Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como calcular o módulo de um número complexo?

  • 9 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 6 exercícios com solução
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Resposta curta

O módulo de um número complexo z = a + bi é √(a2 + b2): a raiz quadrada da soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária. Geometricamente, é a distância do ponto (a, b) à origem do plano complexo. Exemplo: o módulo de 3 + 4i é √(9 + 16) = √25 = 5.

Fórmula e significado de cada termo

Um número complexo na forma algébrica escreve-se z = a + bi, onde:

  • a é a parte real de z;
  • b é a parte imaginária de z (é o número que multiplica o i, sem o i);
  • i é a unidade imaginária, com i2 = −1.

Módulo de um número complexo

Se z = a + bi, então o módulo de z é |z| = √(a2 + b2)

O módulo representa-se por |z| (alguns manuais usam r ou ρ) e é sempre um número real maior ou igual a zero.

De onde vem a fórmula

No plano complexo, o número z = a + bi é o ponto de coordenadas (a, b): o eixo horizontal mostra a parte real e o eixo vertical a parte imaginária. O segmento que vai da origem a esse ponto é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem |a| e |b|. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento desse segmento é √(a2 + b2).

Há também uma justificação algébrica: (a + bi)(a − bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado dá o quadrado do módulo.

Alguns casos para fixar

zabMódulo
3 + 4i345
−5 + 12i−51213
−2i0−22
7707
1 − i1−1√2

Propriedades úteis

  • |z| = 0 só quando z = 0.
  • O módulo de um produto é o produto dos módulos, e o de um quociente é o quociente dos módulos (com divisor diferente de zero).
  • O módulo de z e o do seu conjugado são iguais.
  • A distância entre dois pontos z1 e z2 do plano complexo é |z1 − z2|.
  • O módulo da soma não é a soma dos módulos; vale apenas |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.

Passo a passo

  1. Escreva z na forma a + bi e identifique a (parte real) e b (parte imaginária). Se z = −2i, então a = 0 e b = −2; se z = 7, então a = 7 e b = 0.
  2. Eleve a ao quadrado e b ao quadrado. O sinal desaparece nos quadrados: (−5)2 = 25.
  3. Some os dois quadrados. Nunca aparece i nesta soma.
  4. Extraia a raiz quadrada da soma. Se não for um quadrado perfeito, deixe √n (valor exato) ou use a calculadora para um valor aproximado.
  5. Verifique: o resultado tem de ser positivo ou nulo e tem de ser pelo menos tão grande como |a| e como |b|.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Um módulo inteiro

Enunciado: Calcule o módulo de z = 3 + 4i.

Resolução:

  1. a = 3 e b = 4.
  2. a2 = 9 e b2 = 16.
  3. 9 + 16 = 25.
  4. √25 = 5.

Resposta: |z| = 5. Verificação: (3 + 4i)(3 − 4i) = 9 − 12i + 12i − 16i2 = 9 + 16 = 25, e √25 = 5.

Exemplo 2 — Partes com sinal negativo e módulo não inteiro

Enunciado: Calcule o módulo de z = −2 − 3i.

Resolução:

  1. a = −2 e b = −3.
  2. a2 = (−2)2 = 4 e b2 = (−3)2 = 9.
  3. 4 + 9 = 13.
  4. √13 não é inteiro; √13 ≈ 3,61.

Resposta: |z| = √13 ≈ 3,61. Verificação: 3,612 ≈ 13,03, valor muito próximo de 13; além disso, 3,61 é maior do que |a| = 2 e do que |b| = 3.

Exemplo 3 — Nível de exame: o módulo de um produto

Enunciado: Sendo z = (1 + i)(2 − i), calcule |z| de duas maneiras.

Resolução:

  1. Maneira 1 (desenvolver): (1 + i)(2 − i) = 2 − i + 2i − i2 = 2 + i + 1 = 3 + i. Então |z| = √(9 + 1) = √10.
  2. Maneira 2 (módulo de cada fator): |1 + i| = √(1 + 1) = √2 e |2 − i| = √(4 + 1) = √5. Então |z| = √2 × √5 = √10.

Resposta: |z| = √10 ≈ 3,16. Verificação: as duas maneiras dão o mesmo valor.

Exemplo 4 — Determinar um parâmetro e uma distância

Enunciado: (a) Determine k real, com k positivo, tal que |3 + ki| = 5. (b) Calcule a distância entre os pontos que representam z1 = 2 + i e z2 = 8 + 9i.

Resolução:

  1. (a) |3 + ki| = √(9 + k2) = 5. Elevando ao quadrado: 9 + k2 = 25, logo k2 = 16 e k = 4 (k é positivo).
  2. (b) z2 − z1 = (8 − 2) + (9 − 1)i = 6 + 8i.
  3. |6 + 8i| = √(36 + 64) = √100 = 10.

Resposta: (a) k = 4; (b) a distância é 10 unidades. Verificação: (a) √(9 + 16) = 5; (b) 62 + 82 = 100.

Erros frequentes

  • Esquecer a raiz: escrever |3 + 4i| = 9 + 16 = 25. O 25 é o quadrado do módulo; falta extrair a raiz para obter 5.
  • Incluir o i na conta: escrever √(a2 + (bi)2) e obter a2 − b2. A fórmula usa só b, nunca bi. Com o i, o sinal troca e a fórmula deixa de dar uma distância.
  • Somar os módulos das partes: |3 + 4i| não é 3 + 4 = 7. A soma a + b não mede a distância à origem.
  • Perder o sinal ao quadrado: (−5)2 é 25, não −25. O quadrado de qualquer número real é positivo ou zero.
  • Dar um módulo negativo. A raiz quadrada usada na fórmula é a positiva; um módulo negativo indica erro de cálculo.
  • Aplicar |z1 + z2| = |z1| + |z2|. Só funciona para a multiplicação e a divisão; na soma, o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule o módulo de z = 6 + 8i.

Ver solução

Temos |z| = √(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10.

2Exercício 2

Calcule o módulo de z = −7 + 24i.

Ver dica

Lembre-se de que (−7)2 = 49.

Ver solução

Temos |z| = √((−7)2 + 242) = √(49 + 576) = √625 = 25.

3Exercício 3

Calcule os módulos de w = −3i, u = 4 e v = −1 − i.

Ver solução

Para w = −3i: a = 0 e b = −3, logo |w| = √(0 + 9) = 3. Para u = 4: a = 4 e b = 0, logo |u| = √16 = 4. Para v = −1 − i: |v| = √(1 + 1) = √2 ≈ 1,41.

4Exercício 4

Determine os valores reais de k para os quais |k + 2i| = √13.

Ver dica

Eleve ambos os membros ao quadrado.

Ver solução

√(k2 + 4) = √13, logo k2 + 4 = 13 e k2 = 9. Então k = 3 ou k = −3. Verificação: √(9 + 4) = √13 nos dois casos.

5Exercício 5

Calcule a distância entre os pontos que representam z1 = −1 + 3i e z2 = 4 − 9i.

Ver solução

z2 − z1 = (4 + 1) + (−9 − 3)i = 5 − 12i. Então a distância é |5 − 12i| = √(25 + 144) = √169 = 13 unidades.

6Exercício 6

Seja z = (2 − i)2. Calcule |z| de duas maneiras e confirme que dão o mesmo resultado.

Ver dica

Use (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 e lembre-se de que i2 = −1.

Ver solução

Maneira 1: (2 − i)2 = 4 − 4i + i2 = 3 − 4i, logo |z| = √(9 + 16) = 5. Maneira 2: |2 − i| = √(4 + 1) = √5, e |z| = |2 − i|2 = (√5)2 = 5. Os dois valores coincidem.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular o módulo de um número complexo?

Para z = a + bi, o módulo é |z| = √(a2 + b2). Usa-se a parte real a e o coeficiente b da parte imaginária, ambos elevados ao quadrado; o símbolo i não entra na conta.

O módulo de um número complexo pode ser negativo?

Não. É a raiz quadrada de uma soma de quadrados, por isso é sempre positivo ou nulo, e só é zero quando a = 0 e b = 0. Se obtiver um valor negativo, reveja os quadrados e o sinal da raiz.

Como verificar se o resultado está correto?

Calcule (a + bi)(a − bi): o resultado deve ser igual a |z|2. Confirme também que |z| é pelo menos tão grande como |a| e como |b|, porque a hipotenusa nunca é menor do que um cateto.

Qual é a diferença entre módulo de um número complexo e valor absoluto?

Para um número real, o módulo coincide com o valor absoluto, porque b = 0 e √(a2) = |a|. Para números complexos generaliza essa ideia: em vez da distância a zero numa reta, é a distância à origem num plano.

Resumo

  • Para z = a + bi, |z| = √(a2 + b2).
  • O módulo é a distância do ponto (a, b) à origem do plano complexo.
  • É sempre um número real positivo ou nulo.
  • O módulo do produto é o produto dos módulos; o da soma não é a soma dos módulos.
  • A distância entre z1 e z2 é |z1 − z2|.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e a classe em que os números complexos são lecionados.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre números complexos e plano complexo.
  • A Khan Academy, que tem lições gratuitas sobre números complexos e o seu módulo.

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