Cálculo Integral · 1.º ano (indicativo)
Como calcular primitivas por substituição?
Resposta curta
A substituição (mudança de variável) transforma um integral difícil num integral da tabela. Escolha u = g(x) como a expressão «interior» cuja derivada aparece (a menos de uma constante) no integrando, calcule du = g'(x) dx, reescreva tudo em u, primitive e, no fim, volte a x.
Quando se aplica
O método é a regra da cadeia ao contrário. Se uma função contém uma composição f(g(x)) multiplicada pela derivada g'(x), então ∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du, com u = g(x). Procure-o quando vir:
- um polinómio ou expressão elevada a uma potência, multiplicado pela derivada do que está dentro (ou algo proporcional);
- um quociente cujo numerador é a derivada do denominador;
- funções como e(g(x)), sin(g(x)), cos(g(x)) com g'(x) presente.
Mudança de variável
∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du, com u = g(x) e du = g'(x) dx
Pré-requisitos
- Tabela de primitivas básicas.
- Derivação, incluindo a regra da cadeia.
- Álgebra com potências e raízes.
Método passo a passo
- Escolha u: normalmente o «interior» de uma potência, de um seno, de uma exponencial ou o denominador de uma fração.
- Calcule du = u'(x) dx e isole dx, ou dx·(constante), se faltar uma constante.
- Substitua no integral tudo o que depender de x, de modo a ficar só com u e du. Se ainda sobrar x, a escolha de u pode estar errada (ou será preciso exprimir x em função de u).
- Primitive em u com a tabela.
- Volte a x, substituindo u = g(x).
- Verifique derivando o resultado: tem de dar o integrando inicial.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Potência e derivada do interior
Enunciado: Calcule ∫ 2x(x2 + 1)3 dx.
Resolução:
- Seja u = x2 + 1. Então du = 2x dx.
- O integral passa a ∫ u3 du.
- Primitiva: u4/4 + C.
- Voltando a x: (x2 + 1)4/4 + C.
Resposta: (x2 + 1)4/4 + C. Verificação: derivando, (1/4) × 4(x2 + 1)3 × 2x = 2x(x2 + 1)3.
Exemplo 2 — Falta uma constante
Enunciado: Calcule ∫ cos(5x) dx.
Resolução:
- Seja u = 5x. Então du = 5 dx, logo dx = du/5.
- O integral passa a (1/5) ∫ cos u du = (1/5) sin u + C.
- Voltando a x.
Resposta: (1/5) sin(5x) + C. Verificação: (1/5) × cos(5x) × 5 = cos(5x).
Exemplo 3 — Quociente com derivada do denominador
Enunciado: Calcule ∫ x/(x2 + 4) dx.
Resolução:
- Seja u = x2 + 4. Então du = 2x dx, logo x dx = du/2.
- O integral passa a (1/2) ∫ du/u = (1/2) ln|u| + C.
- Como x2 + 4 > 0, o módulo é desnecessário.
Resposta: (1/2) ln(x2 + 4) + C. Verificação: (1/2) × 2x/(x2 + 4) = x/(x2 + 4).
Exemplo 4 — Quando sobra um x (nível de exame)
Enunciado: Calcule ∫ x√(x − 1) dx.
Resolução:
- Seja u = x − 1. Então x = u + 1 e dx = du.
- O integral passa a ∫ (u + 1)u(1/2) du = ∫ (u(3/2) + u(1/2)) du.
- Primitiva: (2/5)u(5/2) + (2/3)u(3/2) + C.
- Voltando a x: (2/5)(x − 1)(5/2) + (2/3)(x − 1)(3/2) + C.
Resposta: (2/5)(x − 1)(5/2) + (2/3)(x − 1)(3/2) + C. Verificação: derivando, (x − 1)(3/2) + (x − 1)(1/2) = (x − 1)(1/2)[(x − 1) + 1] = x√(x − 1).
Erros frequentes
- Esquecer de substituir o dx. Se se muda x para u, também se tem de mudar dx por du/u'.
- Deixar x misturado com u no mesmo integral. Ou tudo em u, ou nada.
- Não voltar a x no final: a resposta tem de estar na variável do enunciado.
- Perder a constante ao isolar dx (por exemplo, 1/5 no exemplo 2).
- Escolher mal u: se o integral fica mais complicado, tente outra escolha.
- Retirar da integral uma função de x como se fosse constante. Só as constantes saem do integral.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule ∫ 3x2 e(x{^3)} dx.
Ver solução
u = x3, du = 3x2 dx. ∫ eu du = eu. Resposta: e(x{^3)} + C.
2Exercício 2
Calcule ∫ sin(2x) dx.
Ver solução
u = 2x, dx = du/2. (1/2) ∫ sin u du = −(1/2) cos u. Resposta: −(1/2) cos(2x) + C.
3Exercício 3
Calcule ∫ x(x2 + 3)4 dx.
Ver dica
u = x2 + 3; sobra x dx = du/2.
Ver solução
(1/2) ∫ u4 du = (1/2) u5/5 = u5/10. Resposta: (x2 + 3)5/10 + C.
4Exercício 4
Calcule ∫ (4x + 2)/(x2 + x + 7) dx.
Ver dica
A derivada de x2 + x + 7 é 2x + 1.
Ver solução
4x + 2 = 2(2x + 1). Com u = x2 + x + 7, du = (2x + 1) dx, o integral é 2 ∫ du/u = 2 ln|u|. Como u > 0 sempre (discriminante 1 − 28 < 0), a resposta é 2 ln(x2 + x + 7) + C.
5Exercício 5
Calcule ∫ sin x · cos3 x dx.
Ver solução
u = cos x, du = −sin x dx, logo sin x dx = −du. ∫ −u3 du = −u4/4. Resposta: −cos4 x / 4 + C. Verificação: derivando, −(1/4) × 4cos3 x × (−sin x) = sin x cos3 x.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando o integrando tem uma função composta e, ao lado dela, a derivada do interior (ou um múltiplo constante dela). É o primeiro método a tentar depois da tabela.
Existe um método mais rápido?
Quando o integrando é da forma f'(g(x)) · g'(x) e a substituição é óbvia, pode fazer-se «de cabeça». Para produtos de funções diferentes (como x · ex), usa-se antes a primitivação por partes.
Posso escolher qualquer u?
Pode tentar, mas só uma boa escolha elimina todo o x. Se o integral não simplificar, volte atrás. A experiência com a regra da cadeia ajuda.
Que erros são mais comuns?
Esquecer dx, deixar x no integral e não voltar à variável original. Veja «Erros frequentes».
Resumo
- Substituição é a regra da cadeia ao contrário: u = g(x), du = g'(x) dx.
- Procure a derivada do «interior» a multiplicar.
- O integral final em u tem de ser de tabela e não pode conter x.
- Volte sempre a x.
- Confirme derivando o resultado.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática/Análise da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- James Stewart, Cálculo (técnicas de integração: regra da substituição).
- OpenStax, Calculus (volume 1), secção sobre integração por substituição.
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