Matemática · 11.ª–12.ª classe

Quais são as regras de derivação?

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Resposta curta

As regras de derivação essenciais são sete: a da constante (derivada 0), a da potência, a do múltiplo de uma constante, a da soma e diferença, a do produto, a do quociente e a da função composta (regra da cadeia). A estas junta-se a tabela das derivadas das funções elementares, como √x, ex, ln x, sen x e cos x.

Critério de classificação

Quando se olha para uma função, a pergunta a fazer é: como está construída? A regra a usar depende dessa construção, e por isso é útil agrupar as regras em quatro famílias:

  1. Regras de base: constante, potência, múltiplo de constante, soma e diferença. Servem para polinómios, derivados termo a termo.
  2. Regras de operações entre funções: produto e quociente, quando duas expressões com x se multiplicam ou dividem.
  3. Regra da composição (cadeia): quando uma função está «dentro» de outra, como (3x2 − 1)4 ou √(x2 + 1).
  4. Derivadas de funções elementares: valores que se aprendem de cor e que as outras regras usam como peças.

Descrição de cada regra

Família 1 — Regras de base

Regras de base (k é uma constante, n um número real)

(k)' = 0 (xn)' = n · x(n − 1) (k · f)' = k · f' (f + g)' = f' + g' · (f − g)' = f' − g'

  • Constante: uma função que não muda tem declive nulo. A derivada de 7 é 0.
  • Potência: o expoente passa para a frente e diminui uma unidade. Exemplo: (x5)' = 5x4. Para raízes e frações, reescreva primeiro como potência: √x = x(1/2) e 1/x2 = x(−2).
  • Múltiplo de constante: a constante fica a multiplicar. (6x2)' = 6 · 2x = 12x.
  • Soma e diferença: deriva-se termo a termo.

Família 2 — Produto e quociente

Produto e quociente

(f · g)' = f' · g + f · g' (f ÷ g)' = (f' · g − f · g') ÷ g2 (com g ≠ 0)

Na regra do produto, a derivada do produto não é o produto das derivadas: deriva-se um fator de cada vez, mantendo o outro. No quociente, a ordem no numerador importa: primeiro a derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo; tudo sobre o denominador ao quadrado.

Família 3 — Regra da cadeia

Função composta

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) Caso frequente: (un)' = n · u(n − 1) · u'

Deriva-se «por fora», deixando o interior como está, e multiplica-se pela derivada do interior. Exemplo: [(3x2 − 1)4]' = 4(3x2 − 1)3 · 6x = 24x(3x2 − 1)3.

Família 4 — Funções elementares

FunçãoDerivadaNota
√x1 ÷ (2√x)x > 0
1/x−1 ÷ x2x ≠ 0
exexa derivada é igual à função
axax · ln aa > 0
ln x1/xx > 0
sen xcos xx em radianos
cos x−sen xx em radianos
tg x1 ÷ cos2 xcos x ≠ 0

As funções exponencial, logarítmica e trigonométricas são estudadas em classes diferentes consoante o programa; confirme no manual da sua classe quais constam do seu curso.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Polinómio (regras de base)

Enunciado: Derive f(x) = 4x3 − 5x2 + 7x − 2.

Resolução:

  1. Derive termo a termo, usando a regra da potência e a do múltiplo de constante.
  2. (4x3)' = 12x2; (5x2)' = 10x; (7x)' = 7; (2)' = 0.
  3. Junte, respeitando os sinais.

Resposta: f'(x) = 12x2 − 10x + 7. Verificação: f'(1) = 12 − 10 + 7 = 9. Como f(1) = 4 e f(1,001) ≈ 4,009, o declive entre os dois pontos é cerca de 9,007, próximo de 9.

Exemplo 2 — Produto

Enunciado: Derive f(x) = (x2 + 1)(3x − 2).

Resolução:

  1. Chame u = x2 + 1 e v = 3x − 2. Então u' = 2x e v' = 3.
  2. Aplique (u · v)' = u' · v + u · v' = 2x(3x − 2) + (x2 + 1) · 3.
  3. Desenvolva: 6x2 − 4x + 3x2 + 3.
  4. Some os termos semelhantes.

Resposta: f'(x) = 9x2 − 4x + 3. Verificação: desenvolvendo antes de derivar, f(x) = 3x3 − 2x2 + 3x − 2, e a sua derivada é 9x2 − 4x + 3, igual.

Exemplo 3 — Quociente

Enunciado: Derive f(x) = (2x + 1) ÷ (x − 3).

Resolução:

  1. Numerador u = 2x + 1, com u' = 2. Denominador v = x − 3, com v' = 1.
  2. Aplique (u ÷ v)' = (u' · v − u · v') ÷ v2.
  3. Substitua: [2(x − 3) − (2x + 1) · 1] ÷ (x − 3)2.
  4. Simplifique o numerador: 2x − 6 − 2x − 1 = −7.

Resposta: f'(x) = −7 ÷ (x − 3)2. Verificação: em x = 4, f'(4) = −7. Como f(4) = 9 e f(4,001) ≈ 8,993, o declive entre os dois pontos é cerca de −6,99.

Exemplo 4 — Nível de exame: produto e cadeia juntos

Enunciado: Derive h(x) = x · (x2 + 1)3.

Resolução:

  1. É um produto de u = x (u' = 1) por v = (x2 + 1)3.
  2. Para v' use a cadeia: v' = 3(x2 + 1)2 · 2x = 6x(x2 + 1)2.
  3. Aplique (u · v)' = u' · v + u · v' = (x2 + 1)3 + x · 6x(x2 + 1)2.
  4. Ponha (x2 + 1)2 em evidência: (x2 + 1)2 · [(x2 + 1) + 6x2].
  5. Simplifique o que está entre parênteses retos: (x2 + 1) + 6x2 = 7x2 + 1.

Resposta: h'(x) = (x2 + 1)2(7x2 + 1). Verificação: em x = 1, h'(1) = 4 × 8 = 32. Em x = 1, as duas parcelas do passo 3 valem (x2 + 1)3 = 8 e x · 6x(x2 + 1)2 = 24, e 8 + 24 = 32. Além disso, a variação numérica de h entre x = 1 e x = 1,00001 dá cerca de 32,0006.

Quadro-resumo

Tipo de funçãoRegraExemploResultado
Constante(k)' = 0(9)'0
Potência(xn)' = n · x(n − 1)(x6)'6x5
Múltiplo(k f)' = k f'(5x3)'15x2
Soma ou diferençatermo a termo(x2 − 4x)'2x − 4
Produtof'g + fg'(x · ex)'ex + x · ex
Quociente(f'g − fg') ÷ g2(1/x)'−1 ÷ x2
Compostaf'(g) · g'(2x + 1)33(2x + 1)2 · 2 = 6(2x + 1)2

Erros frequentes

  • Derivar o produto como produto das derivadas. Contraexemplo: x · x = x2, com derivada 2x, e não 1 · 1 = 1.
  • Trocar a ordem no quociente. Escrever f · g' − f' · g muda o sinal do resultado. Lembre-se: primeiro a derivada de cima.
  • Esquecer a derivada do interior na regra da cadeia. [(3x2 − 1)4]' não é 4(3x2 − 1)3; falta multiplicar por 6x.
  • Não reescrever raízes e frações como potências antes de aplicar a regra da potência. 1/x2 é x(−2), e a sua derivada é −2x(−3).
  • Confundir potência com exponencial. (x3)' = 3x2, mas (3x)' = 3x · ln 3. Numa a variável está na base; na outra, no expoente.
  • Dizer que a derivada de kx é 0 ou que a derivada de uma constante é 1. (kx)' = k e (k)' = 0.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Derive f(x) = 5x4 − 3x2 + 8.

Ver solução

(5x4)' = 20x3; (3x2)' = 6x; (8)' = 0. Logo f'(x) = 20x3 − 6x.

2Exercício 2

Derive f(x) = 1/x + √x, para x > 0.

Ver dica

Use as derivadas de 1/x e de √x da tabela, ou reescreva como x(−1) + x(1/2).

Ver solução

(1/x)' = −1/x2 e (√x)' = 1 ÷ (2√x). Logo f'(x) = −1/x2 + 1 ÷ (2√x). Pela potência: (x(−1))' = −x(−2) e (x(1/2))' = (1/2)x(−1/2), o que dá o mesmo.

3Exercício 3

Derive f(x) = x2(x + 4) de duas maneiras e confirme que o resultado é igual.

Ver solução

Pelo produto: u = x2 (u' = 2x), v = x + 4 (v' = 1). f' = 2x(x + 4) + x2 · 1 = 2x2 + 8x + x2 = 3x2 + 8x. Desenvolvendo antes: f(x) = x3 + 4x2, e f'(x) = 3x2 + 8x. Coincidem.

4Exercício 4

Derive f(x) = x ÷ (x2 + 1).

Ver solução

u = x (u' = 1), v = x2 + 1 (v' = 2x). f' = [1 · (x2 + 1) − x · 2x] ÷ (x2 + 1)2 = (x2 + 1 − 2x2) ÷ (x2 + 1)2 = (1 − x2) ÷ (x2 + 1)2.

5Exercício 5

Derive f(x) = (2x − 5)3 e calcule f'(3).

Ver dica

Use (un)' = n · u(n − 1) · u', com u = 2x − 5.

Ver solução

u = 2x − 5, u' = 2. f'(x) = 3(2x − 5)2 · 2 = 6(2x − 5)2. Em x = 3: 2 × 3 − 5 = 1, logo f'(3) = 6 × 12 = 6.

Perguntas frequentes

Quantas regras de derivação existem ao todo?

Não há um número oficial, porque depende de como se contam. Costumam apresentar-se sete regras gerais (constante, potência, múltiplo, soma e diferença, produto, quociente e cadeia) mais uma tabela de derivadas de funções elementares, que o seu programa pode limitar a algumas delas.

Qual é a classificação mais usada?

A que agrupa pelo aspeto da função: polinómios e somas (regras de base), produtos e quocientes, funções compostas e funções elementares. É a que se segue nesta página e a que ajuda a escolher a regra certa à primeira.

Como memorizar a lista?

Aprenda cada regra com um exemplo curto e verifique-a desenvolvendo a expressão, como no Exemplo 2. Para o quociente, repita: «derivada de cima vezes baixo, menos cima vezes derivada de baixo, sobre baixo ao quadrado».

Posso derivar um produto desenvolvendo-o primeiro?

Sim, quando o produto é simples, desenvolver e derivar termo a termo dá o mesmo resultado, e serve de verificação. Em produtos com potências altas ou raízes, a regra do produto costuma ser mais curta.

Resumo

  • A derivada de uma constante é 0; a de xn é n · x(n − 1); as constantes multiplicativas saem para fora.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Produto: f'g + fg'. Quociente: (f'g − fg') ÷ g2. Nunca se derivam os fatores «cada um para o seu lado».
  • Cadeia: derivada de fora × derivada de dentro.
  • Reescreva raízes e frações como potências antes de derivar, e use a tabela para as funções elementares.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e quais funções elementares constam do seu curso. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
  • OpenStax, Calculus Volume 1 (em inglês), capítulo sobre derivadas, nas secções de regras de derivação e regra da cadeia.
  • No MeuGuia, veja também o artigo sobre o que é a derivada de uma função num ponto.

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