Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como determinar extremos de uma função com a derivada?

  • 10 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para determinar os extremos de uma função com a derivada, calcule f'(x), resolva f'(x) = 0 para obter os pontos críticos e estude o sinal de f'. Onde f' passa de positiva a negativa há um máximo local; onde passa de negativa a positiva há um mínimo local. Por fim, calcule f nesses pontos para obter o valor dos extremos.

Quando se aplica

O método serve para funções deriváveis (polinómios, funções racionais, raízes) em que se pergunta onde a função é máxima ou mínima, ou onde muda de crescente para decrescente. Duas ideias são essenciais:

  • Se f tem um extremo num ponto interior x0 e é derivável aí, então f'(x0) = 0. Mas o contrário é falso: f'(x0) = 0 diz apenas que x0 é um ponto crítico, isto é, um candidato a extremo.
  • Também são candidatos os pontos onde f' não existe, mas onde f está definida.

Num extremo local o valor é o maior (ou o menor) numa vizinhança. Num extremo absoluto (ou global) é o maior (ou o menor) em todo o domínio ou intervalo considerado.

Como o sinal de f' classifica o ponto

Sinal de f' antes de x0Sinal de f' depois de x0Conclusão
positivonegativomáximo local em x0
negativopositivomínimo local em x0
igual dos dois ladosigual dos dois ladossem extremo em x0

Critério da segunda derivada (alternativa)

Se f'(x0) = 0 e f''(x0) > 0, há um mínimo local; se f''(x0) < 0, há um máximo local. Se f''(x0) = 0, este critério não decide e deve-se estudar o sinal de f'.

Método passo a passo

  1. Determine o domínio de f (e o intervalo do problema, se existir).
  2. Calcule f'(x).
  3. Resolva f'(x) = 0 e anote também os pontos onde f' não existe.
  4. Faça o quadro de sinais de f': escolha um valor de teste em cada intervalo entre os pontos críticos e veja o sinal de f'.
  5. Classifique cada ponto (máximo, mínimo ou nenhum) pela mudança de sinal.
  6. Calcule f(x0) em cada extremo, para dar a resposta como «o máximo é … e é atingido em x = …».
  7. Em intervalo fechado [a, b], compare os valores de f nos pontos críticos com f(a) e f(b) para obter os extremos absolutos.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Um mínimo

Enunciado: Determine os extremos de f(x) = x2 − 4x + 3.

Resolução:

  1. Domínio: ℝ.
  2. f'(x) = 2x − 4.
  3. f'(x) = 0 quando 2x = 4, isto é, x = 2.
  4. Quadro: para x = 0, f'(0) = −4 (negativo); para x = 3, f'(3) = 2 (positivo).
xaté 22a partir de 2
f'−0+
fdecrescentemínimocrescente
  1. Valor do mínimo: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.

Resposta: mínimo −1, atingido em x = 2; não há máximo. Verificação: o vértice de uma parábola y = ax2 + bx + c está em x = −b ÷ (2a) = 4 ÷ 2 = 2, o que confirma.

Exemplo 2 — Máximo e mínimo locais

Enunciado: Determine os extremos locais de f(x) = x3 − 3x.

Resolução:

  1. f'(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
  2. f'(x) = 0 em x = −1 e x = 1.
  3. Sinal de f' (testes: f'(−2) = 9; f'(0) = −3; f'(2) = 9):
xaté −1−1entre −1 e 11a partir de 1
f'+0−0+
fcrescentemáximodecrescentemínimocrescente
  1. Valores: f(−1) = −1 + 3 = 2 e f(1) = 1 − 3 = −2.

Resposta: máximo local 2 em x = −1; mínimo local −2 em x = 1. Verificação: a função é ímpar, f(−x) = −f(x), por isso os extremos são simétricos: (−1, 2) e (1, −2).

Exemplo 3 — Ponto crítico que não é extremo

Enunciado: Estude os extremos de f(x) = x3.

Resolução:

  1. f'(x) = 3x2.
  2. f'(x) = 0 apenas em x = 0, que é o único ponto crítico.
  3. Mas 3x2 é positivo tanto para x < 0 como para x > 0: f' não muda de sinal.

Resposta: não há extremos; f é sempre crescente. Verificação: f(−1) = −1 < f(0) = 0 < f(1) = 1, logo 0 não é nem máximo nem mínimo. O ponto crítico existe, mas não é extremo.

Exemplo 4 — Nível de exame: extremos absolutos num intervalo

Enunciado: Determine os extremos absolutos de f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 no intervalo [0, 5].

Resolução:

  1. f'(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3(x2 − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3).
  2. Pontos críticos: x = 1 e x = 3, ambos dentro de [0, 5].
  3. Sinal de f': positivo antes de 1, negativo entre 1 e 3, positivo depois de 3. Logo há um máximo local em x = 1 e um mínimo local em x = 3.
  4. Compare os valores nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
    • f(0) = 1
    • f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
    • f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
    • f(5) = 125 − 150 + 45 + 1 = 21

Resposta: máximo absoluto 21, em x = 5; mínimo absoluto 1, atingido em x = 0 e em x = 3. Verificação: o máximo local f(1) = 5 não é o maior valor, porque a função volta a crescer e chega a 21 no extremo do intervalo.

Erros frequentes

  • Concluir que f'(x) = 0 implica extremo. Em f(x) = x3, f'(0) = 0 e não há extremo. Verifique sempre a mudança de sinal de f'.
  • Dar x quando se pede o extremo. O extremo é o valor f(x0); x0 é o ponto onde ele é atingido. Escreva as duas coisas.
  • Esquecer os extremos do intervalo num problema com intervalo fechado. O máximo absoluto pode estar num deles.
  • Errar o sinal no quadro. Teste um valor concreto em cada intervalo, em vez de adivinhar a alternância de sinais.
  • Esquecer o domínio. Em f(x) = x + 1/x só se pode falar de x ≠ 0, e os pontos críticos têm de pertencer ao domínio.
  • Usar a segunda derivada quando f''(x0) = 0 e dar uma classificação sem justificação. Nesse caso, estude o sinal de f'.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Determine o extremo de f(x) = x2 − 6x + 5 e diga se é máximo ou mínimo.

Ver solução

f'(x) = 2x − 6 = 0 em x = 3. f' é negativa antes de 3 e positiva depois, logo é um mínimo. f(3) = 9 − 18 + 5 = −4, atingido em x = 3.

2Exercício 2

Determine o extremo de f(x) = −x2 + 4x + 1.

Ver dica

Uma parábola com coeficiente de x2 negativo tem a concavidade voltada para baixo.

Ver solução

f'(x) = −2x + 4 = 0 em x = 2. f' é positiva antes de 2 e negativa depois, logo é um máximo. f(2) = −4 + 8 + 1 = 5, atingido em x = 2.

3Exercício 3

Determine os extremos locais de f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x.

Ver dica

Fatorize f' e faça o quadro de sinais.

Ver solução

f'(x) = 6x2 − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). O sinal de f' é + antes de 1, − entre 1 e 2, + depois de 2. Máximo local em x = 1: f(1) = 2 − 9 + 12 = 5. Mínimo local em x = 2: f(2) = 16 − 36 + 24 = 4.

4Exercício 4

Determine o extremo de f(x) = x + 1/x, para x > 0.

Ver solução

f'(x) = 1 − 1/x2 = (x2 − 1) ÷ x2. Com x > 0, f'(x) = 0 apenas em x = 1. Para 0 < x < 1, f' < 0 (por exemplo, f'(0,5) = −3); para x > 1, f' > 0 (f'(2) = 0,75). Logo há um mínimo em x = 1, de valor f(1) = 2.

5Exercício 5

Determine os extremos absolutos de f(x) = x4 − 2x2 no intervalo [−2, 2].

Ver dica

Os pontos críticos são três; calcule f neles e nos extremos do intervalo.

Ver solução

f'(x) = 4x3 − 4x = 4x(x − 1)(x + 1), com zeros em −1, 0 e 1. Valores: f(−2) = 16 − 8 = 8; f(−1) = 1 − 2 = −1; f(0) = 0; f(1) = −1; f(2) = 8. Máximo absoluto 8 (em x = −2 e x = 2); mínimo absoluto −1 (em x = −1 e x = 1). O ponto x = 0 é só um máximo local.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando o enunciado pede máximos, mínimos, o valor mais alto ou mais baixo de uma função, ou os intervalos em que ela sobe e desce. É o ponto de partida do estudo completo de uma função e dos problemas de otimização.

Existe um método mais rápido?

Para parábolas, sim: o extremo está no vértice, em x = −b ÷ (2a). Para outras funções, o critério da segunda derivada poupa o quadro de sinais, desde que f''(x0) seja diferente de zero.

Qual é a diferença entre extremo local e extremo absoluto?

Um extremo local é o maior ou o menor valor perto de um ponto; um extremo absoluto é o maior ou o menor valor em todo o intervalo. Uma função pode ter vários extremos locais e, no máximo, um valor máximo e um valor mínimo absolutos (podendo cada um ser atingido em vários pontos).

Que erros são mais comuns?

Esquecer que f'(x) = 0 não chega para garantir um extremo, dar o valor de x em vez do valor da função e ignorar os extremos do intervalo. Veja a secção «Erros frequentes».

Resumo

  • Os candidatos a extremo são os pontos onde f'(x) = 0 ou onde f' não existe.
  • Se f' passa de + para −, há máximo; de − para +, há mínimo; sem mudança de sinal, não há extremo.
  • O extremo é o valor f(x0); x0 é onde ele é atingido.
  • Em intervalo fechado, compare f nos pontos críticos com f nos extremos do intervalo para obter os extremos absolutos.
  • O critério de f'' ajuda se f''(x0) ≠ 0; se for 0, estude o sinal de f'.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
  • OpenStax, Calculus Volume 1 (em inglês), capítulo sobre aplicações das derivadas, nas secções sobre máximos e mínimos.
  • No MeuGuia, veja também o artigo sobre problemas de otimização, que usa este método em situações reais.

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