Cálculo Integral · 1.º ano (indicativo)

O que é uma primitiva (antiderivada)?

  • 7 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f é uma função F cuja derivada é f, isto é, F'(x) = f(x). Como a derivada de uma constante é zero, se F é primitiva então F + C também é, para qualquer constante C. Por isso escreve-se ∫ f(x) dx = F(x) + C, o chamado integral indefinido.

Definição e características

Derivar e primitivar são operações inversas. Se f(x) = x2, a sua derivada é 2x; ao contrário, uma primitiva de 2x é x2. Mas x2 + 5 e x2 − 3 também têm derivada 2x, por isso uma função tem uma família de primitivas, que diferem apenas por uma constante.

Definição e notação

F é primitiva de f num intervalo I se F'(x) = f(x) para todo o x em I ∫ f(x) dx = F(x) + C (C é uma constante real arbitrária)

Terminologia essencial

  • Integral indefinido: o conjunto de todas as primitivas, ∫ f(x) dx.
  • Integrando: a função f(x) dentro do integral.
  • Constante de integração C: representa a liberdade de somar uma constante.
  • Condição inicial: um valor conhecido, como F(1) = 7, que fixa o valor de C.

Tabela de primitivas básicas

Função f(x)Primitiva F(x) + C
k (constante)kx + C
xn, n ≠ −1x(n+1)/(n + 1) + C
1/xln\x\+ C
exex + C
sin x−cos x + C
cos xsin x + C

Além disto, a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, e uma constante multiplicativa sai para fora do integral.

Como se encontra uma primitiva

  1. Reescreva a função como soma de termos simples (raízes como potências, quocientes como potências negativas).
  2. Primitive termo a termo com a tabela.
  3. Some a constante C no fim (uma única).
  4. Verifique derivando: a derivada do resultado tem de dar a função inicial.
  5. Se há condição inicial, substitua para calcular C.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Primitiva de um monómio

Enunciado: Determine as primitivas de f(x) = 2x.

Resolução:

  1. Procura-se F com F'(x) = 2x.
  2. Pela tabela, a primitiva de x1 é x2/2, e multiplicando por 2 obtém-se x2.
  3. Acrescenta-se C.

Resposta: ∫ 2x dx = x2 + C. Verificação: (x2 + C)' = 2x.

Exemplo 2 — Polinómio

Enunciado: Determine ∫ (3x2 − 4x + 5) dx.

Resolução:

  1. ∫ 3x2 dx = 3 × x3/3 = x3.
  2. ∫ −4x dx = −4 × x2/2 = −2x2.
  3. ∫ 5 dx = 5x.
  4. Some tudo e junte C.

Resposta: x3 − 2x2 + 5x + C. Verificação: a derivada é 3x2 − 4x + 5.

Exemplo 3 — Com condição inicial

Enunciado: Determine a primitiva F de f(x) = 6x + 2 tal que F(1) = 7.

Resolução:

  1. As primitivas são F(x) = 3x2 + 2x + C.
  2. Impor F(1) = 7: 3 + 2 + C = 7, logo C = 2.
  3. Substituir C.

Resposta: F(x) = 3x2 + 2x + 2. Verificação: F(1) = 3 + 2 + 2 = 7 e F'(x) = 6x + 2.

Exemplo 4 — Aplicação: do movimento à posição

Enunciado: Num percurso em Luanda, um candongueiro move-se numa estrada reta com velocidade v(t) = 4t + 3 (em m/s, com t em segundos). No instante t = 0 está a 10 m da origem. Qual é a sua posição em t = 2 s?

Resolução:

  1. A posição s(t) é uma primitiva da velocidade: s(t) = ∫ (4t + 3) dt = 2t2 + 3t + C.
  2. Condição inicial s(0) = 10 dá C = 10.
  3. Logo s(t) = 2t2 + 3t + 10.
  4. Em t = 2: s(2) = 8 + 6 + 10 = 24.

Resposta: 24 m da origem. Verificação: s'(t) = 4t + 3 = v(t).

Importância e aplicações

As primitivas são a base do cálculo integral: o teorema fundamental do cálculo liga o integral definido a uma primitiva. Na prática, usam-se para passar da aceleração à velocidade e à posição, do custo marginal ao custo total, de uma taxa de variação a uma quantidade acumulada. Faz parte do programa de Cálculo do primeiro ano; confirme a ordem dos capítulos no programa em vigor.

Erros frequentes

  • Esquecer a constante C. Sem ela, escreve-se apenas uma primitiva e não a família completa.
  • Usar a regra da potência com n = −1: a primitiva de 1/x é ln|x|, e não x0/0.
  • Confundir primitivar com derivar e multiplicar pelo expoente em vez de dividir: a primitiva de x3 é x4/4, e não 3x2.
  • Esquecer o sinal em sin e cos: a primitiva de sin x é −cos x.
  • Pôr uma constante por termo: C₁ + C₂ + C₃ é só uma constante C.
  • Não verificar por derivação, que é o teste mais simples e seguro.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule ∫ 5x4 dx.

Ver solução

5 × x5/5 = x5. Resposta: x5 + C.

2Exercício 2

Calcule ∫ (6x2 − 2x) dx.

Ver solução

6 × x3/3 = 2x3; −2 × x2/2 = −x2. Resposta: 2x3 − x2 + C.

3Exercício 3

Calcule ∫ (ex + 2cos x) dx.

Ver solução

ex + 2 sin x + C. Verificação: derivada = ex + 2cos x.

4Exercício 4

Determine f tal que f'(x) = 2x − 3 e f(0) = 4.

Ver dica

Primitive f' e use a condição para calcular C.

Ver solução

f(x) = x2 − 3x + C. De f(0) = 4 resulta C = 4. Resposta: f(x) = x2 − 3x + 4.

5Exercício 5

Calcule ∫ √x dx e verifique derivando.

Ver dica

Escreva √x = x(1/2).

Ver solução

x(1/2) → x(3/2)/(3/2) = (2/3)x(3/2). Resposta: (2/3)x(3/2) + C. Verificação: (2/3) × (3/2) x(1/2) = √x.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre primitiva e integral definido?

A primitiva é uma função (ou família de funções); o integral definido é um número que mede a área orientada entre o gráfico e o eixo num intervalo. Ligam-se pelo teorema fundamental do cálculo.

Todas as funções têm primitiva?

As funções contínuas num intervalo têm sempre primitiva. Mas nem todas têm uma primitiva expressa com funções elementares; por exemplo, e(−x{^2)} não tem.

Porque aparece o C?

Porque constantes diferentes têm todas derivada zero. Derivar «apaga» a constante, e primitivar tem de a repor como incógnita.

Que erros são mais comuns?

Esquecer C, usar a regra da potência com n = −1 e errar o sinal da primitiva de sin x. Veja «Erros frequentes».

Resumo

  • F é primitiva de f quando F' = f.
  • As primitivas de f formam a família F(x) + C.
  • ∫ xn dx = x(n+1)/(n + 1) + C, com n ≠ −1; ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
  • Uma condição inicial fixa o valor de C.
  • Verifique sempre derivando o resultado.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática/Análise da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • James Stewart, Cálculo (capítulo de integrais).
  • OpenStax, Calculus (volume 1), secção sobre primitivas.

Continue a estudar

1.º ano (indicativo)7 min

Exercícios resolvidos de primitivas

Para treinar primitivas, comece pelas imediatas, passe às substituições, depois às partes e frações parciais, e confirme cada resultado derivando: a derivada da…

10 exemplos5 exercícios com solução

1.º ano (indicativo)6 min

Como calcular primitivas imediatas?

Uma primitiva de f é uma função F tal que F' = f. Para primitivas imediatas, reconheça a forma da função na tabela (potência, exponencial, seno, cosseno, 1/x…), aplique…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.º ano (indicativo)6 min

Como calcular primitivas por substituição?

A substituição (mudança de variável) transforma um integral difícil num integral da tabela. Escolha u = g(x) como a expressão «interior» cuja derivada aparece (a menos…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.º ano (indicativo)8 min

Como calcular primitivas por partes?

Para calcular uma primitiva por partes, escreva o integral como um produto u · dv e aplique a fórmula ∫u dv = u·v − ∫v du. Escolha u de modo que a sua derivada seja…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Cálculo Integral · Capítulo: Primitivas e técnicas de primitivação