcule ∫ 1/(x(x2 + 1)) dx.

Ver dica

Use 1/(x(x2 + 1)) = A/x + (Bx + C)/(x2 + 1).

Ver solução

1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)x = (A + B)x2 + Cx + A. Logo A = 1, C = 0 e A + B = 0, ou seja B = −1. Assim 1/(x(x2 + 1)) = 1/x − x/(x2 + 1). Primitivando: ln|x| − (1/2) ln(x2 + 1) + C.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que o integrando é um quociente de polinómios que não se resolve por substituição direta. Se o numerador for a derivada do denominador, basta um logaritmo.

Existe um método mais rápido?

Para fatores lineares simples, substituir x pelas raízes do denominador (método dos resíduos) dá as constantes quase de imediato. Para fatores repetidos ou quadráticos, compare coeficientes.

Que erros são mais comuns?

Esquecer a divisão prévia, omitir parcelas de fatores repetidos e escrever logaritmos sem módulo.

E se o denominador não tiver raízes reais?

Complete o quadrado. Por exemplo, ∫ 1/(x2 + 4) dx = (1/2) arctan(x/2) + C, porque 1/(x2 + a2) tem primitiva (1/a) arctan(x/a).

Resumo

  • Função racional é P(x)/Q(x); se grau P ≥ grau Q, divida primeiro.
  • Fatorize Q e decomponha em frações parciais, uma parcela por fator.
  • Fator repetido leva parcelas com potências crescentes; quadrático irredutível leva (Ax + B).
  • Cada parcela dá ln|x − a|, uma potência negativa ou uma arco-tangente.
  • Verifique derivando ou voltando a juntar as frações.

Onde aprofundar

  • O manual de Cálculo da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola, ou da sua instituição) — confirme a edição em vigor.
  • Stewart, Cálculo, secção sobre frações parciais — confirme a edição.
  • OpenStax, Calculus (acesso livre, em inglês), capítulo sobre técnicas de integração.

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