Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como levantar indeterminações do tipo 0/0?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para levantar uma indeterminação 0/0, faça aparecer, no numerador e no denominador, o fator (x − a) que os anula. Fatorize os dois termos, simplifique esse fator e substitua x por a na expressão que sobra. Se houver raízes quadradas, multiplique antes o numerador e o denominador pelo conjugado. O valor que obtiver é o limite.

Quando se aplica

Ao calcular lim f(x) quando x → a, substitui-se x por a. Se numerador e denominador derem ambos 0, obtém-se 0/0, que não é um valor: é uma indeterminação. Quer dizer que, em x = a, o numerador e o denominador têm o fator comum (x − a), e que é preciso eliminá-lo para ver o que a função faz perto de a.

Os dois casos mais frequentes no ensino secundário são:

  • Quociente de polinómios: levanta-se a indeterminação fatorizando e simplificando.
  • Expressões com raízes quadradas: multiplica-se pelo conjugado, para fazer desaparecer a raiz do numerador (ou do denominador) e criar o fator (x − a).

Fatorizações que vai precisar

Fatorizações úteis

a2 − b2 = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2), onde x1 e x2 são os zeros

Se a é zero de um polinómio P, então (x − a) é fator de P. A regra de Ruffini divide P por (x − a) e dá o outro fator.

Método passo a passo

  1. Substitua x por a no numerador e no denominador e confirme que dá 0/0.
  2. Fatorize o numerador, pondo em evidência (x − a). Em polinómios de grau 3 ou superior, use a regra de Ruffini com o zero a.
  3. Fatorize o denominador do mesmo modo.
  4. Simplifique o fator (x − a) que aparece em cima e em baixo.
  5. Substitua de novo x por a na expressão simplificada. Se ainda der 0/0, repita a partir do passo 2.
  6. Com raízes: multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado (a expressão com o sinal trocado). Lembre-se de que (√u − √v)(√u + √v) = u − v.
  7. Verifique com um valor de x muito próximo de a: o quociente deve aproximar-se do resultado.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Fatorização de trinómio e diferença de quadrados

Enunciado: Calcule lim (x → 3) (x2 − 5x + 6) ÷ (x2 − 9).

Resolução:

  1. Em x = 3: numerador 9 − 15 + 6 = 0 e denominador 9 − 9 = 0. Temos 0/0.
  2. O numerador tem zeros 2 e 3, logo x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
  3. O denominador é uma diferença de quadrados: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
  4. Simplifique (x − 3): fica (x − 2) ÷ (x + 3).
  5. Substitua x = 3: (3 − 2) ÷ (3 + 3) = 1/6.

Resposta: 1/6. Verificação: para x = 3,01 o quociente é 0,0101 ÷ 0,0601 ≈ 0,168, muito próximo de 1/6 ≈ 0,167.

Exemplo 2 — Regra de Ruffini

Enunciado: Calcule lim (x → 1) (x3 − 2x2 − x + 2) ÷ (x2 − 1).

Resolução:

  1. Em x = 1: numerador 1 − 2 − 1 + 2 = 0 e denominador 1 − 1 = 0. Temos 0/0.
  2. Divida o numerador por (x − 1) com Ruffini, usando os coeficientes 1, −2, −1, 2 e o zero 1: baixa-se o 1; −2 + 1 = −1; −1 + (−1) = −2; 2 + (−2) = 0. O quociente é x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
  3. Logo o numerador é (x − 1)(x − 2)(x + 1).
  4. O denominador é (x − 1)(x + 1).
  5. Simplificando (x − 1)(x + 1), fica x − 2.
  6. Substitua x = 1: 1 − 2 = −1.

Resposta: −1. Verificação: para x = 1,01 o numerador vale −0,019899 e o denominador 0,0201; o quociente é aproximadamente −0,99.

Exemplo 3 — Raiz quadrada e conjugado

Enunciado: Calcule lim (x → 4) (√x − 2) ÷ (x − 4).

Resolução:

  1. Em x = 4: √4 − 2 = 0 e 4 − 4 = 0. Temos 0/0.
  2. O conjugado de √x − 2 é √x + 2. Multiplique o numerador e o denominador por ele.
  3. No numerador: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.
  4. Fica (x − 4) ÷ [(x − 4)(√x + 2)]. Simplifique (x − 4): 1 ÷ (√x + 2).
  5. Substitua x = 4: 1 ÷ (2 + 2) = 1/4.

Resposta: 1/4. Verificação: para x = 4,01, √4,01 ≈ 2,0025, e o quociente é cerca de 0,0025 ÷ 0,01 ≈ 0,25.

Exemplo 4 — Nível de exame: parâmetro

Enunciado: Determine k para que o limite lim (x → 2) (x2 + kx − 6) ÷ (x − 2) seja um número real e calcule-o.

Resolução:

  1. Se o numerador não se anulasse em x = 2, o quociente seria do tipo (número)/0 e o limite não seria finito. Logo o numerador tem de ser 0 em x = 2.
  2. Condição: 22 + 2k − 6 = 0, ou seja, 2k = 2 e k = 1.
  3. Com k = 1, o numerador é x2 + x − 6, cujos zeros são 2 e −3. Então x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
  4. Simplifique (x − 2): fica x + 3.
  5. Substitua x = 2: 2 + 3 = 5.

Resposta: k = 1 e o limite é 5. Verificação: para x = 2,01 o numerador vale 0,0501 e o quociente é 0,0501 ÷ 0,01 = 5,01.

Erros frequentes

  • Dar «0/0 = 0», «0/0 = 1» ou «não existe» como resposta. A forma 0/0 só avisa de que falta trabalho: fatorize ou use o conjugado.
  • Cortar termos em vez de fatores. Em (x2 − 9) ÷ (x − 3) não se corta o x de cima com o de baixo; primeiro escreve-se (x − 3)(x + 3) ÷ (x − 3).
  • Fatorizar mal o trinómio. Confirme sempre multiplicando: (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6, que não é x2 − 5x + 6.
  • Multiplicar só o numerador pelo conjugado. Para a fração manter o seu valor, é preciso multiplicar também o denominador pela mesma expressão.
  • Substituir só num dos termos e ficar com «0 ÷ (x − a)». Substitua apenas quando o fator (x − a) já tiver sido cancelado.
  • Parar ao ver outra vez 0/0. Se depois de simplificar ainda der 0/0, o fator (x − a) aparecia mais do que uma vez; repita o processo.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule lim (x → 5) (x2 − 25) ÷ (x − 5).

Ver solução

Em x = 5 dá 0/0. Como x2 − 25 = (x − 5)(x + 5), simplifica-se (x − 5) e fica x + 5. Em x = 5 vale 10. O limite é 10.

2Exercício 2

Calcule lim (x → −1) (x2 + 3x + 2) ÷ (x + 1).

Ver dica

Procure os zeros de x2 + 3x + 2.

Ver solução

Em x = −1: 1 − 3 + 2 = 0 e −1 + 1 = 0, ou seja, 0/0. Os zeros do numerador são −1 e −2, logo x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Simplificando (x + 1), fica x + 2, que em x = −1 vale 1. O limite é 1.

3Exercício 3

Calcule lim (x → 2) (x3 − 8) ÷ (x2 − 4).

Ver dica

Use a diferença de cubos e a diferença de quadrados.

Ver solução

Em x = 2 dá 0/0. Fatorize: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) e x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Simplifique (x − 2): (x2 + 2x + 4) ÷ (x + 2). Em x = 2: (4 + 4 + 4) ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3.

4Exercício 4

Calcule lim (x → 0) (√(x + 9) − 3) ÷ x.

Ver dica

Multiplique pelo conjugado √(x + 9) + 3.

Ver solução

Em x = 0: √9 − 3 = 0, logo 0/0. Multiplicando pelo conjugado, o numerador passa a (x + 9) − 9 = x, e a expressão fica x ÷ [x(√(x + 9) + 3)] = 1 ÷ (√(x + 9) + 3). Em x = 0 vale 1 ÷ (3 + 3) = 1/6.

5Exercício 5

Calcule lim (x → −2) (x3 + 8) ÷ (x2 + x − 2).

Ver dica

Soma de cubos no numerador; no denominador, procure os zeros de x2 + x − 2.

Ver solução

Em x = −2: −8 + 8 = 0 e 4 − 2 − 2 = 0, logo 0/0. Fatorize: x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) e x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1). Simplificando (x + 2), fica (x2 − 2x + 4) ÷ (x − 1). Em x = −2: (4 + 4 + 4) ÷ (−3) = 12 ÷ (−3) = −4.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando a substituição direta dá 0/0 numa fração de polinómios ou de expressões com raízes quadradas. Se der um número, não é preciso; se der um número não nulo a dividir por zero, é outro caso (limites laterais e infinito).

Existe um método mais rápido?

Em cursos que já incluem derivadas existe a regra de L'Hôpital, que troca o quociente pelo quociente das derivadas. Confirme se o seu programa a permite. Sem derivadas, a fatorização com Ruffini é o caminho mais curto e é o que os exames costumam esperar.

Porque é que se pode cortar (x − a) se ele vale 0 em x = a?

Porque, num limite com x → a, o valor de x aproxima-se de a mas nunca é igual a a. Assim, (x − a) é diferente de zero e pode cortar-se. A expressão simplificada só coincide com a original para x ≠ a, e é isso que importa para o limite.

Que erros são mais comuns?

Cortar termos que não são fatores, fatorizar mal o trinómio e esquecer de multiplicar o denominador pelo conjugado. Para detetar o primeiro erro, pergunte se o que corta está a multiplicar toda a expressão de cima e toda a de baixo.

Resumo

  • A forma 0/0 indica que numerador e denominador têm o fator (x − a); não é um resultado.
  • Em polinómios, fatorize (fator comum, diferenças de quadrados e de cubos, trinómio, Ruffini) e simplifique (x − a).
  • Com raízes quadradas, multiplique pelo conjugado o numerador e o denominador.
  • Depois de simplificar, substitua x por a; se ainda der 0/0, repita.
  • Confirme a conta com um valor de x muito próximo de a.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
  • OpenStax, Calculus Volume 1 (em inglês), secção sobre o cálculo de limites com leis de limites e álgebra.
  • No MeuGuia, veja também o artigo sobre como calcular limites de funções racionais.

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