Matemática · 11.ª–12.ª classe
O que é a derivada de uma função num ponto?
Resposta curta
A derivada de uma função f num ponto a, escrita f'(a), é o limite de [f(a + h) − f(a)] ÷ h quando h tende para 0, se esse limite existir. Mede a taxa de variação instantânea de f em a. No gráfico, é o declive da reta tangente em (a, f(a)); no movimento, é a velocidade num instante.
Definição e características
A definição por limite
Derivada de f no ponto a
f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)] ÷ h f'(a) = lim (x → a) [f(x) − f(a)] ÷ (x − a) (forma equivalente, com x = a + h)
Para perceber de onde vem, comece pela taxa média de variação entre a e a + h: o quociente [f(a + h) − f(a)] ÷ h é o declive da reta secante que passa pelos pontos (a, f(a)) e (a + h, f(a + h)). Quando h se aproxima de 0, o segundo ponto aproxima-se do primeiro e a secante aproxima-se da tangente. A derivada em a é o declive dessa tangente.
O que é preciso saber
- f'(a) é um número, não uma função. A função derivada f' é a que associa a cada valor a o número f'(a).
- Sinal: se f'(a) > 0, a função é crescente perto de a; se f'(a) < 0, é decrescente; se f'(a) = 0, a tangente é horizontal.
- Reta tangente: a sua equação é y − f(a) = f'(a) · (x − a).
- Derivável implica contínua, mas o contrário é falso: a função módulo é contínua em 0 e não tem derivada em 0.
- Para existir derivada em a, as derivadas laterais (h → 0⁺ e h → 0⁻) têm de existir e ser iguais.
Três interpretações da mesma ideia
| Contexto | O que f'(a) representa |
|---|---|
| Geometria | declive da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa a |
| Movimento | velocidade instantânea no instante a (se f for a posição) |
| Quotidiano e economia | quanto a grandeza está a mudar, por unidade, naquele momento |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Derivada de x2 num ponto e tangente
Enunciado: Seja f(x) = x2. Calcule f'(3) pela definição e escreva a equação da reta tangente em x = 3.
Resolução:
- f(3) = 9 e f(3 + h) = (3 + h)2 = 9 + 6h + h2.
- f(3 + h) − f(3) = 6h + h2.
- Divida por h: (6h + h2) ÷ h = 6 + h.
- Quando h → 0, 6 + h → 6. Logo f'(3) = 6.
- Tangente: y − 9 = 6(x − 3), isto é, y = 6x − 9.
Resposta: f'(3) = 6 e a tangente é y = 6x − 9. Verificação: a tangente passa por (3, 9): 6 × 3 − 9 = 9. Para h = 0,01, o quociente é 6,01, próximo de 6.
Exemplo 2 — Velocidade instantânea
Enunciado: Um objeto largado do alto de um prédio em Luanda cai, desprezando a resistência do ar, de acordo com s(t) = 5t2, com s em metros e t em segundos. Qual é a sua velocidade no instante t = 2 s?
Resolução:
- A velocidade instantânea é s'(2) = lim (h → 0) [s(2 + h) − s(2)] ÷ h.
- s(2) = 5 × 4 = 20 e s(2 + h) = 5(4 + 4h + h2) = 20 + 20h + 5h2.
- s(2 + h) − s(2) = 20h + 5h2.
- Dividindo por h: 20 + 5h, que tende para 20.
Resposta: 20 m/s. Verificação: a velocidade média entre t = 2 s e t = 2,01 s é (5 × 2,012 − 20) ÷ 0,01 = 0,2005 ÷ 0,01 = 20,05 m/s, quase igual a 20 m/s.
Exemplo 3 — Uma função com denominador
Enunciado: Calcule f'(2) para f(x) = 1/x e escreva a equação da tangente em x = 2.
Resolução:
- f(2) = 1/2 e f(2 + h) = 1/(2 + h).
- f(2 + h) − f(2) = 1/(2 + h) − 1/2 = [2 − (2 + h)] ÷ [2(2 + h)] = −h ÷ [2(2 + h)].
- Dividindo por h: −1 ÷ [2(2 + h)].
- Quando h → 0, fica −1 ÷ (2 × 2) = −1/4.
- Tangente: y − 1/2 = −(1/4)(x − 2), logo y = −x/4 + 1.
Resposta: f'(2) = −1/4; tangente y = −x/4 + 1. Verificação: em x = 2 a tangente dá −2/4 + 1 = 1/2 = f(2). O declive é negativo, como esperado numa função decrescente.
Exemplo 4 — Nível de exame: função contínua sem derivada
Enunciado: Mostre que f(x) = |x| não tem derivada em x = 0.
Resolução:
- O quociente em a = 0 é [f(0 + h) − f(0)] ÷ h = |h| ÷ h.
- Se h > 0, |h| = h e o quociente é 1; logo o limite lateral à direita é 1.
- Se h < 0, |h| = −h e o quociente é −1; logo o limite lateral à esquerda é −1.
- Os limites laterais são diferentes.
Resposta: o limite não existe, portanto f'(0) não existe. Verificação: o gráfico tem um «bico» na origem: à direita o declive é 1 e à esquerda é −1, e não há uma única tangente. A função é contínua em 0, mas não é derivável.
Importância e aplicações
A derivada num ponto é a ferramenta para medir mudança num instante, e não só ao longo de um intervalo. O velocímetro de um carro mostra a velocidade instantânea, que é a derivada da posição em ordem ao tempo. A inclinação de uma rampa num ponto é o declive da tangente ao perfil do terreno. Na economia, a derivada do custo em relação à quantidade produzida indica quanto custa aproximadamente mais uma unidade. Em Matemática, é a base para estudar o crescimento de funções, encontrar máximos e mínimos e resolver problemas de otimização.
Erros e confusões frequentes
- Confundir f'(a) com f(a). O primeiro é um declive (taxa de variação); o segundo é a altura do gráfico no ponto.
- Confundir a derivada num ponto com a função derivada. f'(3) é um número; f'(x) é uma função, que dá um número para cada x.
- Escrever f(a + h) = f(a) + f(h). É falso: (3 + h)2 é 9 + 6h + h2, e não 9 + h2.
- Substituir h = 0 antes de simplificar. O quociente dá 0/0; primeiro desenvolve-se, simplifica-se o h e só depois se faz h → 0.
- Pensar que «contínua» quer dizer «derivável». A função módulo é o contraexemplo.
- Trocar taxa média e taxa instantânea. A média é o declive da secante (com h fixo); a instantânea é o limite quando h → 0.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Seja f(x) = 3x − 5. Calcule f'(a) para um valor a qualquer.
Ver dica
Calcule f(a + h) − f(a) e simplifique antes de dividir por h.
Ver solução
f(a + h) − f(a) = [3(a + h) − 5] − [3a − 5] = 3h. Dividindo por h, fica 3, constante. Logo f'(a) = 3 para qualquer a: a derivada de uma reta é o seu declive.
2Exercício 2
Seja f(x) = x2 + 1. Calcule f'(2) pela definição.
Ver solução
f(2) = 5 e f(2 + h) = (2 + h)2 + 1 = 5 + 4h + h2. A diferença é 4h + h2; dividindo por h obtém-se 4 + h, que tende para 4. Logo f'(2) = 4.
3Exercício 3
A distância percorrida por um corpo é s(t) = 4t2, com s em metros e t em segundos. Calcule a velocidade no instante t = 3 s.
Ver solução
s(3) = 36 e s(3 + h) = 4(9 + 6h + h2) = 36 + 24h + 4h2. A diferença é 24h + 4h2; dividindo por h, 24 + 4h, que tende para 24. A velocidade é 24 m/s.
4Exercício 4
Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 − 2x no ponto de abcissa 3.
Ver dica
Precisa de f(3) e de f'(3); depois use y − f(a) = f'(a)(x − a).
Ver solução
f(3) = 9 − 6 = 3. f(3 + h) = 9 + 6h + h2 − 6 − 2h = 3 + 4h + h2, logo a diferença é 4h + h2 e o quociente 4 + h tende para 4. Então f'(3) = 4 e a tangente é y − 3 = 4(x − 3), isto é, y = 4x − 9.
5Exercício 5
Calcule f'(4) para f(x) = √x e escreva a equação da tangente em x = 4.
Ver dica
Multiplique pelo conjugado √(4 + h) + 2.
Ver solução
f(4) = 2. O quociente é [√(4 + h) − 2] ÷ h. Multiplicando pelo conjugado, o numerador fica (4 + h) − 4 = h, e o quociente passa a 1 ÷ [√(4 + h) + 2], que tende para 1/4. Logo f'(4) = 1/4. Tangente: y − 2 = (1/4)(x − 4), ou seja, y = x/4 + 1.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre derivada num ponto e taxa média de variação?
A taxa média de variação entre a e a + h é o declive de uma secante e depende do intervalo escolhido. A derivada num ponto é o limite dessa taxa quando o intervalo encolhe até zero, e dá o declive da tangente, uma taxa instantânea.
Onde se aplica a derivada num ponto na prática?
Sempre que interessa saber a rapidez de uma mudança num instante exato: velocidade de um veículo, ritmo de crescimento de uma população, variação de custos ou de temperaturas. Em exercícios, serve para escrever tangentes e decidir se uma função sobe ou desce.
Uma função pode ser contínua e não ter derivada?
Sim. Basta que o gráfico tenha um «bico» ou uma tangente vertical, como acontece com f(x) = |x| em x = 0. A continuidade é necessária para a derivabilidade, mas não é suficiente.
Que erros os estudantes cometem sobre a derivada num ponto?
Os mais comuns são confundir f'(a) com f(a), escrever f(a + h) como f(a) + f(h) e substituir h = 0 antes de simplificar. Veja a secção «Erros e confusões frequentes».
Resumo
- f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)] ÷ h, quando o limite existe.
- É o declive da tangente ao gráfico no ponto de abcissa a e a taxa de variação instantânea em a.
- A tangente tem equação y − f(a) = f'(a)(x − a).
- f'(a) é um número; a função derivada f' é a que dá esse número para cada ponto.
- Derivável implica contínua, mas contínua não implica derivável.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
- OpenStax, Calculus Volume 1 (em inglês), capítulo sobre derivadas, secção sobre a definição de derivada.
- No MeuGuia, veja também o artigo sobre as regras de derivação, que dispensam o limite em cada exercício.
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