Matemática · 7.ª–9.ª classe
Quais são os casos notáveis da multiplicação?
Resposta curta
Os casos notáveis da multiplicação são identidades que dão o resultado de certos produtos sem os multiplicar termo a termo. Os três principais são: o quadrado da soma, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; o quadrado da diferença, (a − b)2 = a2 − 2ab + b2; e a diferença de quadrados, (a + b)(a − b) = a2 − b2.
Critério de classificação
São chamados «notáveis» porque aparecem com muita frequência e têm um padrão fixo, que vale a pena decorar. Também se lhes chama produtos notáveis em alguns países e manuais. Classificam-se pelo padrão do produto:
- Fator repetido, com sinal «+»: (a + b)2, o quadrado da soma de dois termos.
- Fator repetido, com sinal «−»: (a − b)2, o quadrado da diferença de dois termos.
- Dois fatores que diferem só no sinal do meio: (a + b)(a − b), que dá a diferença de dois quadrados.
Em cada caso, as letras a e b representam qualquer número, letra ou expressão. Por exemplo, em (2x + 5)2, o termo a é 2x e o termo b é 5.
Alguns programas e manuais acrescentam os casos de grau três (o cubo da soma, o cubo da diferença, a soma e a diferença de cubos). Confirme no manual da sua classe quais deles constam do seu programa.
Descrição de cada item
Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Lê-se: «o quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo». O resultado tem três termos, todos positivos (se a e b forem positivos). Prova-se multiplicando: (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2.
Quadrado da diferença: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Só muda o sinal do termo do meio: o duplo produto é negativo. O último termo, b2, continua positivo, porque um quadrado nunca é negativo.
Diferença de quadrados: (a + b)(a − b) = a2 − b2
O produto da soma pela diferença dos mesmos dois termos dá o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Os termos do meio, +ab e −ab, anulam-se, e por isso o resultado tem só dois termos.
Extensão a grau três (confirme no programa)
| Caso | Desenvolvimento |
|---|---|
| (a + b)3 | a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| (a − b)3 | a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| (a + b)(a2 − ab + b2) | a3 + b3 |
| (a − b)(a2 + ab + b2) | a3 − b3 |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Quadrado da soma
Enunciado: Desenvolva (x + 5)2.
Resolução:
- Identifique a = x e b = 5.
- Quadrado do primeiro: x2.
- Duplo produto: 2 × x × 5 = 10x.
- Quadrado do segundo: 52 = 25.
Resposta: x2 + 10x + 25. Verificação: para x = 1, (1 + 5)2 = 36 e 1 + 10 + 25 = 36.
Exemplo 2 — Quadrado da diferença com coeficiente
Enunciado: Desenvolva (2x − 3)2.
Resolução:
- Identifique a = 2x e b = 3.
- Quadrado do primeiro: (2x)2 = 4x2.
- Duplo produto, com sinal negativo: −2 × 2x × 3 = −12x.
- Quadrado do segundo: 32 = 9.
Resposta: 4x2 − 12x + 9. Verificação: para x = 1, (2 − 3)2 = 1 e 4 − 12 + 9 = 1.
Exemplo 3 — Diferença de quadrados
Enunciado: Desenvolva (3a + 4)(3a − 4).
Resolução:
- Os fatores só diferem no sinal do meio, com a = 3a e b = 4.
- Quadrado do primeiro: (3a)2 = 9a2.
- Quadrado do segundo: 42 = 16.
- O resultado é a diferença: 9a2 − 16.
Resposta: 9a2 − 16. Verificação: para a = 1, (3 + 4)(3 − 4) = 7 × (−1) = −7 e 9 − 16 = −7.
Exemplo 4 — Nível de exame: cálculo mental e grau três
Enunciado: (a) Calcule 512, 492 e 52 × 48 sem calculadora. (b) Desenvolva (x + 2)3.
Resolução:
- (a) 512 = (50 + 1)2 = 2 500 + 100 + 1 = 2 601.
- 492 = (50 − 1)2 = 2 500 − 100 + 1 = 2 401.
- 52 × 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2 500 − 4 = 2 496.
- (b) (x + 2)3 = x3 + 3 × x2 × 2 + 3 × x × 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Resposta: (a) 2 601, 2 401 e 2 496; (b) x3 + 6x2 + 12x + 8. Verificação: 52 × 48 = 52 × 50 − 52 × 2 = 2 600 − 104 = 2 496; e em (b), para x = 1, 33 = 27 e 1 + 6 + 12 + 8 = 27.
Quadro-resumo
| Caso notável | Fórmula | Nº de termos | Sinais |
|---|---|---|---|
| Quadrado da soma | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 | 3 | +, +, + |
| Quadrado da diferença | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 | 3 | +, −, + |
| Diferença de quadrados | (a + b)(a − b) = a2 − b2 | 2 | +, − |
Como memorizar
- No quadrado, o resultado começa e acaba com os quadrados dos termos, e o do meio é o duplo produto.
- O sinal do meio do resultado é o sinal que está dentro do parêntese; os quadrados são sempre positivos.
- No quadrado da soma, o padrão vê-se na área: um quadrado de lado a + b divide-se em um quadrado de área a2, um quadrado de área b2 e dois retângulos de área ab, e daí vem o duplo produto 2ab.
Erros frequentes
- Escrever (a + b)2 = a2 + b2. Falta o duplo produto 2ab. Com a = 1 e b = 2, (1 + 2)2 = 9, mas 1 + 4 = 5.
- Confundir o quadrado da diferença com a diferença de quadrados. (a − b)2 tem três termos; a2 − b2 tem dois e vem de (a + b)(a − b).
- Pôr sinal negativo no último termo. Em (a − b)2, o termo b2 é positivo.
- Esquecer o coeficiente ao elevar ao quadrado. (2x)2 = 4x2, e não 2x2.
- Esquecer o fator 2 no duplo produto. Em (x + 5)2, o termo do meio é 10x e não 5x.
- Aplicar o caso notável a um produto que não tem o padrão. (x + 3)(x − 5) não é uma diferença de quadrados, porque os termos 3 e 5 são diferentes.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Desenvolva (x + 7)2.
Ver solução
Quadrado do primeiro: x2. Duplo produto: 2 × x × 7 = 14x. Quadrado do segundo: 49. Resultado: x2 + 14x + 49.
2Exercício 2
Desenvolva (3x − 2)2.
Ver solução
(3x)2 = 9x2; duplo produto: −2 × 3x × 2 = −12x; 22 = 4. Resultado: 9x2 − 12x + 4. Verificação com x = 1: (3 − 2)2 = 1 e 9 − 12 + 4 = 1.
3Exercício 3
(a) Desenvolva (5a + 2b)(5a − 2b). (b) Complete o quadrado perfeito: x2 + 12x + ? = (x + ?)2.
Ver dica
Em (b), o termo do meio, 12x, é o duplo produto 2 × x × (número).
Ver solução
(a) (5a)2 − (2b)2 = 25a2 − 4b2. (b) 2 × x × n = 12x dá n = 6, logo o termo em falta é 62 = 36: x2 + 12x + 36 = (x + 6)2. Verificação: (x + 6)2 = x2 + 12x + 36.
4Exercício 4
Calcule mentalmente, usando casos notáveis: (a) 1032; (b) 97 × 103.
Ver solução
(a) 1032 = (100 + 3)2 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609. (b) 97 × 103 = (100 − 3)(100 + 3) = 10 000 − 9 = 9 991. Verificação de (b): 97 × 100 + 97 × 3 = 9 700 + 291 = 9 991.
5Exercício 5
Sabendo que x + y = 10 e xy = 21, calcule x2 + y2.
Ver dica
Parta de (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
Ver solução
Como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2, tem-se 102 = x2 + y2 + 2 × 21, ou seja, 100 = x2 + y2 + 42. Logo x2 + y2 = 100 − 42 = 58. Verificação com x = 3 e y = 7: 3 + 7 = 10, 3 × 7 = 21 e 9 + 49 = 58.
Perguntas frequentes
Quantos são os casos notáveis da multiplicação?
O habitual, no 1.º ciclo do secundário, é estudarem-se três: quadrado da soma, quadrado da diferença e diferença de quadrados. Alguns manuais acrescentam os de grau três. Confirme no manual e no programa da sua classe qual é a lista exigida.
Qual é a classificação mais usada?
A que separa os quadrados (da soma e da diferença, com três termos) da diferença de quadrados (com dois termos). Se o enunciado tiver um parêntese elevado ao quadrado, pense em «quadrado»; se tiver dois parênteses iguais exceto no sinal do meio, pense em «diferença de quadrados».
Como memorizar a lista?
Repita em voz alta: «quadrado do primeiro, duplo produto, quadrado do segundo». Depois lembre-se de que a diferença de quadrados não tem termo do meio. Resolva todos os dias dois ou três desenvolvimentos pequenos até ficar automático.
Para que servem os casos notáveis fora dos exercícios de desenvolvimento?
Servem para fatorizar (a2 − b2 = (a + b)(a − b), por exemplo 9x2 − 25 = (3x + 5)(3x − 5)), para simplificar expressões e para fazer cálculo mental com números próximos de 50 ou de 100.
Resumo
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2; (a + b)(a − b) = a2 − b2.
- Os quadrados dos termos são sempre positivos; o duplo produto leva o sinal do parêntese.
- Na diferença de quadrados não há termo do meio.
- Os casos notáveis são úteis para o cálculo mental e para fatorizar.
- Os de grau três podem ou não constar do seu programa: confirme no manual.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Elementary Algebra (em inglês), na secção sobre produtos especiais de polinómios.
- A Khan Academy, que tem lições sobre produtos notáveis disponíveis em português.
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