Matemática · 11.ª–12.ª classe
Como calcular limites de funções racionais?
Resposta curta
Para calcular o limite de uma função racional P(x)/Q(x), substitua x pelo valor para onde tende. Se o denominador não der zero, esse é o resultado. Se der k/0 (com k ≠ 0), estude o sinal dos limites laterais. Se der 0/0, fatorize e simplifique. Quando x tende para infinito, divida tudo pela maior potência de x.
Quando se aplica
Uma função racional é um quociente de dois polinómios, f(x) = P(x) ÷ Q(x), definida onde Q(x) ≠ 0. Para calcular lim f(x) quando x → a, o primeiro passo é sempre substituir. O resultado da substituição diz-lhe em que caso está:
| Quando x → a | A substituição dá | O que fazer |
|---|---|---|
| Q(a) ≠ 0 | um número | o limite é P(a) ÷ Q(a) |
| Q(a) = 0 e P(a) ≠ 0 | k/0 | estudar os limites laterais (resulta em +∞, −∞ ou não existe) |
| P(a) = 0 e Q(a) = 0 | 0/0 (indeterminação) | fatorizar e simplificar o fator (x − a) |
| x → +∞ ou −∞ | ∞/∞ (indeterminação) | dividir pela maior potência de x |
Pré-requisitos
- Fatorizar polinómios: fator comum, diferença de quadrados, trinómio do 2.º grau e regra de Ruffini.
- Saber o sinal de uma expressão perto de um ponto (por exemplo, x − 3 é positivo à direita de 3 e negativo à esquerda).
- Saber que 1/x tende para 0 quando x → ±∞.
Método passo a passo
- Identifique o valor para onde x tende: um número a ou ±∞.
- Se x → a, substitua em P(x) e em Q(x) e classifique pela tabela acima.
- Se Q(a) ≠ 0, o limite é P(a) ÷ Q(a). Fim.
- Se Q(a) = 0 e P(a) ≠ 0, calcule os limites laterais (x → a⁺ e x → a⁻) pelo sinal do denominador. Se ambos derem o mesmo infinito, o limite é esse infinito; se derem infinitos diferentes, o limite não existe.
- Se P(a) = 0 e Q(a) = 0, fatorize P e Q, simplifique o fator (x − a) e volte a substituir. Exemplo rápido: quando x → 1, (x2 − 1) ÷ (x2 − 3x + 2) dá 0/0; fatorizando, (x − 1)(x + 1) ÷ [(x − 1)(x − 2)] = (x + 1) ÷ (x − 2), que em x = 1 vale 2 ÷ (−1) = −2.
- Se x → ±∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x que aparece e use que 1/xn → 0.
Limite no infinito (P de grau m e dominante a; Q de grau n e dominante b)
m < n: limite 0 m = n: limite a ÷ b m > n: limite infinito, cujo sinal é o do quociente dos termos dominantes
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Substituição direta
Enunciado: Calcule lim (x → 2) (x2 + 1) ÷ (x − 1).
Resolução:
- Substitua x por 2 no numerador: 22 + 1 = 5.
- Substitua no denominador: 2 − 1 = 1, que é diferente de zero.
- Logo o limite é 5 ÷ 1 = 5.
Resposta: 5. Verificação: para x = 2,01 obtém-se 5,0401 ÷ 1,01 ≈ 4,99, um valor muito próximo de 5.
Exemplo 2 — Denominador a tender para zero
Enunciado: Calcule lim (x → 3) (x + 1) ÷ (x − 3).
Resolução:
- Em x = 3, o numerador dá 4 e o denominador dá 0: é do tipo 4/0, sem fatores a cancelar.
- Quando x → 3⁺, x − 3 é positivo e muito pequeno, logo o quociente tende para +∞.
- Quando x → 3⁻, x − 3 é negativo e muito pequeno, logo o quociente tende para −∞.
- Os limites laterais são diferentes.
Resposta: o limite não existe (a reta x = 3 é uma assíntota vertical). Verificação: em x = 3,01 o quociente é 4,01 ÷ 0,01 = 401; em x = 2,99 é 3,99 ÷ (−0,01) = −399. Se o denominador fosse (x − 3)2, seria sempre positivo e o limite seria +∞.
Exemplo 3 — Limite no infinito com graus iguais
Enunciado: Calcule lim (x → +∞) (3x2 − 5x + 1) ÷ (2x2 + 4).
Resolução:
- A maior potência é x2. Divida o numerador e o denominador por x2.
- Obtém-se (3 − 5/x + 1/x2) ÷ (2 + 4/x2).
- Quando x → +∞, as frações 5/x, 1/x2 e 4/x2 tendem para 0.
- O limite é 3 ÷ 2.
Resposta: 3/2. Verificação: os graus são iguais, por isso o limite é o quociente dos coeficientes dominantes, 3 ÷ 2. Para x = 1 000 o quociente é 2 995 001 ÷ 2 000 004 ≈ 1,4975.
Exemplo 4 — Nível de exame: grau do numerador maior
Enunciado: Calcule lim (x → −∞) (2x3 − x) ÷ (x2 + 5).
Resolução:
- Divida o numerador e o denominador por x2: (2x − 1/x) ÷ (1 + 5/x2).
- Quando x → −∞, 2x → −∞, 1/x → 0, e portanto o numerador tende para −∞.
- O denominador tende para 1.
- Um quociente de «−∞» por um número positivo tende para −∞.
Resposta: −∞. Verificação: os termos dominantes dão 2x3 ÷ x2 = 2x, que tende para −∞ quando x → −∞. Para x = −100 o quociente é −1 999 900 ÷ 10 005 ≈ −199,9, próximo de 2x = −200.
Erros frequentes
- Escrever «0/0 = 0» ou «∞/∞ = 1». Estas formas são indeterminações, e não resultados: é preciso fatorizar ou dividir pela maior potência antes de concluir.
- Escrever «k/0 = 0». Com denominador a tender para zero e numerador não nulo, o quociente cresce em valor absoluto; o limite é infinito ou não existe.
- Dizer «+∞» sem estudar o sinal. Em (x + 1) ÷ (x − 3) os limites laterais em 3 têm sinais contrários.
- Cortar termos em vez de fatores. Em (x + 3) ÷ x não se pode cortar o x e ficar com 3; só se cancelam fatores que multiplicam o numerador e o denominador inteiros.
- Aplicar a regra dos termos dominantes quando x → a (valor finito). Ela só vale no infinito.
- Esquecer o sinal em x → −∞. Potências ímpares de x tendem para −∞, e as pares para +∞.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule lim (x → −1) (x2 − 3x + 2) ÷ (x + 2).
Ver solução
Numerador em x = −1: 1 + 3 + 2 = 6. Denominador: −1 + 2 = 1, diferente de zero. O limite é 6 ÷ 1 = 6.
2Exercício 2
Calcule lim (x → +∞) (5x − 2) ÷ (x2 + 1).
Ver dica
O grau do numerador é menor do que o do denominador.
Ver solução
Divida tudo por x2: (5/x − 2/x2) ÷ (1 + 1/x2). O numerador tende para 0 e o denominador para 1. O limite é 0.
3Exercício 3
Calcule lim (x → +∞) (4x3 + x) ÷ (2x3 − 7).
Ver solução
Divida tudo por x3: (4 + 1/x2) ÷ (2 − 7/x3). Os termos com x no denominador tendem para 0, logo o limite é 4 ÷ 2 = 2.
4Exercício 4
Estude os limites lim (x → 0) (x + 4) ÷ x2 e lim (x → 0) (x + 4) ÷ x.
Ver dica
Em ambos, o numerador tende para 4. Compare o sinal do denominador dos dois lados de 0.
Ver solução
No primeiro, x2 é positivo para qualquer x ≠ 0, logo 4 ÷ 0⁺ e o limite é +∞. No segundo, para x → 0⁺ o quociente tende para +∞ e para x → 0⁻ tende para −∞; os limites laterais são diferentes, por isso o limite não existe.
5Exercício 5
Determine as assíntotas vertical e horizontal do gráfico de f(x) = (2x − 1) ÷ (x − 3).
Ver dica
A vertical está onde o denominador se anula; a horizontal obtém-se com o limite no infinito.
Ver solução
Em x = 3, o denominador anula-se e o numerador vale 5, que não é zero; ao aproximar-se de 3 pela direita, f tende para 5 ÷ 0⁺ = +∞. Logo x = 3 é assíntota vertical. No infinito, os graus são iguais e o limite é 2 ÷ 1 = 2, tanto para +∞ como para −∞. Logo y = 2 é assíntota horizontal. Verificação: f(1 000) = 1 999 ÷ 997 ≈ 2,005.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que o limite pedido é de um quociente de polinómios. O primeiro passo, substituir, serve para classificar o caso e decidir se basta o resultado direto, se falta estudar o sinal, se é preciso fatorizar ou se estamos no infinito.
Existe um método mais rápido?
No infinito, sim: o limite é o do quociente dos termos de maior grau, sem dividir por xn de cada vez (3x2 ÷ 2x2 = 3/2). Para 0/0 existe a regra de L'Hôpital, que usa derivadas, mas só a deve usar se o seu programa a incluir; confirme com o seu professor.
Como sei se escrevo «+∞» ou «o limite não existe»?
Quando os dois limites laterais dão o mesmo infinito, escreve-se esse infinito. Quando dão infinitos de sinais diferentes, diz-se que o limite não existe. Alguns manuais usam a palavra «limite» também para ±∞; confirme a convenção do seu manual.
Que erros são mais comuns?
Tratar 0/0 como se valesse 0, esquecer o sinal em x → −∞ e cortar termos que não são fatores. Veja a secção «Erros frequentes» e verifique sempre com um valor numérico perto do ponto.
Resumo
- Em qualquer limite de função racional, substitua primeiro e classifique o resultado.
- Q(a) ≠ 0: o limite é P(a) ÷ Q(a). k/0: estude os limites laterais pelo sinal do denominador.
- 0/0: fatorize, simplifique o fator (x − a) e substitua de novo.
- No infinito: divida pela maior potência; com graus iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dominantes.
- 0/0, ∞/∞ e k/0 não são resultados: são indicações do que fazer a seguir.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
- OpenStax, Calculus Volume 1 (em inglês), capítulo sobre limites.
- No MeuGuia, veja também o artigo sobre como levantar indeterminações do tipo 0/0.
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