Cálculo Integral · 1.º ano (indicativo)

Exercícios resolvidos de primitivas

  • 7 min de leitura
  • 10 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para treinar primitivas, comece pelas imediatas, passe às substituições, depois às partes e frações parciais, e confirme cada resultado derivando: a derivada da primitiva tem de devolver o integrando. Esta página reúne dez exercícios graduados com resolução comentada e cinco propostos com solução.

Resumo da teoria necessária

Uma primitiva de f é uma função F tal que F' = f. Todas as primitivas diferem por uma constante, por isso se escreve ∫ f(x) dx = F(x) + C.

IntegrandoPrimitiva
xn (n ≠ −1)x(n+1)/(n + 1)
1/xln\x\
exex
sen x−cos x
cos xsen x
1/(1 + x2)arctan x

Estratégia de resolução

  1. Simplifique o integrando (expanda, separe em parcelas).
  2. Procure uma primitiva imediata, com ajuste linear.
  3. Procure substituição (função e a sua derivada).
  4. Se for um produto de tipos diferentes, use partes; se for quociente de polinómios, frações parciais.
  5. Derive o resultado para verificar.

Exercícios resolvidos (nível básico)

Exercício 1 — Polinómio

Enunciado: Calcule ∫ (3x2 − 4x + 5) dx.

Resolução: primitive termo a termo. ∫ 3x2 dx = x3; ∫ 4x dx = 2x2; ∫ 5 dx = 5x.

Resposta: x3 − 2x2 + 5x + C. Verificação: derivando, 3x2 − 4x + 5.

Exercício 2 — Raiz e potência negativa

Enunciado: Calcule ∫ (√x + 1/x2) dx.

Resolução:

  1. Escreva √x = x(1/2) e 1/x2 = x(−2).
  2. ∫ x(1/2) dx = x(3/2)/(3/2) = (2/3) x(3/2).
  3. ∫ x(−2) dx = x(−1)/(−1) = −1/x.

Resposta: (2/3) x(3/2) − 1/x + C. Verificação: derivando, x(1/2) + 1/x2.

Exercício 3 — Ajuste linear

Enunciado: Calcule ∫ cos(3x) dx.

Resolução: a primitiva de cos u é sen u, mas como u = 3x tem derivada 3, divide-se por 3.

Resposta: sen(3x)/3 + C. Verificação: derivando, cos(3x) · 3/3 = cos(3x).

Exercícios resolvidos (nível intermédio)

Exercício 4 — Substituição

Enunciado: Calcule ∫ 2x (x2 + 1)3 dx.

Resolução:

  1. Seja w = x2 + 1, então dw = 2x dx.
  2. O integral é ∫ w3 dw = w4/4.

Resposta: (x2 + 1)4/4 + C. Verificação: derivando, 4(x2 + 1)3 · 2x/4 = 2x(x2 + 1)3.

Exercício 5 — Tangente

Enunciado: Calcule ∫ tan x dx.

Resolução:

  1. Escreva tan x = sen x / cos x.
  2. Seja w = cos x, dw = −sen x dx.
  3. ∫ sen x / cos x dx = −∫ dw/w = −ln|w|.

Resposta: −ln|cos x| + C. Verificação: derivando, −(−sen x)/cos x = tan x.

Exercício 6 — Partes

Enunciado: Calcule ∫ x2 ln x dx.

Resolução:

  1. u = ln x, dv = x2 dx, logo du = dx/x e v = x3/3.
  2. ∫ = (x3/3) ln x − ∫ (x3/3)(1/x) dx = (x3/3) ln x − ∫ x2/3 dx.
  3. ∫ x2/3 dx = x3/9.

Resposta: (x3/3) ln x − x3/9 + C. Verificação: derivando, x2 ln x + x2/3 − x2/3 = x2 ln x.

Exercício 7 — Completar o quadrado

Enunciado: Calcule ∫ 1/(x2 + 2x + 5) dx.

Resolução:

  1. Complete o quadrado: x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4.
  2. Com w = x + 1: ∫ dw/(w2 + 4) = (1/2) arctan(w/2).

Resposta: (1/2) arctan((x + 1)/2) + C. Verificação: derivando, (1/2) · (1/2)/(1 + (x + 1)2/4) = 1/(4 + (x + 1)2).

Exercícios de exame

Exercício 8 — Frações parciais

Enunciado: Calcule ∫ (x + 2)/(x2 − 1) dx.

Resolução:

  1. x2 − 1 = (x − 1)(x + 1); x + 2 = A(x + 1) + B(x − 1).
  2. Em x = 1: 3 = 2A, logo A = 3/2. Em x = −1: 1 = −2B, logo B = −1/2.
  3. Primitivando cada parcela.

Resposta: (3/2) ln|x − 1| − (1/2) ln|x + 1| + C. Verificação: A + B = 1 e A − B = 2, como em x + 2.

Exercício 9 — Potência ímpar de seno

Enunciado: Calcule ∫ sen3x dx.

Resolução:

  1. Escreva sen3x = sen2x · sen x = (1 − cos2x) sen x.
  2. Com w = cos x, dw = −sen x dx: ∫ (1 − w2)(−dw) = −w + w3/3.

Resposta: −cos x + cos3x/3 + C. Verificação: derivando, sen x − cos2x sen x = sen x (1 − cos2x) = sen3x.

Exercício 10 — Condição inicial

Enunciado: Determine f tal que f'(x) = 2x + 3 e f(1) = 6.

Resolução:

  1. f(x) = ∫ (2x + 3) dx = x2 + 3x + C.
  2. f(1) = 1 + 3 + C = 6, logo C = 2.

Resposta: f(x) = x2 + 3x + 2. Verificação: f(1) = 6 e f'(x) = 2x + 3.

Erros frequentes

  • Esquecer a constante C numa primitiva indefinida.
  • Primitivar um produto como produto de primitivas: ∫ x · ex dx não é (x2/2) · ex.
  • Aplicar a regra da potência a 1/x (dá x0/0, impossível): a primitiva é ln|x|.
  • Ignorar o factor interno (cos 3x leva 1/3) ou o sinal (a primitiva de sen x é −cos x).
  • Não verificar derivando, quando é o teste mais rápido.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule ∫ (4x3 − 6x) dx.

Ver solução

Termo a termo: ∫ 4x3 dx = x4 e ∫ 6x dx = 3x2. Resultado: x4 − 3x2 + C.

2Exercício 2

Calcule ∫ e(−2x) dx.

Ver solução

A derivada interna é −2, logo divide-se por −2: −e(−2x)/2 + C.

3Exercício 3

Calcule ∫ x/(x2 + 4) dx.

Ver dica

O numerador é metade da derivada do denominador.

Ver solução

Com w = x2 + 4, dw = 2x dx, logo x dx = dw/2. O integral é (1/2) ∫ dw/w = (1/2) ln(x2 + 4) + C (sem módulo, pois x2 + 4 > 0).

4Exercício 4

Calcule ∫ x e(−x) dx.

Ver dica

Partes com u = x, dv = e(−x) dx; v = −e(−x).

Ver solução

∫ = −x e(−x) − ∫ (−e(−x)) dx = −x e(−x) + ∫ e(−x) dx = −x e(−x) − e(−x). Resposta: −e(−x)(x + 1) + C.

5Exercício 5

Calcule ∫ 1/(x2 − x − 2) dx.

Ver solução

x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1). 1 = A(x + 1) + B(x − 2): em x = 2, A = 1/3; em x = −1, B = −1/3. Resultado: (1/3) ln|(x − 2)/(x + 1)| + C.

Perguntas frequentes

Como estudar este tema com exercícios?

Resolva sem olhar para a solução, derive a sua resposta para verificar e só depois compare. Registe os erros num caderno e repita os exercícios falhados uma semana depois.

Que tipo de exercícios saem nos exames?

Costumam combinar uma ou duas técnicas: substituição, partes e frações parciais, por vezes com integral definido. Confirme o formato com os exames anteriores da sua instituição.

Onde posso rever a teoria?

Nas páginas do MeuGuia sobre cada técnica (partes, frações parciais e escolha da técnica) e no manual da disciplina.

Posso verificar uma primitiva sem a calculadora?

Sim. Derive o resultado: se obtiver o integrando original, está correto. A constante C desaparece na derivada.

Resumo

  • Primitiva de f: função cuja derivada é f; todas diferem por uma constante C.
  • Comece pela tabela, depois substituição, partes e frações parciais.
  • Ajustes lineares dividem pelo coeficiente interno (cos 3x → sen 3x / 3).
  • Para a potência −1, a primitiva é ln|x|.
  • Derive sempre o resultado para confirmar.

Onde aprofundar

  • O manual de Cálculo da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola, ou da sua instituição) — confirme a edição em vigor.
  • Stewart, Cálculo, e Thomas, Cálculo — listas de exercícios por secção; confirme a edição.
  • OpenStax, Calculus (acesso livre, em inglês), e MIT OpenCourseWare 18.01.

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