Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como operar com números complexos na forma algébrica?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Na forma algébrica a + bi, soma-se e subtrai-se a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária. Multiplica-se como dois binómios, trocando i2 por −1. Divide-se multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: (2 + 3i)(4 − i) = 11 + 10i.

Quando se aplica

Estas regras servem sempre que os números complexos estão escritos como a + bi, com a e b reais e i2 = −1. São as mesmas regras da álgebra dos polinómios em i, com uma única condição extra: sempre que aparece i2, substitui-se por −1.

Operações com z = a + bi e w = c + di

Soma: z + w = (a + c) + (b + d)i Subtração: z − w = (a − c) + (b − d)i Produto: z · w = (ac − bd) + (ad + bc)i Quociente: z ÷ w = z · conj(w) ÷ (c2 + d2), com conj(w) = c − di

Repare que o produto de um complexo pelo seu conjugado é sempre um número real: (c + di)(c − di) = c2 + d2. É isso que torna possível a divisão: o denominador deixa de ter i.

Método passo a passo

Soma e subtração

  1. Escreva os dois números entre parênteses, na forma a + bi.
  2. Na subtração, mude o sinal de todos os termos do segundo parêntese.
  3. Agrupe as partes reais e agrupe as partes imaginárias.

Multiplicação

  1. Aplique a propriedade distributiva: cada termo do primeiro fator multiplica cada termo do segundo (quatro produtos).
  2. Substitua i2 por −1.
  3. Agrupe a parte real e a parte imaginária.

Divisão

  1. Escreva o conjugado do denominador (mude só o sinal da parte imaginária).
  2. Multiplique o numerador e o denominador por esse conjugado.
  3. No denominador, o resultado é c2 + d2, um número real.
  4. No numerador, multiplique como no produto e substitua i2 por −1.
  5. Divida a parte real e a parte imaginária pelo denominador e simplifique.

Potências

Para (a + bi)2, use (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi. Para expoentes maiores, vá elevando ao quadrado e multiplicando, ou use as potências de i (que se repetem de 4 em 4).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Soma e subtração

Enunciado: Sejam z = 3 + 2i e w = 1 − 5i. Calcule z + w e z − w.

Resolução:

  1. z + w = (3 + 1) + (2 − 5)i = 4 − 3i.
  2. z − w = (3 + 2i) − (1 − 5i) = 3 + 2i − 1 + 5i. O sinal menos muda os dois termos de w.
  3. Agrupe: (3 − 1) + (2 + 5)i = 2 + 7i.

Resposta: z + w = 4 − 3i e z − w = 2 + 7i. Verificação: (z − w) + w deve dar z: (2 + 7i) + (1 − 5i) = 3 + 2i.

Exemplo 2 — Multiplicação

Enunciado: Calcule (2 + 3i)(4 − i).

Resolução:

  1. Distributiva: 2 · 4 + 2 · (−i) + 3i · 4 + 3i · (−i) = 8 − 2i + 12i − 3i2.
  2. Substitua i2 por −1: −3i2 = +3.
  3. Agrupe: (8 + 3) + (−2 + 12)i = 11 + 10i.

Resposta: 11 + 10i. Verificação: pela fórmula (ac − bd) + (ad + bc)i, com a = 2, b = 3, c = 4, d = −1: ac − bd = 8 − (3)(−1) = 11 e ad + bc = −2 + 12 = 10.

Exemplo 3 — Divisão

Enunciado: Calcule (8 + i) ÷ (2 − i).

Resolução:

  1. O conjugado do denominador 2 − i é 2 + i.
  2. Multiplique em cima e em baixo: (8 + i)(2 + i) ÷ [(2 − i)(2 + i)].
  3. Denominador: 22 + 12 = 5.
  4. Numerador: 16 + 8i + 2i + i2 = 16 − 1 + 10i = 15 + 10i.
  5. Divida por 5: (15 + 10i) ÷ 5 = 3 + 2i.

Resposta: 3 + 2i. Verificação: multiplicando o quociente pelo divisor, (3 + 2i)(2 − i) = 6 − 3i + 4i − 2i2 = 6 + 2 + i = 8 + i, que é o dividendo.

Exemplo 4 — Nível de exame: expressão com várias operações

Enunciado: Calcule (2 − i)2 + (3 + i) ÷ (1 − i) e escreva o resultado na forma a + bi.

Resolução:

  1. Quadrado: (2 − i)2 = 4 − 4i + i2 = 4 − 4i − 1 = 3 − 4i.
  2. Quociente: o conjugado de 1 − i é 1 + i. O denominador fica (1 − i)(1 + i) = 1 + 1 = 2.
  3. Numerador: (3 + i)(1 + i) = 3 + 3i + i + i2 = 3 − 1 + 4i = 2 + 4i. Logo (3 + i) ÷ (1 − i) = (2 + 4i) ÷ 2 = 1 + 2i.
  4. Some os dois resultados: (3 − 4i) + (1 + 2i) = 4 − 2i.

Resposta: 4 − 2i. Verificação: (1 + 2i)(1 − i) = 1 − i + 2i − 2i2 = 1 + 2 + i = 3 + i, o que confirma o quociente.

Erros frequentes

  • Esquecer que i2 = −1. No Exemplo 2, o termo −3i2 vale +3; se o tratar como −3 obtém 5 + 10i, que está errado.
  • Não mudar o sinal ao subtrair. (3 + 2i) − (1 − 5i) não é 2 − 3i: o sinal menos afeta os dois termos do parêntese e dá 2 + 7i.
  • Multiplicar «parte real com parte real» e «imaginária com imaginária». O produto de complexos tem quatro termos; é preciso usar a distributiva por inteiro.
  • Esquecer o termo duplo no quadrado. (2 − i)2 não é 4 + i2 = 3; é 4 − 4i + i2 = 3 − 4i.
  • Deixar i no denominador ou multiplicar só o denominador pelo conjugado. A fração só mantém o valor se multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número.
  • Trocar os dois sinais do conjugado. O conjugado de 2 − i é 2 + i; a parte real mantém-se.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule (6 − 2i) + (−4 + 7i) − (1 + i).

Ver solução

Retire os parênteses, mudando o sinal do último: 6 − 2i − 4 + 7i − 1 − i. Parte real: 6 − 4 − 1 = 1. Parte imaginária: −2 + 7 − 1 = 4. Resultado: 1 + 4i.

2Exercício 2

Calcule (3 − i)(2 + 5i).

Ver solução

3 · 2 + 3 · 5i − i · 2 − i · 5i = 6 + 15i − 2i − 5i2 = 6 + 13i + 5 = 11 + 13i.

3Exercício 3

Calcule (1 + 2i) ÷ (2 − i).

Ver dica

Multiplique em cima e em baixo por 2 + i.

Ver solução

Numerador: (1 + 2i)(2 + i) = 2 + i + 4i + 2i2 = 2 − 2 + 5i = 5i. Denominador: 22 + 12 = 5. O quociente é 5i ÷ 5 = i. Verificação: i · (2 − i) = 2i − i2 = 1 + 2i.

4Exercício 4

Resolva, em ℂ, a equação (1 + i)z = 3 + i.

Ver dica

Isole z dividindo ambos os membros por 1 + i.

Ver solução

z = (3 + i) ÷ (1 + i). Multiplique por 1 − i: numerador (3 + i)(1 − i) = 3 − 3i + i − i2 = 4 − 2i; denominador (1 + i)(1 − i) = 2. Então z = (4 − 2i) ÷ 2 = 2 − i. Verificação: (1 + i)(2 − i) = 2 − i + 2i − i2 = 3 + i.

5Exercício 5

Determine o número complexo z tal que z + 2·conj(z) = 6 − 3i.

Ver dica

Escreva z = a + bi e conj(z) = a − bi, e use a igualdade de complexos.

Ver solução

Com z = a + bi: a + bi + 2(a − bi) = 3a − bi. Igualando a 6 − 3i: 3a = 6 e −b = −3, logo a = 2 e b = 3. Portanto z = 2 + 3i. Verificação: 2 + 3i + 2(2 − 3i) = 2 + 3i + 4 − 6i = 6 − 3i.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que os dados e o resultado pedido estão na forma a + bi. Se o enunciado trouxer números na forma trigonométrica ou polar, as potências e as raízes costumam ser mais rápidas nessa forma, mas a soma e a subtração continuam a fazer-se na forma algébrica.

Existe um método mais rápido?

Para alguns casos, sim. Reconhecer que (1 + i)2 = 2i permite calcular (1 + i)4 = (2i)2 = −4 sem desenvolver tudo. Na divisão por um número real, basta dividir as duas partes. E o produto de conjugados dá logo a2 + b2.

Como verifico uma divisão de complexos?

Multiplique o resultado pelo divisor; o produto deve ser igual ao dividendo, como se fez no Exemplo 3. É a prova real, igual à da divisão de números inteiros.

Que erros são mais comuns?

Esquecer i2 = −1, não distribuir o sinal menos na subtração e dividir sem usar o conjugado. Releia a secção «Erros frequentes» antes de um teste e tente apanhar esses três em cada exercício.

Resumo

  • Soma e subtração: partes reais com reais, imaginárias com imaginárias; na subtração, mude o sinal de todo o segundo parêntese.
  • Produto: distributiva, depois i2 = −1; fórmula (ac − bd) + (ad + bc)i.
  • Quociente: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador; o denominador passa a c2 + d2.
  • O produto de um complexo pelo seu conjugado é real: (a + bi)(a − bi) = a2 + b2.
  • Faça a prova real de cada divisão multiplicando o resultado pelo divisor.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
  • OpenStax, Precalculus (em inglês), secção sobre números complexos e as suas operações.
  • No MeuGuia, veja também o artigo sobre o que é um número complexo.

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