Matemática · 6.ª–9.ª classe
Como dividir potências com a mesma base?
Resposta curta
Para dividir potências com a mesma base, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes: am ÷ an = a(m−n), com a diferente de zero. Por exemplo, 75 ÷ 73 = 72 = 49. Se os expoentes forem iguais, o quociente é 1.
Quando se aplica
Aplica-se a quocientes (divisões, ou frações) de potências com a mesma base, diferente de zero, porque não se pode dividir por zero. Os expoentes podem ser diferentes.
Quociente de potências com a mesma base
am ÷ an = a(m−n) (a ≠ 0)
Porque é que se subtraem os expoentes
Dividir é «cortar» fatores iguais. Em 75 ÷ 73 escreve-se a divisão como fração:
(7 × 7 × 7 × 7 × 7) ÷ (7 × 7 × 7)
Os três 7 de baixo cortam três dos cinco 7 de cima, e sobram 5 − 3 = 2 fatores: 72.
Os três casos possíveis
| Caso | O que acontece | Exemplo |
|---|---|---|
| m maior que n | sobra uma potência | 75 ÷ 73 = 72 = 49 |
| m igual a n | tudo se corta, fica 1 | 94 ÷ 94 = 90 = 1 |
| m menor que n | os fatores de baixo é que sobram | 32 ÷ 35 = 1 ÷ 33 = 1/27 |
O último caso dá um expoente negativo (3−3), assunto que depende do seu programa. Se ainda não o estudou, deixe o resultado em fração.
Método passo a passo
- Confirme que a divisão é entre potências da mesma base, e que a base não é zero.
- Mantenha a base.
- Subtraia o expoente do divisor ao expoente do dividendo, por esta ordem: expoente de cima menos expoente de baixo.
- Se o resultado for 0, o valor da potência é 1. Se for negativo, escreva a fração 1 sobre a potência com o expoente positivo.
- Calcule o valor e confirme multiplicando o resultado pelo divisor: tem de dar o dividendo.
Com letras
Nos monómios dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes de cada letra: 12x6 ÷ 3x2 = 4x4.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Divisão simples
Enunciado: Escreva 75 ÷ 73 como uma só potência e calcule o valor.
Resolução:
- As bases são iguais (7). Subtraem-se os expoentes: 5 − 3 = 2.
- Fica 72 = 49.
Resposta: 72 = 49. Verificação: 73 × 72 = 343 × 49 = 16 807, que é 75.
Exemplo 2 — Base 10
Enunciado: Calcule 106 ÷ 102.
Resolução:
- Mesma base: 6 − 2 = 4.
- 104 = 10 000.
Resposta: 10 000. Verificação: 1 000 000 ÷ 100 = 10 000.
Exemplo 3 — Expoentes iguais e expoente menor no dividendo
Enunciado: Calcule (a) 94 ÷ 94 e (b) 32 ÷ 35.
Resolução:
- (a) Subtrai-se: 4 − 4 = 0, logo 90, e qualquer número diferente de zero elevado a 0 vale 1.
- (b) Aqui 2 − 5 = −3. Em vez de usar o expoente negativo, corte os fatores: (3 × 3) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) = 1 ÷ (3 × 3 × 3) = 1/27.
Resposta: (a) 1; (b) 1/27. Verificação: 32 = 9, 35 = 243 e 9 ÷ 243 = 1/27, porque 243 ÷ 9 = 27.
Exemplo 4 — Nível de exame: várias operações
Enunciado: Simplifique (27 × 22) ÷ 25 e também 12x6 ÷ 3x2.
Resolução:
- Primeiro o parêntesis: produto com a mesma base, 7 + 2 = 9, logo 29.
- Depois o quociente: 29 ÷ 25 = 2(9−5) = 24 = 16.
- Para os monómios, divida os coeficientes (12 ÷ 3 = 4) e subtraia os expoentes de x (6 − 2 = 4): 4x4.
Resposta: o primeiro valor é 16 e o segundo é 4x4. Verificação: 128 × 4 = 512 e 512 ÷ 32 = 16; além disso 3x2 × 4x4 = 12x6.
Erros frequentes
- Dividir os expoentes. 36 ÷ 32 é 34 = 81, e não 33 = 27. Subtrai-se, não se divide.
- Dividir também as bases. 65 ÷ 62 não é 13; a base mantém-se e o resultado é 63 = 216.
- Trocar a ordem da subtração. 23 ÷ 25 não é 22: o expoente do divisor é maior, por isso o resultado é uma fração, 1/4.
- Dizer que 94 ÷ 94 = 0. Dá 90, que vale 1. Qualquer coisa dividida por si própria é 1.
- Aplicar a regra a diferenças. 25 − 23 não é 22: é 32 − 8 = 24, e 22 = 4.
- Esquecer a condição da base. Zero como base não serve, porque não se divide por zero.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule 67 ÷ 65.
Ver solução
Mesma base: 7 − 5 = 2, logo 62 = 36. Verificação: 36 × 65 = 67.
2Exercício 2
Calcule 109 ÷ 106.
Ver solução
9 − 6 = 3, logo 103 = 1 000.
3Exercício 3
Calcule 123 ÷ 123 e 45 ÷ 43.
Ver dica
No primeiro caso os expoentes são iguais.
Ver solução
123 ÷ 123 = 120 = 1. 45 ÷ 43 = 42 = 16. Verificação: 16 × 43 = 16 × 64 = 1 024 = 45.
4Exercício 4
Escreva 23 ÷ 26 como fração com numerador 1 e calcule o seu valor.
Ver dica
Corte três fatores 2 em cima e em baixo.
Ver solução
6 − 3 = 3, por isso o 2 que sobra em baixo aparece três vezes: 23 ÷ 26 = 1/23 = 1/8. Verificação: 8 ÷ 64 = 1/8.
5Exercício 5
Simplifique (35 × 34) ÷ 36 e calcule o valor; depois simplifique 20a7 ÷ 5a3.
Ver solução
Produto com a mesma base: 35 × 34 = 39. Depois 39 ÷ 36 = 33 = 27. Para os monómios: 20 ÷ 5 = 4 e 7 − 3 = 4, logo 4a4. Verificação: 5a3 × 4a4 = 20a7.
Perguntas frequentes
Qual é o resultado quando os expoentes são iguais?
É sempre 1 (com a base diferente de zero). Isto explica porque se define a0 = 1: an ÷ an = a(n−n) = a0, mas é também 1.
O que fazer se o expoente do divisor for maior?
Subtraia na mesma ordem e obtém um expoente negativo, ou então corte os fatores e deixe uma fração 1 sobre a potência restante. Por exemplo, 52 ÷ 54 = 1/52 = 1/25.
Posso aplicar esta regra a bases diferentes?
Não diretamente. Se uma base for potência da outra, escreva tudo na mesma base: 82 ÷ 23 = (23)2 ÷ 23 = 26 ÷ 23 = 23 = 8. Caso contrário, calcule cada potência e divida os valores.
É o mesmo que simplificar uma fração?
É, na prática. Dividir potências da mesma base é simplificar uma fração cortando fatores iguais ao numerador e ao denominador, e a subtração dos expoentes é só um atalho para contar os que sobram.
Resumo
- am ÷ an = a(m−n), com a ≠ 0: mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.
- A ordem importa: expoente do dividendo menos expoente do divisor.
- Expoentes iguais dão 1 (a0 = 1); expoente menor no dividendo dá uma fração.
- Nos monómios, dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes de cada letra.
- Não serve para diferenças nem somas de potências: calcule cada uma e depois opere.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A secção sobre propriedades dos expoentes do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
- Os exercícios sobre quociente de potências da Khan Academy, disponíveis em português.
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