Matemática · 7.ª–9.ª classe

Como fatorizar um polinómio?

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Resposta curta

Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como produto de polinómios de grau menor. Siga esta ordem: 1.º ponha em evidência o fator comum; 2.º agrupe os termos, se forem quatro; 3.º procure um caso notável; 4.º, num trinómio x2 + bx + c, procure dois números de soma b e produto c. Exemplo: x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3), porque 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6.

Quando se aplica

Fatoriza-se para simplificar frações algébricas, para resolver equações (um produto é zero quando um dos fatores é zero) e para reconhecer a estrutura de uma expressão. Fatorizar é o processo inverso de multiplicar: se multiplicar os fatores que encontrou, tem de recuperar o polinómio inicial.

Pré-requisitos

  • Multiplicar polinómios e usar a propriedade distributiva.
  • Os casos notáveis: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 e a2 − b2 = (a + b)(a − b).
  • Calcular o máximo divisor comum (mdc) de números e identificar a menor potência de cada letra.

Quadro das técnicas

TécnicaQuando usarExemplo
Fator comum em evidênciaTodos os termos têm um fator comum6x3 − 9x2 = 3x2(2x − 3)
AgrupamentoQuatro termos, em dois grupos com fator comumax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)
Diferença de quadradosDois quadrados perfeitos separados por «−»x2 − 25 = (x + 5)(x − 5)
Quadrado perfeitoTrinómio com dois quadrados e o duplo produtox2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Trinómio x2 + bx + cNúmeros de soma b e produto cx2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Método passo a passo

  1. Procure o fator comum a todos os termos: o mdc dos coeficientes e a menor potência de cada letra. Se existir, ponha-o em evidência e divida cada termo por ele.
  2. Conte os termos do que ficou entre parênteses. Com dois termos, veja se é uma diferença de quadrados. Com três termos, veja se é um quadrado perfeito ou um trinómio x2 + bx + c. Com quatro termos, tente o agrupamento.
  3. Aplique a técnica correspondente.
  4. Continue a fatorizar cada fator, até nenhum se poder decompor mais.
  5. Verifique multiplicando os fatores: deve obter o polinómio inicial.

Como fatorizar x2 + bx + c

Procure dois números p e q tais que p + q = b e p × q = c. Então x2 + bx + c = (x + p)(x + q). Comece pelos pares de fatores de c e veja qual deles tem soma b. Para c positivo, p e q têm o mesmo sinal (o de b); para c negativo, têm sinais diferentes.

Quando o coeficiente de x2 não é 1, como em 2x2 + 5x + 3, procure por tentativas dois binómios que multipliquem ao polinómio dado: (2x + 3)(x + 1) = 2x2 + 2x + 3x + 3 = 2x2 + 5x + 3. Confirme no seu programa se este caso é estudado na sua classe.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Fator comum em evidência

Enunciado: Fatorize 6x3 − 9x2 + 3x.

Resolução:

  1. O mdc de 6, 9 e 3 é 3. A menor potência de x é x (expoente 1). O fator comum é 3x.
  2. Divida cada termo por 3x: 6x3 ÷ 3x = 2x2; −9x2 ÷ 3x = −3x; 3x ÷ 3x = 1.
  3. Escreva 3x(2x2 − 3x + 1).

Resposta: 3x(2x2 − 3x + 1). Verificação: 3x × 2x2 = 6x3; 3x × (−3x) = −9x2; 3x × 1 = 3x. Recupera o polinómio inicial.

Exemplo 2 — Casos notáveis

Enunciado: Fatorize (a) 25x2 − 49; (b) x2 − 10x + 25.

Resolução:

  1. (a) Dois quadrados separados por «−»: 25x2 = (5x)2 e 49 = 72. Logo (5x + 7)(5x − 7).
  2. (b) Os extremos são quadrados: x2 e 25 = 52. O termo do meio deve ser 2 × x × 5 = 10x, e tem sinal «−». Logo (x − 5)2.

Resposta: (a) (5x + 7)(5x − 7); (b) (x − 5)2. Verificação: (5x + 7)(5x − 7) = 25x2 − 35x + 35x − 49 = 25x2 − 49; (x − 5)(x − 5) = x2 − 10x + 25.

Exemplo 3 — Trinómio x2 + bx + c

Enunciado: Fatorize (a) x2 − 7x + 12; (b) x2 + 2x − 15.

Resolução:

  1. (a) Procure p + q = −7 e p × q = 12. Pares de fatores de 12 com o mesmo sinal negativo: (−3) e (−4), com soma −7. Logo (x − 3)(x − 4).
  2. (b) Procure p + q = 2 e p × q = −15. Sinais diferentes: 5 e (−3), com soma 2. Logo (x + 5)(x − 3).

Resposta: (a) (x − 3)(x − 4); (b) (x + 5)(x − 3). Verificação: (x − 3)(x − 4) = x2 − 4x − 3x + 12 = x2 − 7x + 12; (x + 5)(x − 3) = x2 − 3x + 5x − 15 = x2 + 2x − 15.

Exemplo 4 — Nível de exame: combinar técnicas

Enunciado: Fatorize completamente (a) x3 + x2 − 4x − 4; (b) 2x3 − 18x.

Resolução:

  1. (a) Quatro termos: agrupe-os. x2(x + 1) − 4(x + 1). Fator comum (x + 1): (x + 1)(x2 − 4).
  2. O segundo fator é uma diferença de quadrados: x2 − 4 = (x + 2)(x − 2).
  3. (b) Fator comum 2x: 2x(x2 − 9). Depois x2 − 9 = (x + 3)(x − 3).

Resposta: (a) (x + 1)(x + 2)(x − 2); (b) 2x(x + 3)(x − 3). Verificação: para x = 1, em (a) o polinómio vale 1 + 1 − 4 − 4 = −6 e o produto vale 2 × 3 × (−1) = −6; em (b) vale 2 − 18 = −16 e o produto vale 2 × 4 × (−2) = −16.

Erros frequentes

  • Perder o «1» ao pôr em evidência. 4x2 + 4x = 4x(x + 1), e não 4x(x). Quando um termo é igual ao fator comum, sobra 1 entre parênteses.
  • Não fatorizar até ao fim. x4 − 16 = (x2 + 4)(x2 − 4) ainda não está completo: x2 − 4 = (x + 2)(x − 2).
  • Fatorizar uma soma de quadrados como se fosse diferença. x2 + 9 não é (x + 3)(x + 3) nem (x + 3)(x − 3). Com números reais, x2 + 9 não se decompõe.
  • Trocar os sinais no trinómio. x2 − 7x + 12 é (x − 3)(x − 4); escrever (x + 3)(x + 4) daria x2 + 7x + 12.
  • Errar o sinal no agrupamento. Em x3 + x2 − 4x − 4, o segundo grupo é −4(x + 1) e não +4(x + 1).
  • Não verificar. Multiplique sempre os fatores no fim para ver se recupera o polinómio original.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Fatorize 12a2b − 18ab2.

Ver dica

O mdc de 12 e 18 é 6; a menor potência de a é a e a de b é b.

Ver solução

O fator comum é 6ab. Dividindo: 12a2b ÷ 6ab = 2a e 18ab2 ÷ 6ab = 3b. Resultado: 6ab(2a − 3b).

2Exercício 2

Fatorize 49x2 − 64.

Ver solução

49x2 = (7x)2 e 64 = 82. Diferença de quadrados: (7x + 8)(7x − 8).

3Exercício 3

Fatorize x2 + 8x + 15.

Ver solução

Procuram-se dois números com soma 8 e produto 15: 3 e 5. Logo (x + 3)(x + 5). Verificação: x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15.

4Exercício 4

Fatorize x2 − 2x − 24.

Ver dica

O produto é negativo, por isso os dois números têm sinais diferentes.

Ver solução

Procuram-se dois números com soma −2 e produto −24: −6 e 4. Logo (x − 6)(x + 4). Verificação: x2 + 4x − 6x − 24 = x2 − 2x − 24.

5Exercício 5

Fatorize completamente 3x3 − 3x2 − 12x + 12.

Ver dica

Comece pelo fator comum 3 e depois agrupe os quatro termos.

Ver solução

3(x3 − x2 − 4x + 4). Agrupe: x2(x − 1) − 4(x − 1) = (x − 1)(x2 − 4) = (x − 1)(x + 2)(x − 2). Resultado: 3(x − 1)(x + 2)(x − 2). Verificação com x = 3: o polinómio vale 81 − 27 − 36 + 12 = 30 e o produto vale 3 × 2 × 5 × 1 = 30.

Perguntas frequentes

Como sei qual técnica usar primeiro?

Comece sempre pelo fator comum. Depois veja o número de termos: dois sugerem diferença de quadrados, três sugerem quadrado perfeito ou trinómio, e quatro sugerem agrupamento.

Qual é a diferença entre fatorizar e resolver uma equação?

Fatorizar reescreve uma expressão como produto e não tem um «=» a resolver. Para resolver x2 + 5x + 6 = 0, fatoriza-se para (x + 2)(x + 3) = 0 e conclui-se que x = −2 ou x = −3, pois um produto é zero quando um fator é zero.

Todos os polinómios se podem fatorizar?

Não. Há polinómios que não se decompõem com números reais, como x2 + 9, e outros que já são o mais simples possível. Um polinómio de grau 1, como x + 5, não se decompõe mais.

Existe um método mais rápido para verificar?

Substitua x por um número simples, como 1, no polinómio e nos fatores. Os dois valores devem ser iguais. Se não coincidirem, há erro; se coincidirem, confirme também por multiplicação, porque um valor igual pode ser coincidência.

Resumo

  • Fatorizar é escrever um polinómio como produto de fatores de grau menor.
  • Ordem: fator comum → número de termos → casos notáveis, trinómio ou agrupamento → continuar até ao fim.
  • No trinómio x2 + bx + c, procure dois números com soma b e produto c.
  • Ao pôr em evidência, não perca o «1» quando um termo é igual ao fator comum.
  • Verifique sempre multiplicando os fatores.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Elementary Algebra (em inglês), no capítulo sobre fatorização de polinómios.
  • A Khan Academy, que tem lições sobre fatorização de polinómios disponíveis em português.

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