Matemática · 6.ª–9.ª classe

Como calcular a potência de uma potência?

  • 7 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para calcular a potência de uma potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes: (am)n = a(m×n). Por exemplo, (32)4 = 38 = 6 561. Os parênteses são essenciais: mostram que o expoente de fora atua sobre a potência inteira.

Quando se aplica

Aplica-se quando uma potência aparece dentro de parênteses e elevada a outro expoente, como em (32)4 ou (x4)3. A base pode ser um número, um número negativo ou uma letra.

Potência de uma potência

(am)n = a(m×n)

Porque é que se multiplicam os expoentes

O expoente de fora diz quantas vezes se repete o grupo de dentro. Em (32)4 repete-se quatro vezes o grupo 32:

32 × 32 × 32 × 32

Cada grupo tem dois fatores 3, e há quatro grupos: 2 × 4 = 8 fatores iguais a 3. Por isso o resultado é 38.

Ordem dos expoentes

Como a multiplicação é comutativa, (am)n = (an)m. Por exemplo, (23)4 e (24)3 dão ambos 212 = 4 096.

Compare as três situações

ExpressãoRegraResultado
(23)2multiplicar os expoentes26 = 64
23 × 22somar os expoentes25 = 32
23 ÷ 22subtrair os expoentes21 = 2

Método passo a passo

  1. Identifique a potência interior (am) e o expoente exterior (n).
  2. Mantenha a base a.
  3. Multiplique os dois expoentes: m × n.
  4. Calcule o valor, se for pedido: a(m×n).
  5. Verifique: calcule primeiro a potência de dentro e eleve o resultado ao expoente de fora; devem coincidir.

Com sinais e com letras

Se a base for negativa, o sinal do resultado depende só do expoente final: par dá positivo, ímpar dá negativo. Com letras, aplique a mesma regra a cada fator: (x4)3 = x12.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Caso básico

Enunciado: Escreva (32)4 como uma só potência e calcule o valor.

Resolução:

  1. Base 3, expoente interior 2, expoente exterior 4.
  2. Multiplicam-se os expoentes: 2 × 4 = 8.
  3. Fica 38. Como 34 = 81, tem-se 38 = 81 × 81 = 6 561.

Resposta: 38 = 6 561. Verificação: 32 = 9 e 94 = 9 × 9 × 9 × 9 = 81 × 81 = 6 561.

Exemplo 2 — Base 10

Enunciado: Calcule (103)2 e (102)5.

Resolução:

  1. (103)2: 3 × 2 = 6, logo 106.
  2. (102)5: 2 × 5 = 10, logo 1010.
  3. 106 é o 1 seguido de seis zeros; 1010 é o 1 seguido de dez zeros.

Resposta: 106 = 1 000 000 e 1010 = 10 000 000 000. Verificação: 1 000 × 1 000 = 1 000 000.

Exemplo 3 — Base negativa

Enunciado: Calcule ((−2)3)2 e ((−2)3)3.

Resolução:

  1. Primeiro: 3 × 2 = 6, logo (−2)6. Expoente par, resultado positivo: 26 = 64.
  2. Segundo: 3 × 3 = 9, logo (−2)9. Expoente ímpar, resultado negativo: 29 = 512, portanto −512.

Resposta: 64 e −512. Verificação: (−2)3 = −8; (−8)2 = 64 e (−8)3 = −512.

Exemplo 4 — Nível de exame: combinar propriedades

Enunciado: Simplifique e calcule ((23)2 × 24) ÷ (22)3.

Resolução:

  1. (23)2 = 26. Então o numerador é 26 × 24 = 210.
  2. O denominador (22)3 = 26.
  3. Quociente: 210 ÷ 26 = 24 = 16.

Resposta: o valor é 16. Verificação: 64 × 16 = 1 024 e 1 024 ÷ 64 = 16.

Erros frequentes

  • Somar os expoentes. (52)3 é 56 = 15 625, e não 55 = 3 125. Somam-se os expoentes só no produto de potências com a mesma base.
  • Multiplicar a base pelo expoente de fora. (23)2 = 82 = 64, e não 8 × 2 = 16.
  • Confundir com um expoente elevado a outro expoente. 2 elevado a 32 (isto é, 2 elevado a 9) vale 512, enquanto (23)2 = 26 = 64. A posição dos parênteses muda o resultado.
  • Aplicar a regra a uma soma. (2 + 3)2 = 25, e não 22 + 32 = 13.
  • Trocar o sinal de lugar. −24 = −16, mas (−2)4 = 16. Sem parênteses, o sinal fica fora da potência.
  • Perder o sinal quando o expoente final é ímpar. ((−2)3)3 = (−2)9 = −512, e não 512.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule (42)2.

Ver solução

2 × 2 = 4, logo 44 = 256. Verificação: 42 = 16 e 162 = 256.

2Exercício 2

Escreva (102)4 como potência de base 10 e por extenso.

Ver solução

2 × 4 = 8, logo 108 = 100 000 000 (o 1 seguido de oito zeros).

3Exercício 3

Simplifique (x3)5 e (a2)6.

Ver solução

(x3)5 = x(3×5) = x15. (a2)6 = a(2×6) = a12.

4Exercício 4

Calcule ((−3)2)2 e compare com −(32)2.

Ver dica

No segundo caso o sinal negativo está fora de todos os parênteses.

Ver solução

((−3)2)2 = (−3)4 = 81. Em −(32)2 calcula-se primeiro (32)2 = 34 = 81 e depois muda-se o sinal: −81. Os valores são simétricos, e não iguais. Verificação: (−3)2 = 9 e 92 = 81.

5Exercício 5

Escreva (43)2 como potência de base 2 e calcule o valor.

Ver dica

4 = 22. Aplique a regra duas vezes.

Ver solução

(43)2 = 46. Como 4 = 22, vem 46 = (22)6 = 212 = 4 096. Verificação: 43 = 64 e 642 = 4 096.

Perguntas frequentes

A potência de uma potência é igual ao produto das potências?

Não. O produto soma os expoentes (am × an = a(m+n)); a potência de uma potência multiplica-os. Teste com números: (22)3 = 26 = 64, mas 22 × 23 = 25 = 32.

Posso trocar a ordem dos expoentes?

Sim. (am)n e (an)m são iguais, porque m × n = n × m. Escolha a ordem que torne o cálculo mais simples.

Como se resolve quando há três níveis, como ((22)3)2?

Multiplique os três expoentes: 2 × 3 × 2 = 12, logo 212 = 4 096. Trabalhe sempre de dentro para fora se preferir verificar passo a passo.

Isto aplica-se a (ab)n?

Esse é outro caso. (ab)n = an × bn, onde o expoente se distribui pelos fatores do produto. Por exemplo, (2x3)2 = 22 × (x3)2 = 4x6.

Resumo

  • (am)n = a(m×n): mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.
  • O expoente de fora repete o grupo de dentro, por isso conta m fatores n vezes.
  • Se a base é negativa, o sinal final depende só de o expoente final ser par (positivo) ou ímpar (negativo).
  • Não confunda com o produto (somam-se) nem com o quociente (subtraem-se).
  • Quando as bases são potências umas das outras (4 = 22), reduza tudo à mesma base.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A secção sobre propriedades dos expoentes do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
  • Os exercícios sobre potência de uma potência da Khan Academy, disponíveis em português.

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