Matemática · 11.ª–12.ª classe
O que é um número complexo?
Resposta curta
Um número complexo é um número da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, definida por i2 = −1. O número a chama-se parte real e b chama-se parte imaginária. Os números reais são os complexos com b = 0, e o conjunto de todos os complexos representa-se por ℂ.
Definição e características
A forma algébrica
Na equação x2 + 1 = 0 não existe solução real, porque nenhum número real elevado ao quadrado dá −1. Para ultrapassar esse limite, criou-se um novo número, i, tal que i2 = −1. Com ele, as soluções passam a ser x = i e x = −i. Os números complexos surgiram no século XVI, quando matemáticos italianos se depararam com eles ao resolver equações do 3.º grau, e foram sendo aceites ao longo dos séculos seguintes.
Forma algébrica de um número complexo
z = a + bi com a, b reais e i2 = −1 Re(z) = a (parte real) Im(z) = b (parte imaginária)
Atenção: a parte imaginária de z = 3 − 4i é −4, e não −4i. A parte imaginária é sempre um número real.
Tipos de números complexos
| Número | Re | Im | Tipo |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | complexo não real |
| −5 | −5 | 0 | real (b = 0) |
| 4i | 0 | 4 | imaginário puro (a = 0 e b ≠ 0) |
| 0 | 0 | 0 | zero, que é real |
Assim, todo o número real é complexo (ℝ está contido em ℂ), mas nem todo o complexo é real.
Igualdade, conjugado e módulo
- Igualdade: a + bi = c + di se e só se a = c e b = d. Dois complexos são iguais quando têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária.
- Conjugado: conj(a + bi) = a − bi. Troca-se o sinal da parte imaginária.
- Módulo: |a + bi| = √(a2 + b2). É sempre um número real não negativo.
- Plano complexo (de Argand): o número a + bi representa-se pelo ponto (a, b), com a no eixo horizontal (real) e b no eixo vertical (imaginário). O módulo é a distância desse ponto à origem.
Potências de i
As potências de i repetem-se de 4 em 4: i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, e depois recomeça. Para calcular in, divida n por 4 e use o resto: resto 0 dá 1, resto 1 dá i, resto 2 dá −1 e resto 3 dá −i.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Partes, conjugado e módulo
Enunciado: Seja z = 3 − 4i. Indique a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo.
Resolução:
- Re(z) = 3 e Im(z) = −4.
- O conjugado troca o sinal da parte imaginária: 3 + 4i.
- Módulo: |z| = √(32 + (−4)2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Resposta: Re = 3, Im = −4, conjugado 3 + 4i, módulo 5. Verificação: o ponto (3, −4) está a 5 unidades da origem, como no triângulo retângulo 3-4-5. Além disso, (3 − 4i)(3 + 4i) = 9 + 12i − 12i − 16i2 = 9 + 16 = 25, que é |z|2.
Exemplo 2 — Potências de i
Enunciado: Calcule i27, i50 e i100.
Resolução:
- 27 ÷ 4 dá quociente 6 e resto 3, porque 4 × 6 = 24 e 27 − 24 = 3. Logo i27 = i3 = −i.
- 50 ÷ 4 dá quociente 12 e resto 2. Logo i50 = i2 = −1.
- 100 ÷ 4 dá quociente 25 e resto 0. Logo i100 = i4 = 1.
Resposta: i27 = −i, i50 = −1, i100 = 1. Verificação: i27 = (i4)6 · i3 = 1 · (−i) = −i.
Exemplo 3 — Igualdade de complexos
Enunciado: Determine os números reais x e y tais que (2x − y) + (x + y)i = 4 + 5i.
Resolução:
- Dois complexos são iguais quando têm partes reais iguais e partes imaginárias iguais. Obtém-se o sistema 2x − y = 4 e x + y = 5.
- Somando as duas equações: 3x = 9, logo x = 3.
- Da segunda equação, y = 5 − 3 = 2.
Resposta: x = 3 e y = 2. Verificação: 2 × 3 − 2 = 4 e 3 + 2 = 5, o que reproduz 4 + 5i.
Exemplo 4 — Nível de exame: equação sem raízes reais
Enunciado: Resolva, em ℂ, a equação x2 − 2x + 5 = 0.
Resolução:
- Discriminante: Δ = (−2)2 − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16, negativo; não há raízes reais.
- Em ℂ, √(−16) = 4i, porque (4i)2 = 16 × i2 = −16.
- x = [2 ± 4i] ÷ 2 = 1 ± 2i.
Resposta: as soluções são x = 1 + 2i e x = 1 − 2i, que são conjugadas uma da outra. Verificação: a soma das raízes é 2, igual a −b/a, e o produto é (1 + 2i)(1 − 2i) = 1 + 4 = 5, igual a c/a.
Importância e aplicações
Os números complexos completam a Álgebra: no conjunto ℂ, todo o polinómio de grau n ≥ 1 tem n raízes (contando as repetidas), o que não acontece em ℝ. Fora da Matemática, são a linguagem natural para descrever grandezas que oscilam. Na engenharia elétrica, a tensão e a corrente alternadas (a que chega às tomadas das casas, de 220 V em Angola) tratam-se com complexos, porque estes combinam amplitude e desfasamento. Também aparecem no processamento de sinais, no estudo de ondas e na computação gráfica.
Erros e confusões frequentes
- Dar «−4i» como parte imaginária de 3 − 4i. A parte imaginária é o coeficiente real −4.
- Escrever i = −1. O que se define é i2 = −1; o próprio i não é um número real.
- Aplicar √(−a) · √(−b) = √(ab). É falso: √(−4) · √(−9) = 2i · 3i = −6, e não √36 = 6. Escreva primeiro cada raiz com i.
- Querer ordenar complexos com «<» ou «>». Não há uma ordem em ℂ compatível com as operações; pode comparar-se os módulos, que são reais.
- Achar que «imaginário» e «complexo» são o mesmo. Imaginário puro é só a + bi com a = 0 e b ≠ 0; complexo inclui também os reais.
- Esquecer a raiz ou usar i no módulo. |3 − 4i| = √(32 + 42) = 5, e não 3 + 4i nem √(9 − 16).
Exercícios propostos
1Exercício 1
Escreva √(−49) e √(−20) na forma bi, com b real.
Ver dica
√(−n) = √n · i, para n positivo.
Ver solução
√(−49) = √49 · i = 7i. √(−20) = √20 · i, e √20 = √(4 × 5) = 2√5. Logo √(−20) = 2√5 i.
2Exercício 2
Para z = −5 + 12i, indique a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo.
Ver solução
Re(z) = −5 e Im(z) = 12. O conjugado é −5 − 12i. O módulo é √((−5)2 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13.
3Exercício 3
Calcule i43 + i44.
Ver dica
Divida cada expoente por 4 e use o resto.
Ver solução
43 = 4 × 10 + 3, logo i43 = i3 = −i. 44 = 4 × 11, logo i44 = i4 = 1. A soma é 1 − i.
4Exercício 4
Determine os reais x e y tais que (x + y) + (x − y)i = 7 + 3i.
Ver solução
Igualando as partes reais e as imaginárias: x + y = 7 e x − y = 3. Somando, 2x = 10, logo x = 5; então y = 7 − 5 = 2. Solução: x = 5 e y = 2. Verificação: 5 + 2 = 7 e 5 − 2 = 3.
5Exercício 5
Resolva, em ℂ, a equação x2 − 4x + 13 = 0.
Ver dica
Calcule o discriminante; se for negativo, escreva √(−36) como 6i.
Ver solução
Δ = (−4)2 − 4 × 1 × 13 = 16 − 52 = −36. √(−36) = 6i. Então x = (4 ± 6i) ÷ 2 = 2 + 3i ou 2 − 3i. Verificação: a soma das raízes é 4 (= −b/a) e o produto é (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 + 9 = 13 (= c/a).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre número complexo, real e imaginário?
Um número complexo é a + bi com a e b reais. Se b = 0, é real; se a = 0 e b ≠ 0, é imaginário puro; nos outros casos é um complexo não real. Os reais e os imaginários puros são, portanto, casos particulares dos complexos.
Onde se aplica um número complexo na prática?
Em tudo o que oscila ou roda: corrente alternada, sinais de rádio e de áudio, ondas e vibrações. Em exercícios, serve para resolver equações do 2.º grau com discriminante negativo e para representar rotações no plano.
Porque é que se define i2 = −1?
Porque é a escolha mais simples que dá solução à equação x2 = −1 e que mantém as regras habituais da soma e da multiplicação. A partir dela, todas as outras propriedades (potências de i, raízes de negativos) se deduzem.
Que erros os estudantes cometem sobre números complexos?
Confundir a parte imaginária com bi, escrever i = −1 e multiplicar raízes de números negativos como se fossem reais. Veja a secção «Erros e confusões frequentes» e escreva sempre √(−n) como √n · i antes de operar.
Resumo
- z = a + bi, com a (parte real) e b (parte imaginária) reais, e i2 = −1.
- Os reais são complexos com b = 0; ℝ está contido em ℂ.
- Conjugado: a − bi. Módulo: √(a2 + b2), a distância à origem no plano complexo.
- Duas formas algébricas são iguais quando as partes reais e as imaginárias são iguais.
- As potências de i repetem-se de 4 em 4: i, −1, −i, 1.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
- OpenStax, Precalculus (em inglês), secção sobre números complexos.
- No MeuGuia, veja também o artigo sobre como operar com números complexos na forma algébrica.
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