Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como calcular potências de números complexos (fórmula de De Moivre)?

  • 10 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Escreva o número na forma trigonométrica z = r(cos θ + i sen θ) e aplique a fórmula de De Moivre: zn = rn(cos nθ + i sen nθ). Eleva-se o módulo a n e multiplica-se o argumento por n. Se o enunciado pedir, passe depois à forma algébrica. Exemplo: (1 + i)8 = 16.

Quando se aplica

A fórmula de De Moivre calcula potências de expoente inteiro de um número complexo diferente de zero. Compensa sobretudo quando o expoente é grande: desenvolver (1 + i)8 com o binómio de Newton é longo e fácil de errar, enquanto na forma trigonométrica são duas contas simples.

Pré-requisitos

  • Passar um número a + bi para a forma trigonométrica: r = √(a2 + b2) e θ tal que cos θ = a ÷ r e sen θ = b ÷ r, atendendo ao quadrante.
  • Saber que multiplicar números complexos multiplica os módulos e soma os argumentos.
  • Conhecer os valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis (0, π/6, π/4, π/3, π/2 e π).

A fórmula

Fórmula de De Moivre

[r(cos θ + i sen θ)]n = rn(cos nθ + i sen nθ), com n inteiro e r diferente de 0

Porque funciona: elevar a n é multiplicar o número por si próprio n vezes. Como cada multiplicação multiplica os módulos e soma os argumentos, ficam n fatores de módulo r (daí rn) e n parcelas iguais a θ (daí nθ). Para expoentes negativos, z−n é o inverso de zn, e a mesma fórmula continua válida.

Método passo a passo

  1. Converta z para a forma trigonométrica: calcule r = |z| e o argumento θ, escolhendo o quadrante certo.
  2. Calcule rn. Se r = √2, lembre-se de que (√2)2 = 2, logo (√2)n é uma potência de 2 quando n é par.
  3. Calcule nθ e reduza o resultado a um ângulo equivalente, somando ou subtraindo múltiplos de 2π (360°).
  4. Escreva zn = rn(cos nθ + i sen nθ).
  5. Se pedido, passe à forma algébrica: calcule o cosseno e o seno e multiplique por rn.
  6. Verifique com um caminho alternativo: calcule z2, depois z4, etc., na forma algébrica, ou confirme que |zn| = |z|n.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Módulo 1

Enunciado: Calcule [cos(π/6) + i sen(π/6)]6.

Resolução:

  1. O módulo é r = 1, logo r6 = 1.
  2. O argumento é 6 × π/6 = π.
  3. O resultado é cos π + i sen π = −1 + 0i.

Resposta: −1. Verificação: em graus, 6 × 30° = 180°, e o ponto de argumento 180° e módulo 1 é −1.

Exemplo 2 — Com conversão para a forma trigonométrica

Enunciado: Calcule (√3 + i)6 e escreva o resultado na forma algébrica.

Resolução:

  1. Módulo: r = √(3 + 1) = 2. Argumento: tg θ = 1 ÷ √3 no 1.º quadrante, logo θ = π/6.
  2. r6 = 26 = 64 e 6θ = 6 × π/6 = π.
  3. (√3 + i)6 = 64(cos π + i sen π) = 64(−1 + 0i) = −64.

Resposta: −64. Verificação: (√3 + i)2 = 3 + 2√3 i + i2 = 2 + 2√3 i; depois (√3 + i)3 = (√3 + i)(2 + 2√3 i) = 2√3 + 6i + 2i + 2√3 i2 = 8i; por fim (8i)2 = 64 i2 = −64.

Exemplo 3 — Argumento negativo e redução do ângulo

Enunciado: Calcule (1 − i)10.

Resolução:

  1. Módulo: r = √(1 + 1) = √2. O ponto (1, −1) está no 4.º quadrante, logo θ = −π/4.
  2. r10 = (√2)10 = 25 = 32.
  3. 10θ = −10π/4 = −5π/2. Somando 2π: −5π/2 + 2π = −π/2.
  4. (1 − i)10 = 32[cos(−π/2) + i sen(−π/2)] = 32(0 − i) = −32i.

Resposta: −32i. Verificação: (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i, e (−2i)5 = (−2)5 × i5 = −32 × i = −32i.

Exemplo 4 — Nível de exame: quando é que a potência é real e positiva?

Enunciado: Determine o menor número natural n tal que (1 + i)n seja um número real positivo.

Resolução:

  1. Na forma trigonométrica, 1 + i = √2 (cos π/4 + i sen π/4), logo (1 + i)n = (√2)n[cos(nπ/4) + i sen(nπ/4)].
  2. O módulo (√2)n é sempre positivo. O número é real se sen(nπ/4) = 0, ou seja, se nπ/4 for múltiplo de π: n = 4, 8, 12, 16 e assim sucessivamente
  3. O número é real e positivo se, além disso, cos(nπ/4) = 1, isto é, nπ/4 = 2kπ, o que dá n = 8k.
  4. O menor n natural é 8.

Resposta: n = 8. Verificação: (1 + i)8 = (√2)8(cos 2π + i sen 2π) = 16. Para n = 4 obtém-se −4, real mas negativo.

Outra utilidade: ângulo duplo e triplo

Aplicando a fórmula a z = cos θ + i sen θ com n = 2, obtém-se (cos θ + i sen θ)2 = cos 2θ + i sen 2θ. Por outro lado, desenvolvendo o quadrado, (cos θ + i sen θ)2 = cos2θ − sen2θ + 2i sen θ cos θ. Igualando as partes real e imaginária, resultam as fórmulas cos 2θ = cos2θ − sen2θ e sen 2θ = 2 sen θ cos θ. O mesmo raciocínio com n = 3 dá as fórmulas do ângulo triplo (exercício 5).

Erros frequentes

  • Elevar só o módulo ou só o argumento. Os dois mudam: r passa a rn e θ passa a nθ.
  • Escrever (cos θ + i sen θ)n = cosnθ + i sennθ. É falso; o correto é cos nθ + i sen nθ. O expoente multiplica o ângulo, não as funções.
  • Elevar a e bi separadamente, como (a + bi)n = an + bnin. A potência de uma soma não é a soma das potências.
  • Esquecer o quadrante no argumento inicial: para −1 + i, o argumento é 3π/4 e não −π/4.
  • Não reduzir nθ. Um ângulo como 25π/4 é difícil de avaliar; subtraia múltiplos de 2π (25π/4 − 6π = π/4).
  • Calcular mal rn. Para r = √2 e n = 10, o módulo é 25 = 32 e não 10√2.
  • Usar a fórmula com módulo negativo ou com z = 0. O módulo tem de ser positivo.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule [2(cos π/4 + i sen π/4)]4.

Ver solução

r4 = 24 = 16 e 4 × π/4 = π. Então o resultado é 16(cos π + i sen π) = −16.

2Exercício 2

Calcule (1 + i)6 na forma algébrica.

Ver dica

Módulo √2 e argumento π/4. Lembre-se de que (√2)6 = 8.

Ver solução

r6 = (√2)6 = 8 e 6 × π/4 = 3π/2. Então (1 + i)6 = 8(cos 3π/2 + i sen 3π/2) = 8(0 − i) = −8i. Verificação: (1 + i)2 = 2i e (2i)3 = 8 i3 = −8i.

3Exercício 3

Calcule (−1 + i)4.

Ver dica

O ponto (−1, 1) está no 2.º quadrante.

Ver solução

r = √2 e θ = 3π/4. Então r4 = 4 e 4θ = 3π, que equivale a π. Resultado: 4(cos π + i sen π) = −4. Verificação: (−1 + i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i e (−2i)2 = −4.

4Exercício 4

Calcule (√3 − i)−3.

Ver dica

O módulo é 2 e o argumento é −π/6 (4.º quadrante). Use o expoente −3 na fórmula.

Ver solução

r−3 = 2−3 = 1/8 e −3 × (−π/6) = π/2. Então (√3 − i)−3 = (1/8)(cos π/2 + i sen π/2) = i/8. Verificação: (√3 − i)3 = −8i, e 1 ÷ (−8i) = i/8, porque (−8i) × (i/8) = −i2 = 1.

5Exercício 5

Usando a fórmula de De Moivre com n = 3, mostre que cos 3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ.

Ver dica

Desenvolva (cos θ + i sen θ)3 com o cubo de um binómio, use i2 = −1 e compare as partes reais. No fim, substitua sen2θ por 1 − cos2θ.

Ver solução

Por De Moivre, (cos θ + i sen θ)3 = cos 3θ + i sen 3θ. Desenvolvendo, (cos θ + i sen θ)3 = cos3θ + 3i cos2θ sen θ − 3 cos θ sen2θ − i sen3θ. A parte real é cos3θ − 3 cos θ sen2θ; substituindo sen2θ = 1 − cos2θ, vem cos3θ − 3 cos θ + 3 cos3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ. Igualando às partes reais, cos 3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando o expoente é grande ou quando o número já vem na forma trigonométrica. Para expoentes pequenos, como 2, costuma ser mais rápido desenvolver o quadrado na forma algébrica.

Existe um método mais rápido?

Por vezes sim. Como (1 + i)2 = 2i, pode escrever (1 + i)8 = (2i)4 = 16 i4 = 16, sem passar pela forma trigonométrica. Procure sempre um quadrado simples que se repita.

A fórmula serve para expoentes negativos ou fracionários?

Para expoentes inteiros negativos, sim: z−n = r−n[cos(−nθ) + i sen(−nθ)]. Para expoentes fracionários, como 1/2 ou 1/3, entra-se no cálculo de raízes, que dá várias soluções e usa uma fórmula com o termo 2kπ.

Posso trabalhar em graus?

Pode, desde que seja coerente. Multiplique o argumento em graus por n e reduza o resultado somando ou subtraindo múltiplos de 360°. Por exemplo, 10 × (−45°) = −450°, que equivale a −90°.

Resumo

  • [r(cos θ + i sen θ)]n = rn(cos nθ + i sen nθ), com n inteiro e r diferente de zero.
  • O módulo é elevado a n e o argumento é multiplicado por n.
  • Converta primeiro para a forma trigonométrica, atendendo ao quadrante.
  • Reduza o ângulo nθ com múltiplos de 2π (360°) antes de calcular seno e cosseno.
  • A fórmula também permite deduzir identidades como cos 2θ e cos 3θ.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), na parte sobre a forma polar dos números complexos e o teorema de De Moivre.
  • A Khan Academy, que tem lições gratuitas sobre a forma polar e as potências de números complexos.

Continue a estudar

11.ª–12.ª classe11 min

Como calcular raízes de números complexos?

Escreva z na forma trigonométrica, z = r(cos θ + i sen θ). As n raízes de índice n são wk = ⁿ√r [cos((θ + 2kπ) ÷ n) + i sen((θ + 2kπ) ÷ n)], com k = 0, 1, 2 até n − 1…

4 exemplos5 exercícios com solução

11.ª–12.ª classe9 min

O que é um número complexo?

Um número complexo é um número da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, definida por i2 = −1. O número a chama-se parte real e b…

4 exemplos5 exercícios com solução

11.ª–12.ª classe8 min

Como operar com números complexos na forma algébrica?

Na forma algébrica a + bi, soma-se e subtrai-se a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária. Multiplica-se como dois binómios, trocando i2…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Números complexos