Matemática · 10.ª–12.ª classe
Como calcular as combinações?
Resposta curta
Combinações simples de n elementos tomados p a p são os subconjuntos de p elementos escolhidos entre n elementos distintos, sem contar a ordem. O número é Cn,p = n! ÷ (p! × (n − p)!). Exemplo: escolher 3 delegados entre 5 alunos, sem cargos, dá C5,3 = 10 grupos possíveis.
Quando se aplica
Use combinações quando escolhe p elementos de n e a ordem não conta: formar uma comissão, escolher uma equipa, tirar cartas de um baralho, selecionar disciplinas opcionais, contar os jogos de um campeonato em que cada par joga uma vez.
O teste prático é trocar dois dos elementos escolhidos entre si: se o grupo continua a ser o mesmo, a ordem não conta e usam-se combinações. Se a troca produz uma situação diferente (cargos, lugares numerados), usam-se arranjos.
Fórmula
Combinações simples
Cn,p = n! ÷ (p! × (n − p)!) = An,p ÷ p!
Na prática, escreve-se o numerador como produto de p fatores a descer de n e divide-se por p!: C8,3 = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 56. A notação varia entre manuais (Cn,p, Cnp, ⁿCp ou o símbolo de coeficiente binomial); o cálculo é o mesmo.
De onde vem
Cada grupo de p elementos pode ser ordenado de p! maneiras. Os arranjos contam todos esses grupos ordenados, logo contam cada combinação p! vezes. Dividindo por p!, fica só uma contagem por grupo.
Propriedades
- Simetria: Cn,p = Cn,n−p. Escolher quem entra é o mesmo que escolher quem fica de fora; por isso C10,8 = C10,2 = 45.
- Extremos: Cn,0 = Cn,n = 1 e Cn,1 = n.
- Relação de Pascal: Cn,p + Cn,p+1 = Cn+1,p+1. É a regra do triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois acima dele. A linha n = 5 é 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Método passo a passo
- Confirme que se escolhe um subconjunto de p elementos entre n e que a ordem não conta.
- Identifique n e p. Se p > n ÷ 2, use a simetria e calcule Cn,n−p, que tem menos fatores.
- Escreva p fatores a descer de n no numerador e p! no denominador.
- Simplifique antes de multiplicar (corte fatores comuns). O resultado é sempre um número inteiro.
- Problemas com condições (por exemplo, «exatamente 2 raparigas»): multiplique as combinações de cada grupo (o «e» dá produto).
- Problemas com «pelo menos»: some os casos possíveis ou, mais depressa, calcule o total e subtraia o caso contrário.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Cálculo direto
Enunciado: Calcule C8,3.
Resolução:
- C8,3 = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1).
- Numerador: 8 × 7 × 6 = 336. Denominador: 3 × 2 × 1 = 6.
- 336 ÷ 6 = 56.
Resposta: C8,3 = 56. Verificação: pela simetria, C8,5 = (8 × 7 × 6 × 5 × 4) ÷ 120 = 6 720 ÷ 120 = 56.
Exemplo 2 — Campeonato todos contra todos
Enunciado: Num campeonato com 16 equipas, cada par de equipas joga uma única vez. Quantos jogos há?
Resolução:
- Cada jogo corresponde a um par de equipas e a ordem não conta (A contra B é o mesmo jogo que B contra A).
- Número de jogos: C16,2 = (16 × 15) ÷ 2 = 240 ÷ 2 = 120.
Resposta: 120 jogos. Verificação: cada uma das 16 equipas joga 15 vezes, o que dá 16 × 15 = 240 participações; como cada jogo envolve 2 equipas, 240 ÷ 2 = 120.
Exemplo 3 — Comissão com condições
Enunciado: Numa turma há 7 rapazes e 5 raparigas. Quer-se formar uma comissão de 3 pessoas. Quantas comissões há (a) com exatamente 2 raparigas? (b) com pelo menos 1 rapariga?
Resolução:
- (a) Escolhem-se 2 raparigas entre 5 e 1 rapaz entre 7: C5,2 × C7,1 = 10 × 7 = 70.
- (b) Total de comissões: C12,3 = (12 × 11 × 10) ÷ 6 = 220.
- Sem nenhuma rapariga (3 rapazes entre 7): C7,3 = (7 × 6 × 5) ÷ 6 = 35.
- Com pelo menos 1 rapariga: 220 − 35 = 185.
Resposta: (a) 70; (b) 185. Verificação: por casos, 1 rapariga: 5 × C7,2 = 5 × 21 = 105; 2 raparigas: 70; 3 raparigas: C5,3 = 10; 105 + 70 + 10 = 185.
Exemplo 4 — Diagonais de um polígono (nível de exame)
Enunciado: Quantas diagonais tem um decágono (polígono de 10 lados)?
Resolução:
- Dois vértices quaisquer determinam um segmento: C10,2 = (10 × 9) ÷ 2 = 45 segmentos.
- Desses, 10 são lados do polígono e não diagonais.
- Diagonais: 45 − 10 = 35.
Resposta: 35 diagonais. Verificação: a fórmula n(n − 3) ÷ 2 dá 10 × 7 ÷ 2 = 35, com cada vértice a ligar-se a 7 outros (não conta ele próprio nem os 2 vizinhos).
Erros frequentes
- Usar arranjos quando a ordem não conta. Uma comissão de 3 pessoas entre 5 é C5,3 = 10, e não A5,3 = 60.
- Esquecer a divisão por p! O numerador sozinho conta cada grupo várias vezes.
- Somar em vez de multiplicar as escolhas de dois grupos independentes: «2 raparigas e 1 rapaz» dá C5,2 × C7,1, não C5,2 + C7,1.
- Resolver «pelo menos» só com um caso. «Pelo menos 1 rapariga» inclui 1, 2 e 3 raparigas; o complementar (nenhuma rapariga) é o caminho mais curto.
- Contar o mesmo grupo duas vezes ao dividir por casos que se sobrepõem.
- Aceitar resultados decimais. Uma combinação é sempre um inteiro; se obteve fração, houve erro de cálculo.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule: (a) C6,2; (b) C7,7; (c) C9,1; (d) C9,8.
Ver solução
(a) (6 × 5) ÷ 2 = 15. (b) 1 (só há uma maneira de escolher todos). (c) 9. (d) C9,8 = C9,1 = 9, pela simetria.
2Exercício 2
Num mercado há 6 tipos diferentes de fruta. De quantas maneiras se pode encher um saco com 3 tipos diferentes?
Ver solução
A ordem não conta: C6,3 = (6 × 5 × 4) ÷ 6 = 120 ÷ 6 = 20 maneiras.
3Exercício 3
De um grupo de 9 jogadores de basquetebol escolhem-se 5 para formar a equipa titular. Quantas equipas diferentes são possíveis?
Ver solução
C9,5 = (9 × 8 × 7 × 6 × 5) ÷ 120 = 15 120 ÷ 120 = 126. Verificação: C9,4 = (9 × 8 × 7 × 6) ÷ 24 = 3 024 ÷ 24 = 126, pela simetria.
4Exercício 4
Numa turma há 10 rapazes e 8 raparigas. Quantas comissões de 3 pessoas se podem formar com exatamente 1 rapaz?
Ver dica
Escolha o rapaz e as duas raparigas separadamente e multiplique.
Ver solução
1 rapaz entre 10: C10,1 = 10. 2 raparigas entre 8: C8,2 = (8 × 7) ÷ 2 = 28. Total: 10 × 28 = 280 comissões.
5Exercício 5
Determine n, natural, tal que Cn,2 = 21.
Ver dica
Escreva Cn,2 = n(n − 1) ÷ 2 e resolva a equação.
Ver solução
n(n − 1) ÷ 2 = 21 → n(n − 1) = 42 → n2 − n − 42 = 0. Pela fórmula resolvente, n = (1 ± √169) ÷ 2 = (1 ± 13) ÷ 2, logo n = 7 ou n = −6. Como n é natural, n = 7. Verificação: C7,2 = (7 × 6) ÷ 2 = 21.
Perguntas frequentes
Como sei se devo usar C ou A?
Verifique se a ordem conta. Se trocar dois elementos escolhidos dá uma situação diferente (cargos, pódio, lugares), use arranjos. Se o grupo fica igual (comissão, equipa, mão de cartas), use combinações. A relação é An,p = Cn,p × p!.
Porque é que C(n,p) = C(n,n−p)?
Escolher p elementos para entrar num grupo é o mesmo que escolher os n − p que ficam de fora. Cada grupo escolhido corresponde a exatamente um grupo de excluídos, por isso o número de casos é igual.
Como se liga o triângulo de Pascal às combinações?
A linha n do triângulo de Pascal lista, por ordem, Cn,0, Cn,1, …, Cn,n. Cada número é a soma dos dois que estão acima dele, que traduz Cn,p + Cn,p+1 = Cn+1,p+1. Assim, C5,2 = 10 lê-se na linha 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Como resolvo problemas com «pelo menos» ou «no máximo»?
Há duas vias: somar os casos possíveis (1, 2 e 3 raparigas, por exemplo) ou subtrair do total os casos que não servem (nenhuma rapariga). A segunda é normalmente mais curta quando «pelo menos» exclui apenas um caso.
Resumo
- Combinações: escolher p de n elementos sem ordem, e sem repetição.
- Cn,p = n! ÷ (p! × (n − p)!) = An,p ÷ p!.
- Propriedades: Cn,p = Cn,n−p, Cn,0 = Cn,n = 1 e Cn,1 = n.
- Condições simultâneas multiplicam-se; casos alternativos somam-se.
- Em «pelo menos», calcule total − caso contrário sempre que seja mais curto.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Os temas «Como calcular os arranjos?» e «Como desenvolver uma potência de um binómio?», nesta secção.
- O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre contagem, permutações e combinações.
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