Matemática · 6.ª–9.ª classe
Como calcular uma potência de expoente natural?
Resposta curta
Para calcular uma potência de expoente natural, multiplique a base por si própria tantas vezes quantas o expoente indica. Assim, 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. O expoente conta os fatores; não se multiplica a base pelo expoente. Se a base for negativa, o sinal depende de o expoente ser par ou ímpar.
Quando se aplica
Usa-se uma potência sempre que um mesmo número se multiplica repetidamente por si próprio. É a forma curta de escrever 3 × 3 × 3 × 3 como 34. Aparece no cálculo de áreas (o quadrado de um lado), de volumes (o cubo de uma aresta), em expressões numéricas e na notação científica.
Fórmula e significado de cada termo
Potência de expoente natural
an = a × a × a × ... × a (n fatores iguais a a)
- a é a base: o número que se repete como fator.
- n é o expoente: indica quantos fatores iguais a a há.
- an lê-se «a elevado a n» e chama-se potência; o seu valor é o resultado da multiplicação.
Casos com nome próprio: a2 lê-se «a ao quadrado» e a3 lê-se «a ao cubo». Além disso, a1 = a (um só fator) e, por convenção, a0 = 1 quando a é diferente de 0.
Regra dos sinais
- Base positiva: a potência é sempre positiva.
- Base negativa e expoente par: o resultado é positivo, porque os sinais negativos se emparelham.
- Base negativa e expoente ímpar: o resultado é negativo, porque sobra um sinal negativo sem par.
Método passo a passo
- Identifique a base e o expoente. O expoente é o pequeno número em cima, à direita.
- Escreva a multiplicação repetida: a base aparece tantas vezes como o expoente.
- Se a base for negativa, atenção aos parênteses. (−2)4 tem a base −2; já −24 é o simétrico de 24.
- Determine o sinal com a regra dos sinais, antes de multiplicar.
- Multiplique em cadeia, dois fatores de cada vez, e escreva o resultado.
- Verifique: o número de fatores usados tem de ser igual ao expoente.
Pré-requisito: a tabuada
O cálculo de potências apoia-se na tabuada. Quem domina as multiplicações até 10 × 10 faz sem esforço os quadrados de 1 a 10 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) e os cubos mais usados (1, 8, 27, 64, 125).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Potência de base positiva
Enunciado: Calcule 25 e 53.
Resolução:
- 25 tem cinco fatores: 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Em cadeia: 2 × 2 = 4; 4 × 2 = 8; 8 × 2 = 16; 16 × 2 = 32.
- 53 tem três fatores: 5 × 5 × 5. Em cadeia: 5 × 5 = 25; 25 × 5 = 125.
Resposta: 25 = 32 e 53 = 125. Verificação: 32 tem 5 fatores 2 (conta-se: 2, 4, 8, 16, 32 são cinco números) e 125 ÷ 5 = 25, 25 ÷ 5 = 5.
Exemplo 2 — Base negativa e parênteses
Enunciado: Calcule (−2)4, (−2)3 e −24.
Resolução:
- (−2)4: expoente par, logo o resultado é positivo. (−2) × (−2) = 4; 4 × (−2) = −8; −8 × (−2) = 16.
- (−2)3: expoente ímpar, logo o resultado é negativo. (−2) × (−2) = 4; 4 × (−2) = −8.
- −24: sem parênteses, a base é 2, e o sinal menos aplica-se ao resultado. 24 = 16, logo −24 = −16.
Resposta: (−2)4 = 16; (−2)3 = −8; −24 = −16. Verificação: o sinal de (−2)4 é positivo por o expoente ser par, e o de (−2)3 negativo por ser ímpar.
Exemplo 3 — Potências de base 10
Enunciado: O estádio de uma cidade tem capacidade para 105 pessoas. Quantas pessoas cabem?
Resolução:
- 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10.
- Em cadeia: 100; 1 000; 10 000; 100 000.
Resposta: cabem 100 000 pessoas. Verificação: a potência de base 10 tem tantos zeros quanto o expoente (cinco zeros).
Exemplo 4 — Nível de exame: expressão com várias potências
Enunciado: Calcule 23 × 32 − 42 + (−1)7.
Resolução:
- 23 = 8; 32 = 9; 42 = 16; (−1)7 = −1 (expoente ímpar).
- Substitua: 8 × 9 − 16 + (−1).
- Primeiro a multiplicação: 8 × 9 = 72.
- Depois, da esquerda para a direita: 72 − 16 = 56; 56 + (−1) = 55.
Resposta: o valor da expressão é 55. Verificação: refazendo, 72 − 16 − 1 = 55.
Exemplo 5 — Aplicação: área e volume
Enunciado: Um terreno quadrado em Huambo tem 12 m de lado. Calcule a sua área. Depois, calcule o volume de um depósito cúbico com 4 dm de aresta.
Resolução:
- Área do quadrado = lado2 = 122 = 12 × 12 = 144 m².
- Volume do cubo = aresta3 = 43 = 4 × 4 × 4 = 64 dm³.
Resposta: área de 144 m²; volume de 64 dm³. Verificação: 4 × 4 = 16 e 16 × 4 = 64.
Erros frequentes
- Multiplicar a base pelo expoente. Escrever 25 = 10 é o erro mais comum. O correto é 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Para evitar, escreva sempre os fatores por extenso nos primeiros exercícios.
- Esquecer os parênteses com base negativa. (−3)2 = 9, mas −32 = −9. Pergunte-se: o sinal menos faz parte da base?
- Dar sempre sinal negativo a uma base negativa. Com expoente par o resultado é positivo.
- Pensar que 1 elevado a qualquer expoente muda ou que 0n dá 1. Na verdade 1n = 1 e 0n = 0 (com n natural diferente de 0).
- Confundir a2 com 2a. 52 = 25, mas 2 × 5 = 10.
- Falhar a ordem das operações numa expressão: calculam-se primeiro as potências, depois as multiplicações e divisões, e por fim as somas e subtrações.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule 34.
Ver solução
3 × 3 = 9; 9 × 3 = 27; 27 × 3 = 81. Logo 34 = 81.
2Exercício 2
Calcule (−5)3 e −52.
Ver dica
No segundo caso a base é 5, não −5.
Ver solução
(−5)3: expoente ímpar, resultado negativo; 5 × 5 × 5 = 125, logo (−5)3 = −125. −52 = −(5 × 5) = −25.
3Exercício 3
Calcule 23 + 32.
Ver solução
23 = 8 e 32 = 9. A soma é 8 + 9 = 17.
4Exercício 4
Calcule 103 ÷ 52.
Ver dica
Calcule primeiro cada potência.
Ver solução
103 = 1 000 e 52 = 25. Então 1 000 ÷ 25 = 40.
5Exercício 5
Calcule (−2)5 + (−3)2 e diga, antes de calcular, se o resultado será positivo ou negativo.
Ver dica
Estime o valor absoluto de cada parcela para decidir qual domina.
Ver solução
(−2)5: expoente ímpar, logo negativo: 25 = 32, portanto −32. (−3)2 = 9. A soma é −32 + 9 = −23. O resultado é negativo porque a parcela negativa (32) é maior em valor absoluto do que a positiva (9).
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular uma potência de expoente natural?
É an = a × a × ... × a, com n fatores iguais à base a. Não existe uma «conta rápida» que dispense a multiplicação repetida, mas podem usar-se potências já conhecidas, como 210 = 1 024 ou 10n.
Como verificar se o resultado está correto?
Conte os fatores: tem de haver tantos como o expoente. Depois confirme o sinal pela regra par/ímpar e, no caso de quadrados, compare com a tabuada. Por exemplo, 72 tem de ser 49, porque 7 × 7 = 49.
Qual é a diferença entre 23 e 32?
23 = 2 × 2 × 2 = 8, enquanto 32 = 3 × 3 = 9. Trocar a base com o expoente quase nunca dá o mesmo valor; a única exceção usual é 24 = 42 = 16.
Que erros se cometem ao calcular uma potência?
O mais comum é multiplicar a base pelo expoente. Seguem-se os parênteses esquecidos com bases negativas e a ordem errada das operações. Consulte a secção de erros frequentes.
Resumo
- Uma potência an é uma multiplicação com n fatores iguais a a.
- A base é o fator que se repete; o expoente diz quantas vezes.
- Nunca se multiplica a base pelo expoente: 25 = 32, e não 10.
- Base negativa: expoente par dá positivo, expoente ímpar dá negativo; os parênteses decidem se o sinal pertence à base.
- Em expressões numéricas, calculam-se as potências antes das multiplicações e das somas.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Os recursos gratuitos da Khan Academy sobre expoentes, disponíveis em português.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), capítulo sobre expoentes e ordem das operações.
Continue a estudar
O que é uma potência (em Matemática)?
Uma potência é uma forma abreviada de escrever uma multiplicação de fatores iguais. Em an, a base a é o fator que se repete e o expoente n indica quantas vezes. Por…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Quais são as propriedades das potências?
As propriedades das potências permitem simplificar cálculos sem desenvolver tudo. Com a mesma base, soma-se o expoente no produto e subtrai-se no quociente; numa…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como multiplicar potências com a mesma base?
Para multiplicar potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes: am × an = a(m+n). Por exemplo, 52 × 53 = 55 = 3 125. A regra só se aplica quando…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como dividir potências com a mesma base?
Para dividir potências com a mesma base, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes: am ÷ an = a(m−n), com a diferente de zero. Por exemplo, 75 ÷ 73 = 72 = 49. Se os…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Ver tudo de Matemática · Capítulo: Potências, raízes e notação científica