Matemática · 10.ª–12.ª classe

Exercícios resolvidos de análise combinatória

  • 11 min de leitura
  • 9 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Em qualquer exercício de análise combinatória, pergunte primeiro se a ordem importa e se pode haver repetição. Se a ordem importa, use arranjos (ou permutações, quando entram todos os elementos); se não importa, use combinações. Em várias etapas seguidas, multiplique. Abaixo estão 9 exercícios resolvidos e 5 propostos, do básico ao de exame.

Resumo da teoria necessária

SituaçãoOrdem importa?Fórmula
Várias etapas independentes (princípio da multiplicação)dependem × n × p × …
Permutações de n elementos distintossimn! = n × (n − 1) × … × 1
Arranjos sem repetição, n elementos tomados p a psimA(n, p) = n! ÷ (n − p)!
Arranjos com repetiçãosimnp
Combinações, n elementos tomados p a pnãoC(n, p) = n! ÷ (p! × (n − p)!)
Permutações de n elementos com repetidos (a, b, … vezes)simn! ÷ (a! × b! × …)

Lembre-se de que 0! = 1 e de que C(n, p) = C(n, n − p). Nos manuais, A(n, p) e C(n, p) aparecem também escritos com n e p em índices; o significado é o mesmo.

Estratégia de resolução

  1. Quantas etapas tem a escolha? Cada etapa multiplica as possibilidades.
  2. A ordem conta? Teste: se trocar dois elementos escolhidos muda o resultado, a ordem conta.
  3. Os elementos podem repetir-se? Se sim, é arranjo com repetição, np.
  4. Há restrições? Trate primeiro a mais restritiva (por exemplo, o algarismo que não pode ser 0).
  5. Aparece «pelo menos»? Calcule o total e subtraia o contrário.

Exercícios resolvidos: nível básico

Exercício 1 — Princípio da multiplicação

Enunciado: O menu do dia de um restaurante em Luanda tem 3 entradas, 4 pratos principais e 2 sobremesas. Quantas refeições completas (uma entrada, um prato e uma sobremesa) se podem montar?

Resolução:

  1. São 3 escolhas independentes, uma a seguir à outra.
  2. Multiplicam-se as possibilidades: 3 × 4 × 2 = 24.

Resposta: 24 refeições. Verificação: para cada uma das 3 × 4 = 12 combinações de entrada e prato há 2 sobremesas, e 12 × 2 = 24.

Exercício 2 — Permutações

Enunciado: De quantas maneiras se podem alinhar 5 alunos numa fila?

Resolução:

  1. Entram todos os elementos e a ordem conta: permutações de 5.
  2. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Resposta: 120 maneiras. Verificação: há 5 escolhas para o primeiro lugar, 4 para o segundo, 3 para o terceiro, 2 para o quarto e 1 para o último, o que dá o mesmo produto.

Exercício 3 — Arranjos

Enunciado: Numa final de 100 metros participam 8 atletas. Quantos pódios diferentes (ouro, prata e bronze) são possíveis?

Resolução:

  1. A ordem conta (ouro é diferente de prata) e um atleta não ganha duas medalhas: arranjos sem repetição de 8, três a três.
  2. A(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Resposta: 336 pódios. Verificação: A(8, 3) = 8! ÷ 5! = 40 320 ÷ 120 = 336.

Exercício 4 — Arranjo ou combinação?

Enunciado: Um campeonato tem 10 equipas. (a) Quantos jogos se disputam se cada par de equipas jogar uma só vez? (b) E se cada par jogar duas vezes, uma em cada campo (ida e volta)?

Resolução:

  1. (a) Um jogo entre A e B é o mesmo que entre B e A: a ordem não conta, logo combinações. C(10, 2) = 10 × 9 ÷ 2 = 45.
  2. (b) Com ida e volta, «A recebe B» e «B recebe A» são jogos diferentes: a ordem conta. A(10, 2) = 10 × 9 = 90.

Resposta: (a) 45 jogos; (b) 90 jogos. Verificação: em (b) cada par joga duas vezes, e 2 × 45 = 90.

Exercícios resolvidos: nível intermédio

Exercício 5 — Números com e sem repetição

Enunciado: (a) Quantos números de 3 algarismos existem? (b) Quantos têm os três algarismos diferentes?

Resolução:

  1. (a) O primeiro algarismo não pode ser 0: 9 possibilidades (1 a 9). Os outros dois podem ser qualquer algarismo: 10 cada. Total 9 × 10 × 10 = 900.
  2. (b) Primeiro algarismo: 9 possibilidades. Segundo: qualquer um, exceto o que já saiu, incluindo o 0: 10 − 1 = 9. Terceiro: 10 − 2 = 8. Total 9 × 9 × 8 = 648.

Resposta: (a) 900; (b) 648. Verificação: (a) os números de 3 algarismos vão de 100 a 999, e 999 − 100 + 1 = 900.

Exercício 6 — Anagramas

Enunciado: Quantos anagramas (palavras com ou sem sentido) se podem formar com todas as letras de ANGOLA?

Resolução:

  1. A palavra tem 6 letras, das quais a letra A aparece 2 vezes.
  2. Se as letras fossem todas distintas, haveria 6! = 720 ordenações.
  3. Trocar os dois A entre si não produz um anagrama novo, por isso cada anagrama foi contado 2 vezes. Divide-se por 2!: 720 ÷ 2 = 360.

Resposta: 360 anagramas. Verificação: a fórmula n! ÷ (a! × …) dá 6! ÷ 2! = 720 ÷ 2 = 360.

Exercício 7 — Comissões e «pelo menos»

Enunciado: Um grupo tem 6 rapazes e 5 raparigas. Formam-se comissões de 4 pessoas. Quantas comissões (a) existem ao todo? (b) têm exatamente 2 raparigas? (c) têm pelo menos 1 rapariga?

Resolução:

  1. (a) A ordem não conta: C(11, 4) = 11 × 10 × 9 × 8 ÷ 24 = 330.
  2. (b) Escolhem-se 2 raparigas entre 5 e 2 rapazes entre 6: C(5, 2) × C(6, 2) = 10 × 15 = 150.
  3. (c) Subtraia o contrário, «nenhuma rapariga», que é escolher os 4 entre os 6 rapazes: C(6, 4) = 15. Logo 330 − 15 = 315.

Resposta: (a) 330; (b) 150; (c) 315. Verificação: somando as comissões com 1, 2, 3 e 4 raparigas: 5 × 20 + 150 + 10 × 6 + 5 × 1 = 100 + 150 + 60 + 5 = 315.

Exercícios resolvidos: nível de exame

Exercício 8 — Juntos e nunca juntos

Enunciado: Seis pessoas, entre elas a Ana e o Bruno, alinham-se numa fila. De quantas maneiras (a) a Ana e o Bruno ficam lado a lado? (b) a Ana e o Bruno nunca ficam lado a lado?

Resolução:

  1. (a) Trate o par como um bloco. Com o bloco e as outras 4 pessoas há 5 «elementos», que se ordenam de 5! = 120 maneiras. Dentro do bloco, Ana e Bruno trocam de lugar de 2! = 2 maneiras. Total 120 × 2 = 240.
  2. (b) Total de filas: 6! = 720. Nunca juntos: 720 − 240 = 480.

Resposta: (a) 240; (b) 480. Verificação: posições ordenadas para Ana e Bruno: 6 × 5 = 30, das quais 5 × 2 = 10 são adjacentes, restando 20 não adjacentes. Os outros 4 ordenam-se de 4! = 24 maneiras, e 20 × 24 = 480.

Exercício 9 — Números pares com algarismos distintos

Enunciado: Quantos números pares de 3 algarismos distintos existem?

Resolução:

  1. Comece pela restrição: o algarismo das unidades. Separe em dois casos.
  2. Caso 1, termina em 0: o primeiro algarismo tem 9 possibilidades (1 a 9) e o segundo 8 (os restantes). Dá 9 × 8 = 72.
  3. Caso 2, termina em 2, 4, 6 ou 8 (4 possibilidades): o primeiro algarismo não pode ser 0 nem o das unidades, logo 8; o segundo pode ser 0 mas não pode repetir os outros dois, logo 8. Dá 4 × 8 × 8 = 256.
  4. Os casos não se sobrepõem, por isso somam-se: 72 + 256 = 328.

Resposta: 328 números. Verificação: os números de 3 algarismos distintos são 648 (Exercício 5). Os ímpares terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 (5 possibilidades), com 8 para o primeiro e 8 para o segundo: 5 × 8 × 8 = 320. Então 648 − 320 = 328.

Erros frequentes

  • Confundir arranjo com combinação. Teste sempre: se trocar a ordem dos elementos escolhidos dá um resultado diferente, a ordem conta (arranjo); se dá o mesmo, é combinação.
  • Somar em vez de multiplicar. Etapas seguidas («e») multiplicam-se; casos alternativos que não se sobrepõem («ou») somam-se, como no Exercício 9.
  • Deixar o 0 como primeiro algarismo ao formar números, o que faz sobrar casos que não são números de 3 algarismos.
  • Contar a mesma configuração duas vezes, por exemplo em letras repetidas (ANGOLA) ou em casos que se sobrepõem.
  • Tratar a restrição no fim. Se uma posição tem condições, preencha-a primeiro; o resto fica livre.
  • Erros com fatoriais: 0! vale 1 (e não 0), e (n + 1)! não é n! + 1. Simplifique antes de calcular: 5! ÷ 3! = 5 × 4 = 20, sem precisar de calcular 120 ÷ 6.
  • Somar muitos casos em «pelo menos» e esquecer um deles; o total menos o contrário é mais seguro.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Um código de 4 dígitos usa os algarismos de 0 a 9. Quantos códigos existem (a) se os dígitos puderem repetir-se? (b) se forem todos diferentes?

Ver solução

(a) Cada um dos 4 dígitos tem 10 possibilidades: 104 = 10 000. (b) 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.

2Exercício 2

Quantas diagonais tem um octógono (polígono de 8 lados)?

Ver dica

Cada par de vértices define um segmento, que é um lado ou uma diagonal.

Ver solução

Pares de vértices: C(8, 2) = 8 × 7 ÷ 2 = 28. Destes, 8 são lados. Diagonais: 28 − 8 = 20.

3Exercício 3

Quantos anagramas tem a palavra MATEMATICA (ignore o acento)?

Ver dica

Conte quantas vezes aparece cada letra: M, A, T, E, I, C.

Ver solução

São 10 letras: M aparece 2 vezes, A 3 vezes, T 2 vezes, e E, I, C uma vez cada. Anagramas: 10! ÷ (2! × 3! × 2!) = 3 628 800 ÷ 24 = 151 200.

4Exercício 4

De um grupo de 4 rapazes e 5 raparigas escolhem-se 3 pessoas para uma comissão. Quantas comissões têm pelo menos um rapaz?

Ver solução

Total de comissões: C(9, 3) = 84. Sem nenhum rapaz (3 raparigas entre 5): C(5, 3) = 10. Com pelo menos um rapaz: 84 − 10 = 74.

5Exercício 5

Sentam-se numa fila 3 rapazes e 3 raparigas, de modo que nunca fiquem dois rapazes ao lado um do outro, nem duas raparigas. De quantas maneiras é possível?

Ver dica

Só existem dois padrões de alternância: começa por rapaz ou começa por rapariga.

Ver solução

Para cada padrão (RPRPRP ou PRPRPR), os 3 rapazes ordenam-se de 3! = 6 maneiras e as 3 raparigas de 3! = 6 maneiras: 6 × 6 = 36. Com os dois padrões: 2 × 36 = 72.

Perguntas frequentes

Como estudar este tema com exercícios?

Resolva primeiro uns cinco exercícios de cada tipo (multiplicação, permutações, arranjos, combinações) para fixar o reconhecimento, e só depois passe às restrições e ao «pelo menos». Em cada exercício, escreva por palavras as perguntas da estratégia (quantas etapas, a ordem conta, há repetição) antes de calcular.

Que tipo de exercícios saem nos exames?

Os enunciados tendem a combinar o princípio da multiplicação com arranjos ou combinações e a juntar condições como «sempre juntos», «nunca juntos» ou «pelo menos». O peso do tema varia conforme o programa e a escola, por isso confirme no programa em vigor e em provas anteriores.

Onde posso rever a teoria?

No manual da sua classe, na secção de combinatória, e nos outros artigos do MeuGuia sobre probabilidade, onde as contagens aqui treinadas servem para calcular casos favoráveis e casos possíveis.

Como sei se uso A(n, p) ou C(n, p)?

Imagine duas escolhas com os mesmos elementos por ordens diferentes. Se forem resultados distintos (pódio, senha, fila), use A(n, p). Se forem o mesmo resultado (comissão, equipa, jogo entre duas equipas), use C(n, p).

Resumo

  • Pergunte sempre: quantas etapas, a ordem conta, há repetição, há restrições.
  • Permutações n!, arranjos n! ÷ (n − p)!, combinações n! ÷ (p! × (n − p)!), arranjos com repetição np.
  • Etapas seguidas multiplicam-se; casos alternativos disjuntos somam-se.
  • Com letras ou elementos repetidos, divida pelos fatoriais das repetições.
  • Em «pelo menos» e em «nunca juntos», calcule o total menos o contrário.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
  • OpenStax, Precalculus (em inglês), no capítulo sobre sequências, probabilidade e teoria da contagem.
  • Khan Academy, em português, na secção de probabilidade e combinatória.

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