Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como multiplicar e dividir números complexos na forma trigonométrica?

  • 11 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Na forma trigonométrica, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos; na divisão, dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos. Se z1 = r1(cos θ1 + i sen θ1) e z2 = r2(cos θ2 + i sen θ2), o produto z1z2 tem módulo r1r2 e argumento θ1 + θ2.

Quando se aplica

Use este método quando os números complexos estão (ou podem ser postos) na forma trigonométrica z = r(cos θ + i sen θ), em que r = |z| é o módulo (r ≥ 0) e θ é o argumento. Alguns manuais abreviam cos θ + i sen θ para cis θ. É especialmente cómodo na divisão, e é a base das potências (fórmula de De Moivre) e das raízes de números complexos.

Pré-requisito: passar da forma algébrica à trigonométrica

Para z = a + bi (com z diferente de 0):

  1. Calcule o módulo: r = √(a2 + b2).
  2. Calcule o argumento θ tal que cos θ = a ÷ r e sen θ = b ÷ r. Olhe para o quadrante do ponto (a, b): a calculadora dá tg−1(b ÷ a) apenas entre −90° e 90°, por isso pode ser preciso somar 180° (ou π).

As regras

Produto e quociente na forma trigonométrica

z1 × z2 = r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)]

z1 ÷ z2 = (r1 ÷ r2) [cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2)] (com r2 diferente de 0)

Porque é que os argumentos se somam

Multiplicando os fatores unitários e usando as fórmulas da soma de ângulos:

(cos α + i sen α)(cos β + i sen β) = (cos α cos β − sen α sen β) + i(sen α cos β + cos α sen β) = cos(α + β) + i sen(α + β).

Os módulos limitam-se a multiplicar-se, porque são números reais positivos. Para a divisão, basta ver que o quociente é o número que, multiplicado por z2, devolve z1: os módulos têm de dar r1 e os argumentos têm de somar θ1.

Leitura geométrica

Multiplicar por um número de módulo r e argumento θ equivale a multiplicar o comprimento do vetor por r e a rodá-lo de um ângulo θ em torno da origem, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio se θ for positivo. Multiplicar por i (módulo 1, argumento 90°) é uma rotação de um quarto de volta.

Método passo a passo

  1. Ponha os dois números na forma trigonométrica, com r ≥ 0. Se vierem na forma algébrica, converta-os (módulo e argumento, com atenção ao quadrante).
  2. Trabalhe todos os ângulos na mesma unidade: graus com graus, radianos com radianos.
  3. Produto: multiplique os módulos e some os argumentos. Quociente: divida os módulos e subtraia os argumentos (pela ordem: numerador menos denominador).
  4. Reduza o argumento ao intervalo pedido, normalmente [0, 2π[ ou ]−π, π], somando ou subtraindo múltiplos de 2π (360°).
  5. Se o enunciado pedir a forma algébrica, calcule cos e sen do argumento e multiplique pelo módulo.
  6. Verifique por outro caminho: multiplique na forma algébrica ou confirme que o resultado multiplicado por z2 devolve z1 (no caso da divisão).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Produto e quociente com dados na forma trigonométrica

Enunciado: Sejam z1 = 2(cos π/6 + i sen π/6) e z2 = 3(cos π/3 + i sen π/3). Calcule z1z2 e z1 ÷ z2.

Resolução:

  1. Produto: módulo 2 × 3 = 6; argumento π/6 + π/3 = π/6 + 2π/6 = 3π/6 = π/2. Então z1z2 = 6(cos π/2 + i sen π/2) = 6(0 + i) = 6i.
  2. Quociente: módulo 2 ÷ 3 = 2/3; argumento π/6 − π/3 = −π/6. Então z1 ÷ z2 = (2/3)(cos(−π/6) + i sen(−π/6)) = (2/3)(√3/2 − i/2) = √3/3 − (1/3)i.

Resposta: z1z2 = 6i e z1 ÷ z2 = √3/3 − (1/3)i. Verificação: na forma algébrica, z1 = √3 + i e z2 = 3/2 + (3√3/2)i. O produto é (√3 × 3/2 − 1 × 3√3/2) + (√3 × 3√3/2 + 3/2)i = 0 + (9/2 + 3/2)i = 6i.

Exemplo 2 — Partindo da forma algébrica

Enunciado: Calcule (1 + i)(√3 + i) usando a forma trigonométrica e escreva o resultado na forma trigonométrica.

Resolução:

  1. z1 = 1 + i: r1 = √(1 + 1) = √2; cos θ1 = 1 ÷ √2 e sen θ1 = 1 ÷ √2, logo θ1 = π/4.
  2. z2 = √3 + i: r2 = √(3 + 1) = 2; tg θ2 = 1 ÷ √3, 1.º quadrante, logo θ2 = π/6.
  3. Módulo do produto: √2 × 2 = 2√2.
  4. Argumento do produto: π/4 + π/6 = 3π/12 + 2π/12 = 5π/12.

Resposta: (1 + i)(√3 + i) = 2√2 (cos 5π/12 + i sen 5π/12). Verificação: na forma algébrica, (1 + i)(√3 + i) = √3 + i + √3 i + i2 = (√3 − 1) + (√3 + 1)i. O quadrado do módulo é (√3 − 1)2 + (√3 + 1)2 = (4 − 2√3) + (4 + 2√3) = 8, logo o módulo é √8 = 2√2, como obtido.

Exemplo 3 — Divisão com argumento negativo

Enunciado: Sejam z1 = 6(cos π/6 + i sen π/6) e z2 = 3(cos 2π/3 + i sen 2π/3). Calcule z1 ÷ z2 e escreva o resultado na forma algébrica.

Resolução:

  1. Módulo: 6 ÷ 3 = 2.
  2. Argumento: π/6 − 2π/3 = π/6 − 4π/6 = −3π/6 = −π/2 (equivale a 3π/2).
  3. z1 ÷ z2 = 2(cos(−π/2) + i sen(−π/2)) = 2(0 − i) = −2i.

Resposta: z1 ÷ z2 = −2i. Verificação: z2 = 3(−1/2 + i√3/2) = −3/2 + (3√3/2)i e z1 = 6(√3/2 + i/2) = 3√3 + 3i. Multiplicando: (−2i) × z2 = 3i − 3√3 i2 = 3√3 + 3i = z1.

Exemplo 4 — Nível de exame: rodar um ponto

Enunciado: No plano complexo, o ponto A representa z = 2 + 2i. Determine o número complexo representado pelo ponto B, obtido de A por uma rotação de 90° em torno da origem, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Resolução:

  1. Uma rotação de 90° equivale a multiplicar por cos 90° + i sen 90° = i, que tem módulo 1 e argumento π/2.
  2. Forma trigonométrica de z: r = √(4 + 4) = 2√2 e θ = π/4. Logo z = 2√2 (cos π/4 + i sen π/4).
  3. Produto: módulo 2√2 × 1 = 2√2; argumento π/4 + π/2 = 3π/4.
  4. 2√2 (cos 3π/4 + i sen 3π/4) = 2√2 (−√2/2 + i√2/2) = −2 + 2i.

Resposta: B representa −2 + 2i. Verificação: i(2 + 2i) = 2i + 2i2 = −2 + 2i, e o módulo manteve-se (√(4 + 4) = 2√2).

Erros frequentes

  • Somar os módulos em vez de os multiplicar. Só os argumentos se somam; os módulos multiplicam-se (produto) ou dividem-se (quociente).
  • Multiplicar os argumentos em vez de os somar, ou dividi-los na divisão. Na divisão subtrai-se: argumento do numerador menos argumento do denominador.
  • Trocar a ordem na subtração: θ2 − θ1 dá o argumento simétrico, ou seja, o conjugado do resultado correto.
  • Errar o quadrante ao calcular θ: para −1 + i o argumento é 3π/4 (2.º quadrante), não −π/4, que é o valor que a calculadora devolve para tg−1(−1).
  • Misturar graus e radianos na mesma soma, como π/6 + 60°. Converta tudo para a mesma unidade antes.
  • Usar um módulo negativo. A expressão −2(cos θ + i sen θ) não está na forma trigonométrica, porque r tem de ser positivo. Corrija: −2(cos θ + i sen θ) = 2(cos(θ + π) + i sen(θ + π)).
  • Deixar um argumento fora do intervalo pedido, como 9π/4, em vez de π/4. Subtraia múltiplos de 2π.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule 3(cos π/4 + i sen π/4) × 2(cos π/4 + i sen π/4) e dê o resultado na forma algébrica.

Ver solução

Módulo: 3 × 2 = 6. Argumento: π/4 + π/4 = π/2. Resultado: 6(cos π/2 + i sen π/2) = 6(0 + i) = 6i.

2Exercício 2

Calcule 10(cos 2π/3 + i sen 2π/3) ÷ 5(cos π/6 + i sen π/6).

Ver solução

Módulo: 10 ÷ 5 = 2. Argumento: 2π/3 − π/6 = 4π/6 − π/6 = 3π/6 = π/2. Resultado: 2(cos π/2 + i sen π/2) = 2i.

3Exercício 3

Calcule 4(cos 3π/4 + i sen 3π/4) × 2(cos 5π/4 + i sen 5π/4) e reduza o argumento a [0, 2π[.

Ver dica

Some os argumentos e subtraia 2π se o resultado for igual ou superior a 2π.

Ver solução

Módulo: 4 × 2 = 8. Argumento: 3π/4 + 5π/4 = 8π/4 = 2π, que equivale a 0. Resultado: 8(cos 0 + i sen 0) = 8.

4Exercício 4

Escreva z1 = 1 − i e z2 = −1 + i na forma trigonométrica e calcule z1 ÷ z2.

Ver dica

Para z2, o ponto (−1, 1) está no 2.º quadrante.

Ver solução

z1: r = √2 e θ = −π/4 (ou 7π/4), 4.º quadrante. z2: r = √2 e θ = 3π/4, 2.º quadrante. Quociente: módulo √2 ÷ √2 = 1; argumento −π/4 − 3π/4 = −π. Resultado: cos(−π) + i sen(−π) = −1. Verificação: (1 − i) ÷ (−1 + i) = −(−1 + i) ÷ (−1 + i) = −1.

5Exercício 5

Sabe-se que z1 = 2(cos π/12 + i sen π/12) e que z1 × z2 = 6(cos π/2 + i sen π/2). Determine z2 na forma trigonométrica.

Ver dica

z2 = (z1z2) ÷ z1: divida os módulos e subtraia os argumentos.

Ver solução

Módulo: 6 ÷ 2 = 3. Argumento: π/2 − π/12 = 6π/12 − π/12 = 5π/12. Então z2 = 3(cos 5π/12 + i sen 5π/12). Verificação: 2 × 3 = 6 e π/12 + 5π/12 = 6π/12 = π/2.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando os números já estão na forma trigonométrica, ou quando o problema envolve divisões, potências ou raízes. Para multiplicar dois números pequenos dados na forma algébrica, costuma ser mais rápido aplicar a propriedade distributiva e usar i2 = −1.

Existe um método mais rápido?

Se os números estão na forma algébrica e são simples, multiplique diretamente. Para dividir, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Se o enunciado já traz módulos e argumentos, o método trigonométrico é o mais curto, porque reduz tudo a duas contas com números reais.

E se a soma dos argumentos passar de 2π?

Pode deixá-la como está, porque o cosseno e o seno repetem-se a cada 2π, mas é costume reduzir o argumento a [0, 2π[. Por exemplo, 9π/4 equivale a 9π/4 − 2π = π/4.

Que erros são mais comuns?

Somar os módulos, multiplicar os argumentos, subtrair os argumentos pela ordem trocada na divisão e escolher o quadrante errado ao converter da forma algébrica. Veja a lista de erros frequentes acima.

Resumo

  • Produto: r1r2 e θ1 + θ2. Quociente: r1 ÷ r2 e θ1 − θ2.
  • Os dois números têm de estar na forma trigonométrica, com módulo positivo e ângulos na mesma unidade.
  • Ao converter da forma algébrica, o quadrante do ponto decide o argumento.
  • Multiplicar por um número complexo é ampliar e rodar; multiplicar por i roda 90°.
  • Reduza o argumento a [0, 2π[ e, se pedido, passe à forma algébrica no fim.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), na parte sobre a forma polar dos números complexos.
  • A Khan Academy, que tem lições gratuitas sobre a forma polar e o produto de números complexos.

Continue a estudar

11.ª–12.ª classe9 min

O que é um número complexo?

Um número complexo é um número da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, definida por i2 = −1. O número a chama-se parte real e b…

4 exemplos5 exercícios com solução

11.ª–12.ª classe8 min

Como operar com números complexos na forma algébrica?

Na forma algébrica a + bi, soma-se e subtrai-se a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária. Multiplica-se como dois binómios, trocando i2…

4 exemplos5 exercícios com solução

11.ª–12.ª classe9 min

Como calcular o módulo de um número complexo?

O módulo de um número complexo z = a + bi é √(a2 + b2): a raiz quadrada da soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária. Geometricamente, é a distância do…

4 exemplos6 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Números complexos