Matemática · 10.ª–12.ª classe

Como desenvolver uma potência de um binómio?

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Resposta curta

Para desenvolver (a + b)n usa-se o binómio de Newton: somam-se os n + 1 termos Cn,k × an − k × bk, com k de 0 a n. Os coeficientes Cn,k lêem-se na linha n do triângulo de Pascal. Exemplo: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Em (a − b)n os sinais alternam.

Quando se aplica

Um binómio é uma soma (ou diferença) de dois termos, como x + 2 ou 2x − 3. Desenvolver (a + b)n com n natural é escrever essa potência como uma soma de monómios, sem multiplicar o binómio por si próprio n vezes.

Lembre-se: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, e não a2 + b2. O binómio de Newton generaliza esta ideia a qualquer expoente natural.

Os coeficientes: triângulo de Pascal

Cada linha começa e acaba em 1; cada número intermédio é a soma dos dois que estão acima dele. A linha n dá os coeficientes Cn,0, Cn,1, …, Cn,n.

nCoeficientes
01
11, 1
21, 2, 1
31, 3, 3, 1
41, 4, 6, 4, 1
51, 5, 10, 10, 5, 1
61, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Para expoentes grandes, calcule o coeficiente diretamente: Cn,k = n! ÷ (k! × (n − k)!).

A fórmula

Binómio de Newton

(a + b)n = Cn,0 an + Cn,1 an−1 b + Cn,2 an−2 b2 + … + Cn,n bn

Termo geral (de ordem k + 1): Tk+1 = Cn,k × an−k × bk

Propriedades

  • Há n + 1 termos.
  • Em cada termo, os expoentes de a e de b somam n; o de a desce de n a 0 e o de b sobe de 0 a n.
  • Os coeficientes são simétricos: Cn,k = Cn,n−k.
  • Fazendo a = b = 1, a soma dos coeficientes de (a + b)n é 2n.
  • Em (a − b)n, trate o segundo termo como (−b): os sinais alternam (+, −, +, −, …), porque as potências ímpares de um número negativo são negativas.

Método passo a passo

  1. Identifique a, b e n em (a + b)n. Se há subtração, escreva b com o sinal: (2x − 3)4 tem a = 2x e b = −3.
  2. Escreva os coeficientes da linha n do triângulo de Pascal (ou calcule Cn,k).
  3. Distribua as potências: a com expoente n, n − 1, …, 0 e b com expoente 0, 1, …, n.
  4. Calcule cada termo com cuidado: (2x)3 = 8x3, e não 2x3; (−3)2 = 9.
  5. Reúna os termos e simplifique.
  6. Verifique substituindo um valor simples: com x = 1, a soma dos termos tem de igualar o valor do binómio original elevado a n.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Caso básico

Enunciado: Desenvolva (x + 2)3.

Resolução:

  1. a = x, b = 2, n = 3. Coeficientes da linha 3: 1, 3, 3, 1.
  2. (x + 2)3 = 1·x3 + 3·x2·2 + 3·x·22 + 1·23.
  3. Calcule: x3 + 6x2 + 3·x·4 + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

Resposta: (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8. Verificação: com x = 1, (1 + 2)3 = 27 e 1 + 6 + 12 + 8 = 27.

Exemplo 2 — Subtração e coeficiente no 1.º termo

Enunciado: Desenvolva (2x − 3)4.

Resolução:

  1. a = 2x, b = −3, n = 4. Coeficientes da linha 4: 1, 4, 6, 4, 1.
  2. 1·(2x)4 = 16x4.
  3. 4·(2x)3·(−3) = 4 × 8x3 × (−3) = −96x3.
  4. 6·(2x)2·(−3)2 = 6 × 4x2 × 9 = 216x2.
  5. 4·(2x)·(−3)3 = 4 × 2x × (−27) = −216x.
  6. 1·(−3)4 = 81.

Resposta: (2x − 3)4 = 16x4 − 96x3 + 216x2 − 216x + 81. Verificação: com x = 1, (2 − 3)4 = 1 e 16 − 96 + 216 − 216 + 81 = 1.

Exemplo 3 — Um termo específico

Enunciado: Determine o 4.º termo do desenvolvimento de (x + 2)7.

Resolução:

  1. O termo de ordem k + 1 é C7,k × x7−k × 2k. O 4.º termo corresponde a k = 3.
  2. C7,3 = (7 × 6 × 5) ÷ 6 = 35.
  3. T4 = 35 × x4 × 23 = 35 × 8 × x4 = 280x4.

Resposta: o 4.º termo é 280x4. Verificação: os expoentes de x e de 2 somam 4 + 3 = 7 = n, como deve ser.

Exemplo 4 — Termo independente (nível de exame)

Enunciado: Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)6.

Resolução:

  1. Escreva 1/x como x−1. O termo geral é Tk+1 = C6,k × (x2)6−k × (x−1)k.
  2. Reúna os expoentes de x: 2(6 − k) − k = 12 − 2k − k = 12 − 3k.
  3. O termo independente tem expoente 0: 12 − 3k = 0, logo k = 4.
  4. O coeficiente é C6,4 = C6,2 = (6 × 5) ÷ 2 = 15.

Resposta: o termo independente é 15. Verificação: no desenvolvimento completo os expoentes de x são 12, 9, 6, 3, 0, −3, −6, e o de expoente 0 é o 5.º termo (k = 4); na linha 6 do triângulo de Pascal (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1), o 5.º número é 15.

Erros frequentes

  • Escrever (a + b)2 = a2 + b2. Falta o termo central 2ab. Em geral, (a + b)n não é an + bn.
  • Esquecer o coeficiente e a potência na parte numérica. (2x)3 = 8x3, não 2x3; os coeficientes de a e de b também são elevados.
  • Perder o sinal em (a − b)n. Escreva b = −b e calcule as potências com parênteses: (−3)3 = −27.
  • Trocar a ordem dos expoentes. O expoente de a desce e o de b sobe; os dois somam sempre n.
  • Contar mal a ordem do termo. O termo de ordem k + 1 usa Cn,k: o 4.º termo corresponde a k = 3, e não a k = 4.
  • Usar a linha errada do triângulo. Para n = 5, os coeficientes são os da linha 5 (1, 5, 10, 10, 5, 1), que tem 6 números.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Desenvolva (x + 1)4.

Ver solução

Coeficientes da linha 4: 1, 4, 6, 4, 1. (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1. Verificação: com x = 1, 24 = 16 e 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

2Exercício 2

Desenvolva (x − 2)3.

Ver dica

Trate o 2 como (−2): a = x, b = −2.

Ver solução

Coeficientes: 1, 3, 3, 1. x3 + 3x2(−2) + 3x(−2)2 + (−2)3 = x3 − 6x2 + 12x − 8. Verificação: com x = 1, (1 − 2)3 = −1 e 1 − 6 + 12 − 8 = −1.

3Exercício 3

Calcule 993 sem calculadora, escrevendo 99 = 100 − 1 e usando o binómio de Newton.

Ver solução

(100 − 1)3 = 1003 − 3 × 1002 × 1 + 3 × 100 × 12 − 13 = 1 000 000 − 30 000 + 300 − 1 = 970 299. Verificação: 992 = 9 801 e 9 801 × 99 = 980 100 − 9 801 = 970 299.

4Exercício 4

Determine o coeficiente de x3 no desenvolvimento de (2x + 1)5.

Ver dica

O termo geral é C5,k × (2x)5−k × 1k. Procure o k que dá x3.

Ver solução

O expoente de x é 5 − k = 3, logo k = 2. Termo: C5,2 × (2x)3 × 12 = 10 × 8x3 = 80x3. O coeficiente é 80. Verificação: o desenvolvimento completo é 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1.

5Exercício 5

Desenvolva (3x − 2)4 e determine o coeficiente de x2 e a soma de todos os coeficientes.

Ver dica

Para a soma dos coeficientes basta substituir x por 1 no binómio.

Ver solução

a = 3x, b = −2, coeficientes 1, 4, 6, 4, 1. Termos: (3x)4 = 81x4; 4(3x)3(−2) = −216x3; 6(3x)2(−2)2 = 6 × 9 × 4 x2 = 216x2; 4(3x)(−2)3 = −96x; (−2)4 = 16. Desenvolvimento: 81x4 − 216x3 + 216x2 − 96x + 16. Coeficiente de x2: 216. Soma dos coeficientes: (3 − 2)4 = 1; confirma-se com 81 − 216 + 216 − 96 + 16 = 1.

Perguntas frequentes

Devo usar o triângulo de Pascal ou a fórmula de C(n,k)?

Para expoentes pequenos (até 5 ou 6), o triângulo é mais rápido. Para expoentes maiores, ou quando só pede um termo, calcule Cn,k diretamente, porque construir o triângulo até à linha n seria demorado.

Quantos termos tem o desenvolvimento de (a + b)n?

Tem n + 1 termos, porque o expoente de b toma os valores 0, 1, 2, …, n. Por exemplo, (a + b)7 tem 8 termos.

Porque é que os sinais alternam em (a − b)n?

Porque se escreve a − b = a + (−b) e se aplica a fórmula com b negativo. As potências pares de −b são positivas e as ímpares são negativas, e daí a alternância +, −, +, −.

Como se determina um termo específico sem desenvolver tudo?

Use o termo geral Tk+1 = Cn,k × an−k × bk. Para o termo de ordem m, tome k = m − 1. Se pedirem um termo com certo expoente de x, escreva o expoente total de x em função de k e resolva a equação para k.

Resumo

  • Binómio de Newton: (a + b)n é a soma de Cn,k × an−k × bk, com k de 0 a n.
  • Há n + 1 termos; os expoentes de a e b somam sempre n.
  • Os coeficientes vêm da linha n do triângulo de Pascal ou de Cn,k = n! ÷ (k! × (n − k)!).
  • Em (a − b)n os sinais alternam; use parênteses para (−b).
  • O termo de ordem k + 1 é Tk+1 = Cn,k × an−k × bk.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O tema «Como calcular as combinações?», nesta secção, para os coeficientes Cn,k.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry ou Precalculus (em inglês), secção sobre o teorema binomial.

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