Matemática · 7.ª–9.ª classe

Como somar e subtrair polinómios?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para somar polinómios, escreva-os um a seguir ao outro e reduza os termos semelhantes (os que têm a mesma parte literal), somando os coeficientes. Para subtrair, troque o sinal de todos os termos do polinómio que se subtrai e depois some. Exemplo: (3x2 + 2x) − (x2 − 5x) = 3x2 + 2x − x2 + 5x = 2x2 + 7x.

Quando se aplica

Somam-se e subtraem-se polinómios quando se juntam ou se comparam grandezas escritas com letras, por exemplo os perímetros de duas figuras, os custos de duas operações ou os dois lados de uma igualdade. É também a base para multiplicar e fatorizar polinómios.

Pré-requisitos

  • Monómio: um número, uma letra ou um produto de ambos, como 5, x, −3x2 ou 2ab. O número é o coeficiente e as letras formam a parte literal.
  • Polinómio: uma soma de monómios. Cada monómio é um termo. O termo sem letra é o termo independente.
  • Termos semelhantes: têm exatamente a mesma parte literal (mesmas letras com os mesmos expoentes). Assim, 4x2 e −7x2 são semelhantes, mas 4x2 e 4x não são.
  • Grau de um polinómio: o maior expoente que aparece na forma reduzida. O polinómio 6x2 − 4x + 3 tem grau 2.

Como se eliminam os parênteses

EscritaResultadoPorquê
+ (2x − 3)2x − 3o sinal «+» mantém os sinais
− (2x − 3)−2x + 3o sinal «−» troca todos os sinais

Método passo a passo

  1. Reduza e ordene cada polinómio por ordem decrescente dos expoentes, se ainda não estiver assim.
  2. Escreva a operação com cada polinómio entre parênteses: (A) + (B) ou (A) − (B).
  3. Elimine os parênteses: no caso da soma, mantêm-se os sinais; na subtração, trocam-se os sinais de todos os termos do segundo polinómio.
  4. Agrupe os termos semelhantes, com o seu sinal, por exemplo sublinhando-os com marcas diferentes.
  5. Some os coeficientes de cada grupo e mantenha a parte literal.
  6. Ordene o resultado por grau decrescente e indique o grau.
  7. Verifique substituindo x por um número simples (como 1 ou 2) nos dois lados da operação.

Alternativa: dispor em colunas

Pode alinhar os termos semelhantes por colunas e somar cada coluna. Na subtração, troque primeiro os sinais da linha de baixo. Deixe um espaço vazio onde faltar um termo.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Soma

Enunciado: Calcule (4x2 + 3x − 5) + (2x2 − 7x + 8).

Resolução:

  1. Elimine os parênteses, mantendo os sinais: 4x2 + 3x − 5 + 2x2 − 7x + 8.
  2. Agrupe: (4x2 + 2x2) + (3x − 7x) + (−5 + 8).
  3. Some os coeficientes: 6x2 − 4x + 3.

Resposta: 6x2 − 4x + 3, polinómio de grau 2. Verificação: para x = 1, os dois polinómios valem (4 + 3 − 5) = 2 e (2 − 7 + 8) = 3, cuja soma é 5; o resultado vale 6 − 4 + 3 = 5.

Exemplo 2 — Subtração

Enunciado: Calcule (5x2 − 2x + 1) − (3x2 + 4x − 6).

Resolução:

  1. Troque os sinais do segundo polinómio: 5x2 − 2x + 1 − 3x2 − 4x + 6.
  2. Agrupe: (5x2 − 3x2) + (−2x − 4x) + (1 + 6).
  3. Some os coeficientes: 2x2 − 6x + 7.

Resposta: 2x2 − 6x + 7. Verificação: para x = 1, o primeiro polinómio vale 4 e o segundo vale 3 + 4 − 6 = 1; a diferença é 3, e o resultado vale 2 − 6 + 7 = 3.

Exemplo 3 — Nível de exame: três polinómios

Enunciado: Sejam A = 2x3 − x + 4, B = x3 + 3x2 − 2x e C = −x3 + x2 − x + 1. Calcule A + B − C.

Resolução:

  1. A + B = 2x3 − x + 4 + x3 + 3x2 − 2x = 3x3 + 3x2 − 3x + 4.
  2. Subtrair C é somar o seu simétrico: −C = x3 − x2 + x − 1.
  3. A + B − C = 3x3 + 3x2 − 3x + 4 + x3 − x2 + x − 1.
  4. Agrupe: (3 + 1)x3 + (3 − 1)x2 + (−3 + 1)x + (4 − 1).

Resposta: 4x3 + 2x2 − 2x + 3. Verificação: para x = 1, A = 5, B = 2 e C = 0, logo A + B − C = 7; o resultado vale 4 + 2 − 2 + 3 = 7.

Exemplo 4 — Nível de exame: descobrir um polinómio

Enunciado: Determine o polinómio P tal que P + (x2 − 3x + 2) = 4x2 + x − 5.

Resolução:

  1. Para isolar P, subtraia x2 − 3x + 2 aos dois membros: P = (4x2 + x − 5) − (x2 − 3x + 2).
  2. Troque os sinais: P = 4x2 + x − 5 − x2 + 3x − 2.
  3. Agrupe: (4 − 1)x2 + (1 + 3)x + (−5 − 2).

Resposta: P = 3x2 + 4x − 7. Verificação: (3x2 + 4x − 7) + (x2 − 3x + 2) = 4x2 + x − 5, porque 3 + 1 = 4, 4 − 3 = 1 e −7 + 2 = −5.

Erros frequentes

  • Somar termos que não são semelhantes. 3x + 2x2 não é 5x3; a expressão já está reduzida, porque as partes literais são diferentes.
  • Mexer nos expoentes ao somar. 3x2 + 2x2 = 5x2: somam-se os coeficientes e o expoente fica igual.
  • Trocar só o primeiro sinal na subtração. −(x2 − 5x) é −x2 + 5x, e não −x2 − 5x.
  • Esquecer os termos sem par. Se um termo não tem semelhante no outro polinómio, copie-o para o resultado sem o perder.
  • Esquecer o coeficiente 1. x é 1x e −x é −1x. Em 3x − x, o resultado é 2x.
  • Não ordenar o resultado. Escreva sempre por ordem decrescente de grau, para indicar o grau sem enganos.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule (2x + 5) + (3x − 9).

Ver solução

2x + 5 + 3x − 9 = (2x + 3x) + (5 − 9) = 5x − 4.

2Exercício 2

Calcule (7x2 − 3x + 2) − (4x2 − 5x + 6).

Ver solução

7x2 − 3x + 2 − 4x2 + 5x − 6 = (7 − 4)x2 + (−3 + 5)x + (2 − 6) = 3x2 + 2x − 4. Verificação com x = 1: 6 − 5 = 1 e 3 + 2 − 4 = 1.

3Exercício 3

Simplifique (3a2b + 2ab) − (a2b − 5ab).

Ver dica

Os termos com a2b são semelhantes entre si, e os termos com ab também.

Ver solução

3a2b + 2ab − a2b + 5ab = (3 − 1)a2b + (2 + 5)ab = 2a2b + 7ab.

4Exercício 4

Os lados de um triângulo medem (2x + 3), (3x − 1) e (x + 5), em centímetros. (a) Escreva o perímetro como polinómio. (b) Outro triângulo tem perímetro 4x + 2. Escreva a diferença entre os dois perímetros. (c) Calcule ambos os resultados para x = 4.

Ver solução

(a) 2x + 3 + 3x − 1 + x + 5 = 6x + 7. (b) (6x + 7) − (4x + 2) = 6x + 7 − 4x − 2 = 2x + 5. (c) Para x = 4: o perímetro é 6 × 4 + 7 = 31 cm; o outro é 4 × 4 + 2 = 18 cm; a diferença é 2 × 4 + 5 = 13 cm, e 31 − 18 = 13.

5Exercício 5

Determine o polinómio P tal que P − (2x2 − x + 3) = x2 + 4x − 1.

Ver dica

Para desfazer a subtração, some 2x2 − x + 3 aos dois membros.

Ver solução

P = (x2 + 4x − 1) + (2x2 − x + 3) = (1 + 2)x2 + (4 − 1)x + (−1 + 3) = 3x2 + 3x + 2. Verificação: (3x2 + 3x + 2) − (2x2 − x + 3) = x2 + 4x − 1.

Perguntas frequentes

O que são termos semelhantes?

São termos com a mesma parte literal, isto é, as mesmas letras com os mesmos expoentes. Só estes se podem juntar. Em 5x2 − 3x + 2x2, os termos 5x2 e 2x2 são semelhantes e juntam-se em 7x2; o −3x fica à parte.

O grau do resultado pode ser menor do que o dos polinómios?

Pode. Quando os termos de maior grau se anulam, o grau desce: (x3 + 2x) − (x3 − 1) = 2x + 1, que tem grau 1. Por isso, determine o grau só depois de reduzir.

Existe um método mais rápido do que escrever tudo em linha?

O método das colunas é mais rápido quando os polinómios são longos, porque cada coluna agrupa os termos semelhantes. Na subtração, troque os sinais da linha de baixo antes de somar.

O que acontece se subtrair um polinómio dele próprio?

Obtém o polinómio nulo, 0. Por exemplo, (x + 1) − (x + 1) = x + 1 − x − 1 = 0.

Resumo

  • Só se juntam termos semelhantes (mesma parte literal); somam-se os coeficientes e mantém-se a parte literal.
  • Na soma, os parênteses eliminam-se sem mudar sinais.
  • Na subtração, trocam-se os sinais de todos os termos do polinómio que se subtrai.
  • Ordene o resultado por grau decrescente e indique o grau.
  • Verifique substituindo x por um valor simples nos dois lados.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Elementary Algebra ou Intermediate Algebra (em inglês), nos capítulos sobre polinómios.
  • A Khan Academy, que tem lições sobre adição e subtração de polinómios disponíveis em português.

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