Matemática · 6.ª–9.ª classe

Quais são as propriedades das potências?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

As propriedades das potências permitem simplificar cálculos sem desenvolver tudo. Com a mesma base, soma-se o expoente no produto e subtrai-se no quociente; numa potência de potência, multiplicam-se os expoentes. Com o mesmo expoente, multiplica-se ou divide-se as bases. Além disso, a1 = a e a0 = 1.

O que são e como se classificam

Estas regras valem para potências de expoente natural (e, mais tarde, para expoentes inteiros). O critério mais útil para as organizar é olhar para o que as potências têm em comum:

  • mesma base e expoentes diferentes: produto e quociente;
  • mesmo expoente e bases diferentes: produto e quociente;
  • uma potência dentro de outra: potência de potência.

Na lista seguinte, a e b são números diferentes de zero (quando há divisões) e m e n são naturais.

Lista das propriedades

  1. Produto, mesma base: am × an = a(m+n)
  2. Quociente, mesma base: am ÷ an = a(m−n) (com m ≥ n)
  3. Potência de potência: (am)n = a(m×n)
  4. Produto, mesmo expoente: an × bn = (a × b)n
  5. Quociente, mesmo expoente: an ÷ bn = (a ÷ b)n
  6. Expoente 1 e expoente 0: a1 = a e a0 = 1

Descrição de cada propriedade

Produto de potências com a mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes. A razão é simples: 23 × 24 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) tem 3 + 4 = 7 fatores iguais a 2, logo é 27.

Quociente de potências com a mesma base

Mantém-se a base e subtraem-se os expoentes. Ao dividir, cortam-se fatores iguais no numerador e no denominador: 56 ÷ 54 fica com 6 − 4 = 2 fatores, isto é, 52.

Potência de potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes. (32)3 = 32 × 32 × 32, que tem 2 × 3 = 6 fatores iguais a 3.

Produto e quociente com o mesmo expoente

Mantém-se o expoente e multiplicam-se (ou dividem-se) as bases. 23 × 53 = (2 × 5)3 = 103. Esta regra é muito útil para formar potências de base 10.

Expoentes 1 e 0

Um só fator dá a1 = a. E a0 = 1 (com a diferente de 0) decorre da propriedade do quociente: an ÷ an = a(n−n) = a0, mas qualquer número dividido por si próprio é 1.

Quadro-resumo

SituaçãoRegraExemplo
Produto, mesma basesomar expoentes23 × 24 = 27 = 128
Quociente, mesma basesubtrair expoentes56 ÷ 54 = 52 = 25
Potência de potênciamultiplicar expoentes(32)3 = 36 = 729
Produto, mesmo expoentemultiplicar bases23 × 53 = 103 = 1 000
Quociente, mesmo expoentedividir bases122 ÷ 42 = 32 = 9

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Mesma base: produto e quociente

Enunciado: Escreva como uma só potência e calcule: 23 × 24 e 56 ÷ 54.

Resolução:

  1. Produto com a mesma base (2): somam-se os expoentes, 3 + 4 = 7, logo 27. Como 27 = 128, o resultado é 128.
  2. Quociente com a mesma base (5): subtraem-se os expoentes, 6 − 4 = 2, logo 52 = 25.

Resposta: 23 × 24 = 27 = 128; 56 ÷ 54 = 52 = 25. Verificação: 8 × 16 = 128 e 15 625 ÷ 625 = 25.

Exemplo 2 — Potência de potência

Enunciado: Calcule (32)3.

Resolução:

  1. Potência de potência: multiplicam-se os expoentes, 2 × 3 = 6.
  2. Fica 36 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729.

Resposta: (32)3 = 729. Verificação: 32 = 9 e 93 = 9 × 9 × 9 = 729.

Exemplo 3 — Mesmo expoente

Enunciado: Calcule 23 × 53 de duas maneiras.

Resolução:

  1. Pela propriedade: (2 × 5)3 = 103 = 1 000.
  2. Diretamente: 23 = 8 e 53 = 125, e 8 × 125 = 1 000.

Resposta: 1 000. As duas maneiras coincidem.

Exemplo 4 — Nível de exame: várias propriedades

Enunciado: Simplifique e calcule (25 × 23) ÷ 26.

Resolução:

  1. Parênteses: mesma base no produto, 5 + 3 = 8, logo 28.
  2. Quociente: 28 ÷ 26 = 2(8−6) = 22.
  3. 22 = 4.

Resposta: o valor é 4. Verificação: 32 × 8 = 256; 26 = 64; 256 ÷ 64 = 4.

Erros frequentes

  • Multiplicar as bases quando as bases são iguais. 23 × 24 não é 47: a base mantém-se e somam-se os expoentes, dando 27.
  • Somar os expoentes na potência de potência. (23)2 = 26 = 64, e não 25 = 32. Na potência de potência, multiplica-se.
  • Aplicar a propriedade com bases e expoentes ambos diferentes. 23 × 32 não se simplifica numa só potência; calcula-se 8 × 9 = 72.
  • Distribuir o expoente na soma. (2 + 3)2 = 25, mas 22 + 32 = 13. Não existe regra do produto para somas.
  • Somar potências como se fossem produtos. 23 + 24 não é 27: é 8 + 16 = 24.
  • Esquecer que a0 = 1 e escrever 0. Por exemplo, 70 = 1.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Escreva 32 × 33 como uma só potência e calcule.

Ver solução

Mesma base: 2 + 3 = 5, logo 35. 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.

2Exercício 2

Calcule 107 ÷ 104.

Ver solução

Mesma base: 7 − 4 = 3, logo 103 = 1 000.

3Exercício 3

Calcule (22)3.

Ver solução

Multiplicam-se os expoentes: 2 × 3 = 6, logo 26 = 64.

4Exercício 4

Calcule 43 × 253 usando uma propriedade.

Ver dica

Qual é o produto das bases?

Ver solução

Mesmo expoente: (4 × 25)3 = 1003 = 100 × 100 × 100 = 1 000 000.

5Exercício 5

Calcule 25 × 42, escrevendo primeiro 4 como potência de base 2.

Ver dica

4 = 22, e depois aplica-se a potência de potência.

Ver solução

42 = (22)2 = 24. Então 25 × 24 = 29 = 512. Verificação: 32 × 16 = 512.

Perguntas frequentes

Quantas propriedades das potências há ao todo?

Depende de como se contam. As mais usadas são cinco, as de produto e quociente (de mesma base e de mesmo expoente) e a potência de potência, a que se juntam a1 = a e a0 = 1.

Qual é a classificação mais usada?

Separar por aquilo que é igual: mesma base, mesmo expoente ou potência de potência. Antes de aplicar uma regra, pergunte sempre o que é comum às potências em causa.

Como memorizar a lista?

Pense nos fatores. Multiplicar potências da mesma base junta fatores (soma dos expoentes); dividir corta fatores (subtração); elevar uma potência a outra repete grupos de fatores (multiplicação).

Posso usar estas propriedades para somas?

Não. Não há regra para an + bn nem para (a + b)n em forma de soma simples. Nesses casos calcula-se cada potência e somam-se os valores.

Resumo

  • Mesma base: no produto somam-se os expoentes e no quociente subtraem-se.
  • Potência de potência: multiplicam-se os expoentes.
  • Mesmo expoente: multiplicam-se ou dividem-se as bases.
  • a1 = a e a0 = 1 (a diferente de 0).
  • Não há regras para somas ou subtrações de potências: calcula-se cada uma.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A secção sobre expoentes e propriedades do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
  • Os exercícios sobre potências da Khan Academy, disponíveis em português.

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