Matemática · 10.ª–12.ª classe

Como calcular as permutações?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Permutação simples de n elementos distintos é cada ordenação possível desses n elementos, e o seu número é Pn = n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1. Por exemplo, 4 pessoas podem alinhar-se numa fila de 4! = 24 maneiras. Se alguns elementos forem repetidos, divide-se n! pelo fatorial de cada repetição.

Quando se aplica

Use permutações quando todos os elementos disponíveis são usados e a ordem conta: alinhar pessoas numa fila, ordenar livros numa prateleira, formar anagramas de uma palavra, atribuir lugares a todos os convidados. Se apenas parte dos elementos for escolhida, o tema é outro (arranjos ou combinações).

O fatorial

O fatorial de um número natural n, escrito n!, é o produto de todos os naturais de 1 a n. Por convenção, 0! = 1.

Permutações simples

Pn = n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1

n012345678
n!1126241207205 04040 320

De onde vem a fórmula

Pelo princípio da multiplicação: há n escolhas para o 1.º lugar; depois sobram n − 1 para o 2.º; depois n − 2; e assim sucessivamente até restar apenas 1 elemento para o último lugar. Multiplicam-se as possibilidades: n × (n − 1) × … × 1 = n!.

Casos que aparecem em exercícios

  • Elementos repetidos: se entre os n elementos há grupos de elementos iguais, com k1, k2, … repetições, o número de ordenações distintas é n! ÷ (k1! × k2! × …).
  • Elementos que ficam juntos: trate-os como um único bloco, permute os blocos e multiplique pelas permutações dentro do bloco.
  • Lugares fixos: coloque primeiro os elementos com posição imposta e permute os restantes.
  • Permutações circulares: se só interessam as posições relativas (mesa redonda), o número é (n − 1)!. Confirme se o seu programa as inclui.

Método passo a passo

  1. Verifique se são usados todos os elementos e se a ordem conta.
  2. Conte n, o número de elementos.
  3. Há restrições? Se há elementos juntos, formam-se blocos; se há posições impostas, ocupam-se primeiro.
  4. Há repetidos? Divida pelo fatorial do número de vezes que cada elemento se repete.
  5. Calcule o fatorial; simplifique antes de multiplicar (por exemplo, 8! ÷ 6! = 8 × 7).
  6. Verifique a ordem de grandeza: n! cresce muito depressa, por isso resultados pequenos para n grande indicam erro.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Alinhar pessoas

Enunciado: De quantas maneiras 5 alunos se podem alinhar numa fila?

Resolução:

  1. São usados todos os 5 alunos e a ordem conta: permutações de 5 elementos.
  2. P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Resposta: 120 maneiras. Verificação: 5 escolhas para o 1.º lugar, 4 para o 2.º, 3 para o 3.º, 2 para o 4.º e 1 para o último: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Exemplo 2 — Anagramas com letras repetidas

Enunciado: Quantos anagramas distintos tem a palavra LUANDA?

Resolução:

  1. A palavra tem 6 letras: L, U, A, N, D, A. A letra A repete-se 2 vezes; as outras são distintas.
  2. Se as duas letras A fossem distinguíveis haveria 6! = 720 ordenações.
  3. Trocar os dois A entre si não produz um anagrama novo, por isso divide-se por 2! = 2.
  4. 720 ÷ 2 = 360.

Resposta: 360 anagramas. Verificação: 6!/2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Exemplo 3 — Elementos que ficam juntos

Enunciado: A Ana, o Bruno, o Carlos, a Diana e a Eva sentam-se em 5 cadeiras lado a lado. De quantas maneiras o podem fazer, se a Ana e o Bruno têm de ficar sempre juntos?

Resolução:

  1. Trate a Ana e o Bruno como um bloco. Há então 4 «objetos» a ordenar: o bloco, o Carlos, a Diana e a Eva. São 4! = 24 ordenações.
  2. Dentro do bloco, a Ana e o Bruno podem trocar de lugar: 2! = 2.
  3. Total: 24 × 2 = 48.

Resposta: 48 maneiras. Verificação: em 5 cadeiras existem 4 pares de cadeiras vizinhas; em cada par há 2 ordens para a Ana e o Bruno e 3! = 6 formas de sentar os outros três: 4 × 2 × 6 = 48.

Exemplo 4 — Grupos juntos (nível de exame)

Enunciado: Numa prateleira vão arrumar-se 3 livros de Matemática e 3 de Física, todos diferentes. (a) De quantas maneiras se podem arrumar os 6 livros? (b) E se os livros da mesma disciplina tiverem de ficar juntos?

Resolução:

  1. (a) Seis livros distintos, todos usados: 6! = 720.
  2. (b) Formam-se dois blocos (Matemática e Física), que se podem ordenar de 2! = 2 maneiras.
  3. Dentro do bloco de Matemática há 3! = 6 ordens; dentro do de Física, também 3! = 6.
  4. Total: 2 × 6 × 6 = 72.

Resposta: (a) 720; (b) 72. Verificação: (b) é menor do que (a), como é de esperar quando se impõe uma restrição; e 72 divide 720 (720 ÷ 72 = 10).

Erros frequentes

  • Usar permutações quando só se escolhe parte dos elementos. Se há 8 candidatos e só 3 lugares de pódio, não é 8!; é um arranjo.
  • Esquecer a divisão quando há letras ou objetos repetidos. O número de anagramas de BANANA não é 6! = 720: há que dividir por 3! × 2!.
  • Calcular 0! como 0. Por convenção, 0! = 1. A regra n! = n × (n − 1)! aplicada a n = 1 dá 1! = 1 × 0!, e como 1! = 1, tem de ser 0! = 1.
  • Esquecer a permutação interna do bloco. Em «Ana e Bruno juntos», multiplicar só por 4! dá metade da resposta certa; falta o 2!.
  • Somar em vez de multiplicar os fatores. As escolhas sucessivas multiplicam-se.
  • Efetuar (n + m)! como n! + m!. Por exemplo, 3! + 2! = 8, mas 5! = 120.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule: (a) 6!; (b) 8! ÷ 6!; (c) 4! + 3!.

Ver solução

(a) 6! = 720. (b) 8! ÷ 6! = 8 × 7 = 56. (c) 4! + 3! = 24 + 6 = 30.

2Exercício 2

Quantos números de quatro algarismos distintos se podem formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4?

Ver solução

Usam-se os 4 algarismos e a ordem conta: P4 = 4! = 24.

3Exercício 3

Quantos anagramas distintos tem a palavra BANANA?

Ver dica

Conte quantas vezes se repete cada letra: B, A, N.

Ver solução

6 letras: B (1 vez), A (3 vezes), N (2 vezes). Número de anagramas = 6! ÷ (3! × 2!) = 720 ÷ 12 = 60.

4Exercício 4

Oito pessoas alinham-se numa fila. De quantas maneiras o podem fazer se a Joana tem de ser a primeira e o Pedro o último?

Ver solução

Os dois extremos ficam fixos. Sobram 6 pessoas para os 6 lugares do meio: 6! = 720 maneiras.

5Exercício 5

Quatro rapazes e três raparigas alinham-se numa fila. De quantas maneiras o podem fazer se os rapazes ficam todos juntos e as raparigas também?

Ver dica

Há dois blocos. Conte a ordem dos blocos e a ordem dentro de cada bloco.

Ver solução

Ordem dos dois blocos: 2! = 2. Ordens dentro do bloco dos rapazes: 4! = 24. Ordens dentro do bloco das raparigas: 3! = 6. Total: 2 × 24 × 6 = 288.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre permutação e arranjo?

Na permutação usam-se todos os elementos e só muda a ordem; no arranjo escolhem-se p elementos entre n e a ordem também conta. A permutação é o caso particular em que p = n: Pn = n!.

Porque é que 0! = 1?

Por convenção, e porque é a única escolha coerente com a regra n! = n × (n − 1)!. Com n = 1 essa regra dá 1! = 1 × 0!, e como 1! = 1, tem de ser 0! = 1. Há também exatamente uma maneira de ordenar zero elementos: não fazer nada.

Quando é que se divide por fatoriais?

Quando há elementos iguais entre os que se ordenam. Trocar dois elementos iguais entre si não produz uma ordenação nova, por isso divide-se por k! para cada grupo de k elementos iguais.

Como se calculam permutações numa mesa redonda?

Se só interessam as posições relativas (rodar todos um lugar não conta como diferente), fixa-se uma pessoa e permutam-se as outras n − 1: (n − 1)!. Confirme no seu programa se este caso é pedido.

Resumo

  • Pn = n! conta as ordenações de n elementos distintos, todos usados.
  • n! = n × (n − 1) × … × 1, com 0! = 1.
  • Com elementos repetidos: n! ÷ (k1! × k2! × …).
  • Elementos que ficam juntos formam um bloco; multiplique pelas ordens internas.
  • Se nem todos os elementos são usados, o tema é arranjos ou combinações.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Os temas seguintes desta secção: arranjos e combinações.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre contagem, permutações e combinações.

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