Cálculo Integral · 1.º ano (indicativo)

Como calcular primitivas imediatas?

  • 6 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Uma primitiva de f é uma função F tal que F' = f. Para primitivas imediatas, reconheça a forma da função na tabela (potência, exponencial, seno, cosseno, 1/x…), aplique a regra correspondente, use a linearidade para somas e constantes e acrescente sempre + C. Confirme derivando o resultado.

Quando se aplica

Chama-se primitiva imediata àquela que se obtém diretamente da tabela de derivadas lida «ao contrário», sem substituição nem partes. Aparece quando a função é uma soma de termos simples, depois de simplificar potências e raízes.

Tabela de primitivas imediatas

∫ xn dx = x(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1) ∫ 1/x dx = ln|x| + C ∫ ex dx = ex + C ∫ ax dx = ax/ln a + C (a maior que 0, a ≠ 1) ∫ sen x dx = −cos x + C ∫ cos x dx = sen x + C ∫ 1/(cos x)2 dx = tg x + C ∫ 1/(1 + x2) dx = arctg x + C ∫ 1/√(1 − x2) dx = arcsen x + C

Linearidade

∫ [k·f(x) + g(x)] dx = k·∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx. Constantes saem do integral e as somas integram-se termo a termo.

Pré-requisitos

Derivadas de funções elementares, regras das potências (raiz = expoente fracionário, 1/xn = x−n) e operações com frações.

Método passo a passo

  1. Reescreva a função como soma de termos simples: expanda produtos, divida termo a termo, escreva raízes como potências fracionárias.
  2. Separe a soma e retire as constantes multiplicativas.
  3. Aplique a regra da tabela a cada termo. Nas potências, some 1 ao expoente e divida pelo novo expoente.
  4. Junte os resultados e escreva uma única constante + C.
  5. Verifique derivando o resultado: deve obter a função inicial.
  6. Se houver condição inicial, como F(a) = b, substitua para encontrar C.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Polinómio

Enunciado: Calcule ∫ (3x2 + 4x − 5) dx.

Resolução:

  1. Integre termo a termo: ∫ 3x2 dx = 3 · x3/3 = x3.
  2. ∫ 4x dx = 4 · x2/2 = 2x2.
  3. ∫ (−5) dx = −5x.

Resposta: x3 + 2x2 − 5x + C. Verificação: derivando, 3x2 + 4x − 5 ✓.

Exemplo 2 — Raízes e potências negativas

Enunciado: Calcule ∫ (√x + 1/x2) dx.

Resolução:

  1. Reescreva: √x = x(1/2) e 1/x2 = x(−2).
  2. ∫ x(1/2) dx = x(3/2)/(3/2) = (2/3)x(3/2).
  3. ∫ x(−2) dx = x(−1)/(−1) = −1/x.

Resposta: (2/3)x(3/2) − 1/x + C. Verificação: derivada de (2/3)x(3/2) é x(1/2) = √x; derivada de −x(−1) é x(−2) = 1/x2 ✓.

Exemplo 3 — Funções elementares misturadas

Enunciado: Calcule ∫ (2ex − 3 cos x + 5/x) dx.

Resolução:

  1. ∫ 2ex dx = 2ex.
  2. ∫ (−3 cos x) dx = −3 sen x.
  3. ∫ 5/x dx = 5 ln|x|.

Resposta: 2ex − 3 sen x + 5 ln|x| + C. Verificação: derivando, 2ex − 3 cos x + 5/x ✓.

Exemplo 4 — Nível de exame: simplificar e condição inicial

Enunciado: Determine a função F tal que F'(x) = (x3 + 2x − 1)/x, com F(1) = 2 (para x maior que 0).

Resolução:

  1. Divida termo a termo: F'(x) = x2 + 2 − 1/x.
  2. Primitive: F(x) = x3/3 + 2x − ln x + C (x maior que 0).
  3. Use F(1) = 2: 1/3 + 2 − 0 + C = 2, logo C = −1/3.

Resposta: F(x) = x3/3 + 2x − ln x − 1/3. Verificação: F(1) = 1/3 + 2 − 0 − 1/3 = 2 ✓.

Erros frequentes

  • Esquecer a constante C. Sem ela, a resposta representa uma só primitiva, não a família completa.
  • Usar a regra da potência em 1/x: daria x0/0, que não existe. A primitiva de 1/x é ln|x|.
  • Integrar o produto como produto das primitivas: ∫ (x · x) dx não é (x2/2)(x2/2). Expanda primeiro: ∫ x2 dx = x3/3.
  • Trocar o sinal em sen e cos: a primitiva de sen x é −cos x; a de cos x é +sen x.
  • Dividir pelo expoente antigo em vez do novo (n + 1).
  • Não passar raízes e quocientes a potências antes de integrar.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule ∫ (4x3 − 6x + 1) dx.

Ver solução

4x3 → x4; −6x → −3x2; 1 → x. Resultado: x4 − 3x2 + x + C.

2Exercício 2

Calcule ∫ 1/x3 dx.

Ver dica

Escreva 1/x3 = x(−3).

Ver solução

x(−2)/(−2) = −1/(2x2) + C. (Derivando: −(1/2)(−2)x(−3) = x(−3) ✓.)

3Exercício 3

Calcule ∫ 3/(1 + x2) dx.

Ver solução

Retire o 3: 3 ∫ 1/(1 + x2) dx = 3 arctg x + C.

4Exercício 4

Calcule ∫ (x + 1)2 dx.

Ver dica

Desenvolva o quadrado antes de integrar.

Ver solução

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Primitiva: x3/3 + x2 + x + C.

5Exercício 5

Seja f'(x) = 6x2 − 2 e f(0) = 1. Determine f e calcule f(1).

Ver solução

f(x) = 2x3 − 2x + C. De f(0) = 1: C = 1. Logo f(x) = 2x3 − 2x + 1 e f(1) = 2 − 2 + 1 = 1.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando a função, depois de simplificada, é uma soma de termos que aparecem na tabela. Se houver composição (como cos(3x)) ou produto de funções diferentes, serão precisas substituição ou partes.

Existe um método mais rápido?

A prática de ler a tabela de derivadas ao contrário é o mais rápido. Para potências, «aumente o expoente, divida pelo novo expoente» resolve a maioria dos casos.

Porque é que se escreve + C?

Duas funções que diferem por uma constante têm a mesma derivada. Por isso, a primitiva não é única, mas uma família F(x) + C.

Como confirmar o resultado?

Derive o resultado; deve obter exatamente a função dentro do integral. É a verificação mais segura e rápida.

Resumo

  • Primitiva de f é F com F' = f; o resultado é uma família F + C.
  • A regra da potência vale para n ≠ −1; para 1/x usa-se ln|x|.
  • A linearidade permite integrar termo a termo e retirar constantes.
  • Reescreva raízes e quocientes como potências antes de integrar.
  • Confirme sempre derivando; com condição inicial, calcule C no fim.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática/Cálculo do seu curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • James Stewart, Cálculo, capítulo sobre integrais indefinidos.
  • OpenStax, Calculus (volume 1), gratuito e em inglês.

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