Cálculo Integral · 1.º ano (indicativo)
Como calcular primitivas por partes?
Resposta curta
Para calcular uma primitiva por partes, escreva o integral como um produto u · dv e aplique a fórmula ∫u dv = u·v − ∫v du. Escolha u de modo que a sua derivada seja mais simples e dv de modo que seja fácil primitivar. O novo integral ∫v du deve ficar mais fácil do que o original.
Quando se aplica
A integração por partes é a "regra do produto ao contrário". Usa-se quando o integrando é um produto de dois tipos diferentes de funções, por exemplo um polinómio vezes uma exponencial (x · ex), um polinómio vezes seno ou cosseno (x · cos x) ou um polinómio vezes um logaritmo (x · ln x). Também serve para funções que sozinhas são difíceis de primitivar, como ln x ou arctan x, escrevendo-as como 1 · ln x.
Pré-requisitos
- Saber as primitivas imediatas (potências, ex, sen x, cos x, 1/x).
- Saber derivar produtos e funções compostas simples.
- Reconhecer quando uma substituição de variável é suficiente (nesse caso não é preciso usar partes).
De onde vem a fórmula
Da derivada do produto, (u·v)' = u'·v + u·v', obtém-se u·v' = (u·v)' − u'·v. Primitivando os dois lados e escrevendo du = u' dx e dv = v' dx, resulta a fórmula abaixo.
Integração por partes
∫ u dv = u · v − ∫ v du (com du = u' dx e v = ∫ dv)
Método passo a passo
- Confirme que a substituição simples não resolve o integral. Se resolver, use-a.
- Escolha u e dv. Uma regra prática (mnemónica LIATE) sugere escolher como u, por esta ordem de prioridade: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica (polinómio), Trigonométrica, Exponencial. O resto, incluindo dx, é dv.
- Calcule du (derivando u) e v (primitivando dv). Não precisa de somar a constante em v.
- Aplique a fórmula u·v − ∫ v du.
- Calcule o novo integral. Se ainda for um produto, repita o processo.
- Some a constante C no fim.
- Verifique derivando o resultado: deve voltar a obter o integrando.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Polinómio vezes exponencial
Enunciado: Calcule ∫ x · ex dx.
Resolução:
- Escolha u = x (algébrica) e dv = ex dx.
- Então du = dx e v = ex.
- Aplique a fórmula: ∫ x ex dx = x·ex − ∫ ex dx.
- ∫ ex dx = ex.
Resposta: x·ex − ex + C = ex(x − 1) + C. Verificação: derivando, ex + x·ex − ex = x·ex.
Exemplo 2 — Polinómio vezes cosseno
Enunciado: Calcule ∫ x · cos x dx.
Resolução:
- Escolha u = x e dv = cos x dx.
- Então du = dx e v = sen x.
- ∫ x cos x dx = x·sen x − ∫ sen x dx.
- ∫ sen x dx = −cos x, logo −∫ sen x dx = + cos x.
Resposta: x·sen x + cos x + C. Verificação: derivando, sen x + x·cos x − sen x = x·cos x.
Exemplo 3 — O logaritmo sozinho
Enunciado: Calcule ∫ ln x dx.
Resolução:
- Escreva ln x dx como ln x · 1 dx. Escolha u = ln x e dv = dx.
- Então du = (1/x) dx e v = x.
- ∫ ln x dx = x·ln x − ∫ x · (1/x) dx = x·ln x − ∫ 1 dx.
Resposta: x·ln x − x + C. Verificação: derivando, ln x + x·(1/x) − 1 = ln x.
Exemplo 4 — Nível de exame: duas aplicações e integral definido
Enunciado: (a) Calcule ∫ x2 ex dx. (b) Calcule o integral definido de 0 a 1 de x·ex dx.
Resolução de (a):
- u = x2, dv = ex dx, logo du = 2x dx e v = ex.
- ∫ x2 ex dx = x2ex − 2 ∫ x ex dx.
- O integral que resta é o do Exemplo 1: ∫ x ex dx = ex(x − 1) + C.
- Então x2ex − 2ex(x − 1) = ex(x2 − 2x + 2).
Resolução de (b):
- Use a primitiva do Exemplo 1: F(x) = ex(x − 1).
- F(1) = e · 0 = 0 e F(0) = 1 · (−1) = −1.
- Integral = F(1) − F(0) = 0 − (−1) = 1.
Resposta: (a) ex(x2 − 2x + 2) + C; (b) 1. Verificação de (a): derivando, ex(x2 − 2x + 2) + ex(2x − 2) = x2ex.
Erros frequentes
- Escolher u e dv ao contrário. Se o novo integral ficar mais difícil (por exemplo, a potência de x aumenta), troque a escolha.
- Esquecer o sinal menos da fórmula: é u·v menos ∫ v du. O erro costuma aparecer quando v é −cos x.
- Esquecer o factor constante ao primitivar dv: em ∫ x e(2x) dx, v = e(2x)/2, e não e(2x).
- Parar a meio quando surge um segundo produto: aplique partes outra vez.
- Usar partes quando bastava substituição: ∫ x e(x{^2)} dx resolve-se com u = x2, bem mais depressa.
- Não verificar derivando. A verificação apanha quase todos os erros de sinal.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule ∫ x · e(2x) dx.
Ver dica
Escolha u = x. Ao primitivar e(2x), lembre-se de dividir por 2.
Ver solução
u = x, dv = e(2x) dx, logo du = dx e v = e(2x)/2. Então ∫ = x·e(2x)/2 − ∫ e(2x)/2 dx = x·e(2x)/2 − e(2x)/4 + C.
2Exercício 2
Calcule ∫ x · sen x dx.
Ver solução
u = x, dv = sen x dx, logo du = dx e v = −cos x. Então ∫ = −x·cos x − ∫ (−cos x) dx = −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sen x + C.
3Exercício 3
Calcule ∫ x · ln x dx.
Ver dica
Aqui a prioridade é o logaritmo: u = ln x.
Ver solução
u = ln x, dv = x dx, logo du = dx/x e v = x2/2. Então ∫ = (x2/2)·ln x − ∫ (x2/2)(1/x) dx = (x2/2)·ln x − ∫ x/2 dx = (x2/2)·ln x − x2/4 + C.
4Exercício 4
Calcule ∫ arctan x dx.
Ver dica
Escreva arctan x · 1. O integral que resta resolve-se por substituição.
Ver solução
u = arctan x, dv = dx, logo du = dx/(1 + x2) e v = x. Então ∫ = x·arctan x − ∫ x/(1 + x2) dx. Com w = 1 + x2, ∫ x/(1 + x2) dx = (1/2) ln(1 + x2). Resultado: x·arctan x − (1/2) ln(1 + x2) + C.
5Exercício 5
Calcule ∫ ex cos x dx (o integral "regressa").
Ver dica
Aplique partes duas vezes e trate o integral original como uma incógnita I.
Ver solução
Seja I = ∫ ex cos x dx. Com u = cos x e dv = ex dx: I = excos x + ∫ ex sen x dx. Aplicando partes ao novo integral (u = sen x, dv = ex dx): ∫ ex sen x dx = ex sen x − I. Logo I = excos x + ex sen x − I, ou seja 2I = ex(sen x + cos x). Resposta: I = ex(sen x + cos x)/2 + C.
Perguntas frequentes
Quando se usa a integração por partes?
Quando o integrando é um produto de funções de natureza diferente (polinómio com exponencial, seno ou cosseno; polinómio com logaritmo) ou quando é uma função como ln x ou arctan x, difícil de primitivar diretamente mas simples de derivar.
Existe um método mais rápido?
Em integrais como ∫ xn ex dx, o método tabular (derivar uma coluna e primitivar outra, alternando sinais) poupa escrita, mas é a mesma fórmula. Se bastar uma substituição, ela é sempre mais rápida.
Que erros são mais comuns?
Trocar u e dv, perder um sinal menos e esquecer factores constantes em v. Derive o resultado no fim para os detetar.
Preciso de somar a constante quando calculo v?
Não. Qualquer constante somada a v acabaria por se cancelar no resultado final. A constante C só se acrescenta no fim.
Resumo
- A fórmula é ∫u dv = u·v − ∫v du, nascida da derivada do produto.
- Escolha u pela ordem LIATE: logaritmo, trigonométrica inversa, polinómio, trigonométrica, exponencial.
- O objetivo é que ∫v du seja mais simples do que o integral inicial.
- Pode ser preciso aplicar o método várias vezes, ou resolver uma equação quando o integral regressa.
- Verifique sempre derivando o resultado.
Onde aprofundar
- O manual de Cálculo da sua classe ou do seu curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola, ou o plano da sua instituição) — confirme a edição em vigor.
- Stewart, Cálculo, e Thomas, Cálculo — confirme a edição disponível na sua biblioteca.
- OpenStax, Calculus (acesso livre, em inglês), e as aulas de MIT OpenCourseWare 18.01.
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