Matemática · 7.ª–9.ª classe

Como multiplicar polinómios?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para multiplicar polinómios, multiplique cada termo do primeiro por todos os termos do segundo (propriedade distributiva), aplicando a regra dos sinais aos coeficientes e somando os expoentes das letras iguais. No fim, reduza os termos semelhantes. Exemplo: (x + 3)(x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6.

Quando se aplica

A multiplicação de polinómios aparece quando se desenvolve um produto de parêntesis, por exemplo ao calcular a área de um retângulo de lados escritos com letras, o volume de uma caixa, ou ao resolver equações em que há produtos de binómios. É também o passo inverso da fatorização.

Pré-requisitos

  • Regra dos sinais da multiplicação: sinais iguais dão +, sinais diferentes dão −.
  • Regra dos expoentes: xm × xn = x(m+n). Por exemplo, x2 × x3 = x5, porque (x × x) × (x × x × x) tem cinco fatores x.
  • Multiplicação de monómios: multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes. Assim, 3x × 2x2 = 6x3.
  • Redução de termos semelhantes (ver a soma e a subtração de polinómios).

Os três casos de multiplicação

CasoExemploProcesso
Monómio × monómio4x × (−3x2) = −12x3coeficientes × coeficientes; expoentes somam-se
Monómio × polinómio2x(x − 5) = 2x2 − 10xo monómio multiplica cada termo
Polinómio × polinómio(x + 3)(x + 2)cada termo com cada termo

Método passo a passo

  1. Escreva os dois polinómios em forma reduzida e ordenada.
  2. Multiplique o primeiro termo do 1.º polinómio por todos os termos do 2.º.
  3. Repita com o segundo termo do 1.º polinómio, e assim sucessivamente. Se o 1.º tiver 2 termos e o 2.º tiver 3, terá de obter 2 × 3 = 6 produtos.
  4. Em cada produto, multiplique os coeficientes (com a regra dos sinais) e some os expoentes das letras iguais.
  5. Reduza os termos semelhantes e ordene o resultado por ordem decrescente de grau.
  6. Verifique com um valor de x (por exemplo x = 1 ou x = 2): o produto dos valores dos fatores deve igualar o valor do resultado. O grau do produto é a soma dos graus dos fatores.

Alternativa: o quadro de multiplicação

Coloque os termos de um polinómio na primeira linha e os do outro na primeira coluna; cada célula é o produto dos termos correspondentes. Para (x + 3)(x + 2):

×x3
xx23x
22x6

Somando todas as células: x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Monómio por polinómio

Enunciado: Calcule 3x(2x2 − 5x + 4).

Resolução:

  1. 3x × 2x2 = 6x3.
  2. 3x × (−5x) = −15x2.
  3. 3x × 4 = 12x.

Resposta: 6x3 − 15x2 + 12x. Verificação: para x = 1, 3 × (2 − 5 + 4) = 3 × 1 = 3, e o resultado vale 6 − 15 + 12 = 3.

Exemplo 2 — Binómio por binómio

Enunciado: Calcule (x − 4)(2x + 5).

Resolução:

  1. x × 2x = 2x2 e x × 5 = 5x.
  2. (−4) × 2x = −8x e (−4) × 5 = −20.
  3. Junte: 2x2 + 5x − 8x − 20.
  4. Reduza os termos semelhantes: 5x − 8x = −3x.

Resposta: 2x2 − 3x − 20. Verificação: para x = 1, (1 − 4)(2 + 5) = (−3) × 7 = −21, e o resultado vale 2 − 3 − 20 = −21.

Exemplo 3 — A área de um terreno

Enunciado: Um terreno retangular tem comprimento (3x + 2) metros e largura (2x − 1) metros. Escreva a área como polinómio e calcule-a para x = 5.

Resolução:

  1. Área = comprimento × largura = (3x + 2)(2x − 1).
  2. 3x × 2x = 6x2; 3x × (−1) = −3x; 2 × 2x = 4x; 2 × (−1) = −2.
  3. Junte: 6x2 − 3x + 4x − 2 = 6x2 + x − 2.
  4. Para x = 5: 6 × 25 + 5 − 2 = 150 + 5 − 2 = 153.

Resposta: A = 6x2 + x − 2 e, para x = 5, a área é 153 m². Verificação: para x = 5, os lados são 17 m e 9 m, e 17 × 9 = 153.

Exemplo 4 — Nível de exame: binómio por trinómio

Enunciado: Calcule (2x − 3)(x2 + 4x − 1).

Resolução:

  1. Quadro de multiplicação:
×x24x−1
2x2x38x2−2x
−3−3x2−12x+3
  1. Some todas as células: 2x3 + 8x2 − 2x − 3x2 − 12x + 3.
  2. Reduza: 8x2 − 3x2 = 5x2 e −2x − 12x = −14x.

Resposta: 2x3 + 5x2 − 14x + 3, polinómio de grau 3 (1 + 2). Verificação: para x = 2, (4 − 3)(4 + 8 − 1) = 1 × 11 = 11, e o resultado vale 16 + 20 − 28 + 3 = 11.

Erros frequentes

  • Multiplicar só os termos «correspondentes». (x + 3)(x + 2) não é x2 + 6; faltam os produtos cruzados 2x e 3x.
  • Multiplicar os expoentes em vez de os somar. x2 × x3 = x5, e não x6.
  • Somar os coeficientes em vez de os multiplicar. 3x × 2x = 6x2, e não 5x2.
  • Errar o sinal. (−3) × (−4x) = +12x. Escreva o sinal de cada produto antes de reduzir.
  • Não multiplicar o último termo. 3x(2x2 − 5x + 4) é 6x3 − 15x2 + 12x; o 4 também é multiplicado por 3x.
  • Pensar que (x + 3)2 = x2 + 9. Elevar ao quadrado é multiplicar duas vezes: (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule −2x(x2 − 3x + 5).

Ver solução

−2x × x2 = −2x3; −2x × (−3x) = +6x2; −2x × 5 = −10x. Resultado: −2x3 + 6x2 − 10x.

2Exercício 2

Calcule (x + 7)(x − 3).

Ver solução

x2 − 3x + 7x − 21 = x2 + 4x − 21. Verificação com x = 1: 8 × (−2) = −16 e 1 + 4 − 21 = −16.

3Exercício 3

Calcule (3x − 2)(3x + 2).

Ver dica

Repare que os termos cruzados vão ter sinais contrários.

Ver solução

9x2 + 6x − 6x − 4 = 9x2 − 4. Os termos cruzados anulam-se.

4Exercício 4

Uma caixa tem comprimento x, largura (x + 2) e altura (x + 3), em decímetros. Escreva o volume como polinómio e calcule-o para x = 2.

Ver solução

V = x(x + 2)(x + 3). Primeiro (x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6. Depois x(x2 + 5x + 6) = x3 + 5x2 + 6x. Para x = 2: 8 + 20 + 12 = 40 dm³. Verificação: 2 × 4 × 5 = 40.

5Exercício 5

Mostre que (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2) = a3 + 8b3.

Ver dica

Multiplique cada termo de a + 2b por cada um dos três termos; depois procure termos simétricos.

Ver solução

a × a2 = a3; a × (−2ab) = −2a2b; a × 4b2 = 4ab2; 2b × a2 = 2a2b; 2b × (−2ab) = −4ab2; 2b × 4b2 = 8b3. Os termos −2a2b e +2a2b anulam-se, e 4ab2 e −4ab2 também. Fica a3 + 8b3.

Perguntas frequentes

Quantos produtos tenho de calcular?

O número de termos do primeiro polinómio vezes o número de termos do segundo. Em (x + 3)(x2 − x + 1) há 2 × 3 = 6 produtos. Contá-los ajuda a confirmar que não se esqueceu de nenhum.

Qual é o grau do produto de dois polinómios?

É a soma dos graus dos fatores. Um polinómio de grau 2 vezes um de grau 1 dá um polinómio de grau 3, como no exemplo (2x − 3)(x2 + 4x − 1), que tem grau 3.

Posso multiplicar sem usar o quadro?

Sim. O quadro serve para organizar, sobretudo com três ou mais termos. Quando já domina, aplique a propriedade distributiva diretamente, mas escreva todos os produtos antes de reduzir.

Quando devo usar os casos notáveis em vez de multiplicar termo a termo?

Quando os fatores têm a forma (a + b)2, (a − b)2 ou (a + b)(a − b). Os casos notáveis dão o resultado direto, mas só funcionam nesses padrões. Nos restantes casos, multiplique termo a termo.

Resumo

  • Multiplica-se cada termo de um polinómio por cada termo do outro.
  • Coeficientes multiplicam-se (regra dos sinais); expoentes das letras iguais somam-se.
  • Depois de multiplicar, reduza os termos semelhantes e ordene o resultado.
  • O grau do produto é a soma dos graus dos fatores.
  • Verifique com um valor de x: o produto dos fatores tem de igualar o resultado.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Elementary Algebra ou Intermediate Algebra (em inglês), nos capítulos sobre polinómios.
  • A Khan Academy, que tem lições sobre multiplicação de polinómios disponíveis em português.

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