Matemática · 10.ª–12.ª classe
Como calcular os arranjos?
Resposta curta
Arranjos simples de n elementos tomados p a p são os grupos ordenados de p elementos escolhidos entre n elementos distintos: a ordem conta e não há repetição. O número é An,p = n! ÷ (n − p)!, isto é, o produto de p fatores a começar em n. Exemplo: o número de pódios (1.º, 2.º e 3.º lugar) com 5 candidatos é 5 × 4 × 3 = 60.
Quando se aplica
Use arranjos quando escolhe p elementos de um conjunto de n e a ordem em que ficam importa: atribuir cargos diferentes, formar códigos ou números com algarismos distintos, classificar os primeiros lugares de uma corrida.
O teste prático é trocar dois elementos escolhidos: se a troca dá uma situação diferente (o presidente passa a secretário, o 1.º passa a 2.º), a ordem conta e usam-se arranjos. Se a troca dá o mesmo grupo (uma comissão sem cargos), usam-se combinações.
Fórmula
Arranjos simples
An,p = n! ÷ (n − p)! = n × (n − 1) × … × (n − p + 1) (p fatores)
Os manuais escrevem este número de várias maneiras: An,p, Anp ou ainda ⁿAp. Confirme a notação do seu manual; o cálculo é o mesmo.
De onde vem
Pelo princípio da multiplicação: n escolhas para o 1.º lugar, n − 1 para o 2.º, n − 2 para o 3.º, e assim por diante, até ao lugar de ordem p, que tem n − p + 1 escolhas. Multiplicam-se p fatores.
Casos particulares
- p = n: An,n = n!, que são as permutações de n elementos.
- p = 1: An,1 = n.
- Arranjos com repetição: quando o mesmo elemento pode ser escolhido várias vezes (por exemplo, um código de 4 dígitos que admite dígitos repetidos), cada posição tem sempre n escolhas e o total é np. Confirme se o seu programa os inclui.
Método passo a passo
- Confirme as três condições: escolhem-se p de n elementos, a ordem conta e não se repete o mesmo elemento.
- Identifique n e p.
- Escreva p fatores a decrescer a partir de n: n × (n − 1) × … até ter p fatores.
- Multiplique. É mais rápido do que calcular n! e (n − p)! por inteiro.
- Se houver restrições (primeiro algarismo não pode ser 0, certa pessoa tem de ficar num cargo), conte primeiro a posição restringida e depois as restantes.
- Verifique: o resultado tem de ser inteiro e não pode ser maior do que np.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Pódio de uma prova
Enunciado: Numa prova com 5 candidatos, de quantas maneiras se podem atribuir o 1.º, o 2.º e o 3.º lugar?
Resolução:
- Escolhem-se 3 de 5 candidatos e a ordem conta: A5,3.
- A5,3 = 5! ÷ 2! = 120 ÷ 2 = 60.
Resposta: 60 pódios possíveis. Verificação: 5 × 4 × 3 = 60 (5 candidatos para o 1.º lugar, 4 para o 2.º, 3 para o 3.º).
Exemplo 2 — Cargos numa associação
Enunciado: Uma turma tem 12 alunos. De quantas maneiras se podem eleger um presidente, um secretário e um tesoureiro, sem acumulação de cargos?
Resolução:
- Os cargos são diferentes, portanto a ordem conta: A12,3.
- A12,3 = 12 × 11 × 10 = 132 × 10 = 1 320.
Resposta: 1 320 maneiras. Verificação: pela fórmula, 12! ÷ 9! = 12 × 11 × 10 = 1 320.
Exemplo 3 — Números de algarismos distintos
Enunciado: Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos se podem formar? Quantos são pares?
Resolução:
- Total: A6,3 = 6 × 5 × 4 = 120.
- Para ser par, o último algarismo tem de ser 2, 4 ou 6: 3 escolhas.
- Os dois primeiros algarismos escolhem-se entre os 5 restantes, com ordem: A5,2 = 5 × 4 = 20.
- Pares: 3 × 20 = 60.
Resposta: há 120 números, dos quais 60 são pares. Verificação: metade dos algarismos disponíveis (2, 4, 6) são pares, e metade de 120 é 60.
Exemplo 4 — Restrição no primeiro algarismo (nível de exame)
Enunciado: Quantos números de 3 algarismos distintos se podem formar com os algarismos de 0 a 9?
Resolução:
- O 1.º algarismo não pode ser 0: tem 9 escolhas (1 a 9).
- O 2.º algarismo pode ser qualquer um dos restantes, incluindo o 0, menos o já usado: 9 escolhas.
- O 3.º algarismo: 8 escolhas.
- Total: 9 × 9 × 8 = 648.
Resposta: 648 números. Verificação: A10,3 = 10 × 9 × 8 = 720 conta também os que começam por 0; esses são 1 × 9 × 8 = 72, e 720 − 72 = 648.
Erros frequentes
- Usar arranjos quando a ordem não conta. Escolher 3 delegados sem cargos é combinação; escolher presidente, secretário e tesoureiro é arranjo.
- Multiplicar o número errado de fatores. A7,3 tem 3 fatores (7 × 6 × 5 = 210), e não 7; o número de fatores é p.
- Calcular n! em vez de n! ÷ (n − p)! Dar 5! = 120 como resposta ao pódio de 3 lugares entre 5 candidatos ignora a divisão.
- Esquecer a restrição do 0 nos números com vários algarismos: 0 não pode ser o primeiro.
- Confundir com repetição. Se os algarismos podem repetir-se, não é An,p, é np (104 = 10 000 códigos de 4 dígitos).
- Aceitar p > n. Não existem arranjos de 5 elementos tomados 7 a 7 sem repetição.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule: (a) A7,2; (b) A6,4; (c) A5,5.
Ver solução
(a) 7 × 6 = 42. (b) 6 × 5 × 4 × 3 = 360. (c) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120.
2Exercício 2
Numa corrida participam 8 atletas. De quantas maneiras se podem distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze?
Ver solução
A ordem conta e escolhem-se 3 de 8: A8,3 = 8 × 7 × 6 = 336.
3Exercício 3
Com as letras A, B, C, D e E formam-se senhas de 3 letras distintas. Quantas senhas existem?
Ver solução
A5,3 = 5 × 4 × 3 = 60 senhas.
4Exercício 4
Um código PIN tem 4 dígitos, de 0 a 9. Quantos PINs existem (a) se os dígitos podem repetir-se? (b) se os dígitos têm de ser todos diferentes?
Ver dica
Em (a) cada posição tem sempre 10 escolhas; em (b) as escolhas vão diminuindo.
Ver solução
(a) 10 × 10 × 10 × 10 = 104 = 10 000. (b) A10,4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040. Verificação: 5 040 é menor do que 10 000, como esperado.
5Exercício 5
Quantos números de 4 algarismos distintos se podem formar com os algarismos de 0 a 9?
Ver dica
O 1.º algarismo não pode ser 0.
Ver solução
1.º algarismo: 9 escolhas (1 a 9). 2.º: 9 (já não pode repetir o 1.º, mas já pode ser 0). 3.º: 8. 4.º: 7. Total: 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536. Verificação: A10,4 = 5 040 e os que começam por 0 são 1 × 9 × 8 × 7 = 504; 5 040 − 504 = 4 536.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre arranjos e combinações?
Nos arranjos a ordem conta; nas combinações não. Entre as mesmas 5 pessoas, escolher presidente, secretário e tesoureiro dá A5,3 = 60, mas escolher uma comissão de 3 pessoas sem cargos dá apenas C5,3 = 10. A relação é An,p = Cn,p × p!.
Qual é a relação entre arranjos e permutações?
As permutações são o caso em que se usam todos os elementos: Pn = An,n = n!. Os arranjos generalizam-nas ao escolher apenas p elementos de n.
Como sei se a ordem conta?
Pergunte-se se trocar dois elementos escolhidos dá um resultado diferente. Num pódio, trocar o 1.º com o 2.º muda o resultado; numa equipa de 5 jogadores escolhida entre 9, trocar dois jogadores não muda a equipa.
Posso usar a calculadora?
Muitas calculadoras científicas têm uma tecla de arranjos (frequentemente rotulada nPr). Confirme no manual da sua calculadora e verifique o resultado com a multiplicação de p fatores, para evitar erros de introdução.
Resumo
- Arranjos: escolher p de n elementos com ordem e sem repetição.
- An,p = n! ÷ (n − p)! = produto de p fatores a decrescer a partir de n.
- Se p = n, obtém-se a permutação n!. Se a repetição é permitida, o total é np.
- Relação com as combinações: An,p = Cn,p × p!.
- Em números de vários algarismos, trate primeiro a restrição do 0 inicial.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Os temas «Como calcular as permutações?» e «Como calcular as combinações?», nesta secção.
- O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre contagem, permutações e combinações.
Continue a estudar
Como calcular as permutações?
Permutação simples de n elementos distintos é cada ordenação possível desses n elementos, e o seu número é Pn = n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1. Por exemplo, 4 pessoas…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular as combinações?
Combinações simples de n elementos tomados p a p são os subconjuntos de p elementos escolhidos entre n elementos distintos, sem contar a ordem. O número é Cn,p = n! ÷…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Exercícios resolvidos de análise combinatória
Em qualquer exercício de análise combinatória, pergunte primeiro se a ordem importa e se pode haver repetição. Se a ordem importa, use arranjos (ou permutações, quando…
9 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como desenvolver uma potência de um binómio?
Para desenvolver (a + b)n usa-se o binómio de Newton: somam-se os n + 1 termos Cn,k × an − k × bk, com k de 0 a n. Os coeficientes Cn,k lêem-se na linha n do triângulo…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Ver tudo de Matemática · Capítulo: Combinatória e probabilidades