Matemática · 8.ª–12.ª classe
Como calcular o contradomínio de uma função?
Resposta curta
O contradomínio (ou conjunto-imagem) de f é o conjunto de todos os valores que f(x) toma quando x percorre o domínio. Para o calcular: determine o domínio, identifique o tipo de função e procure o menor e o maior valor (numa parábola, o vértice) ou resolva y = f(x) em ordem a x e veja que valores de y permitem um x do domínio.
O que é o contradomínio
Se o domínio responde à pergunta «que valores de x posso usar?», o contradomínio responde a «que valores de y obtenho?». É o conjunto das imagens: só entram os valores que a função efetivamente atinge. Em f(x) = x2, os números negativos nunca são imagens, por isso o contradomínio é [0, +∞[ e não ℝ.
Nota
Terminologia: em muitos manuais portugueses, «contradomínio» é o conjunto das imagens, e «conjunto de chegada» é o conjunto onde a função toma valores. Noutros manuais (e no Brasil), «contradomínio» é o conjunto de chegada e o conjunto dos valores atingidos chama-se «imagem». Confirme a convenção no manual da sua classe; neste artigo, contradomínio é o conjunto das imagens.
Funções que convém conhecer
| Função | Domínio | Contradomínio |
|---|---|---|
| mx + b, com m ≠ 0 | ℝ | ℝ |
| b (função constante) | ℝ | {b} |
| ax2 + bx + c, com a > 0 | ℝ | [yv, +∞[ |
| ax2 + bx + c, com a < 0 | ℝ | ]−∞, yv] |
| √x | [0, +∞[ | [0, +∞[ |
| 1 ÷ x | ℝ ∖ {0} | ℝ ∖ {0} |
Na parábola, yv = f(xv), com xv = −b ÷ (2a). Somar uma constante à função desloca o contradomínio: o de √x + 2 é [2, +∞[.
Método passo a passo
- Determine o domínio. Se o enunciado o restringe a um intervalo, use esse intervalo.
- Identifique o tipo de função (afim, quadrática, raiz, fração) e procure o seu comportamento.
- Função afim não constante em ℝ: contradomínio ℝ. Em [p, q], calcule f(p) e f(q): o contradomínio fica entre os dois.
- Função quadrática: calcule o vértice (xv; yv). Se o vértice está no domínio, é o mínimo (a > 0) ou o máximo (a < 0); depois compare com os valores nos extremos do domínio, se este for limitado.
- Caso geral (método da equação): escreva y = f(x), isole x e veja para que valores de y existe um x do domínio.
- Escreva o resultado em intervalo e confirme com dois ou três valores de x.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Função afim
Enunciado: Determine o contradomínio de f(x) = 2x − 3 (a) em ℝ; (b) no intervalo [0, 4].
Resolução:
- (a) Para qualquer y real existe x = (y + 3) ÷ 2. Logo todos os valores são atingidos.
- (b) A função é crescente (declive 2 > 0), por isso o menor valor está em x = 0 e o maior em x = 4. f(0) = −3 e f(4) = 8 − 3 = 5.
Resposta: (a) ℝ; (b) [−3, 5]. Verificação: f(2) = 1 está entre −3 e 5; e fora do intervalo, f(5) = 7 não conta, porque 5 não pertence ao domínio.
Exemplo 2 — Parábola e vértice
Enunciado: Determine o contradomínio de (a) f(x) = x2 − 4x + 1; (b) g(x) = −x2 + 6x.
Resolução:
- (a) a = 1, b = −4: xv = 4 ÷ 2 = 2 e yv = f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. Como a > 0, a parábola abre para cima e −3 é o mínimo.
- (b) a = −1, b = 6: xv = −6 ÷ (−2) = 3 e yv = g(3) = −9 + 18 = 9. Como a < 0, 9 é o máximo.
Resposta: (a) [−3, +∞[; (b) ]−∞, 9]. Verificação: f(0) = 1 e f(5) = 6 são maiores do que −3; g(0) = 0 e g(6) = −36 + 36 = 0 são menores do que 9.
Exemplo 3 — Raiz e fração
Enunciado: Determine o contradomínio de (a) f(x) = √(x − 1) + 2; (b) g(x) = (2x + 1) ÷ (x − 1).
Resolução:
- (a) O domínio é [1, +∞[. Como √(x − 1) ≥ 0, tem-se f(x) ≥ 2, e o valor 2 é atingido em x = 1. Todos os valores acima de 2 são atingidos, porque a raiz toma qualquer valor não negativo.
- (b) O domínio é ℝ ∖ {1}. Escreva y = (2x + 1) ÷ (x − 1): y(x − 1) = 2x + 1, logo yx − y = 2x + 1, então x(y − 2) = y + 1 e x = (y + 1) ÷ (y − 2).
- Esta expressão só existe se y ≠ 2. Para qualquer outro y, o x obtido nunca é 1, porque y + 1 = y − 2 é impossível.
Resposta: (a) [2, +∞[; (b) ℝ ∖ {2}. Verificação: (a) f(1) = 2 e f(5) = 4. (b) g(0) = 1 ÷ (−1) = −1 e, para y = −1, x = 0 ÷ (−3) = 0; g(2) = 5 ÷ 1 = 5 e, para y = 5, x = 6 ÷ 3 = 2.
Exemplo 4 — Nível de exame: parábola num domínio limitado
Enunciado: Determine o contradomínio de f(x) = x2 − 2x − 3 no intervalo [0, 4].
Resolução:
- O vértice tem xv = 2 ÷ 2 = 1, que pertence a [0, 4]. f(1) = 1 − 2 − 3 = −4 é o mínimo.
- Nos extremos: f(0) = −3 e f(4) = 16 − 8 − 3 = 5.
- O máximo é o maior dos valores nos extremos: 5.
Resposta: [−4, 5]. Verificação: tabela de valores: x = 0, 1, 2, 3, 4 dá −3, −4, −3, 0, 5. Um erro comum é responder [−3, 5] por olhar só para os extremos e esquecer o vértice.
Erros frequentes
- Olhar só para os extremos do domínio numa função que não é monótona. Em x2 no intervalo [−2, 3], os extremos dão 4 e 9, mas o mínimo é f(0) = 0.
- Confundir domínio com contradomínio. Um é o conjunto dos x, o outro o dos y.
- Responder ℝ a uma parábola. Uma função quadrática tem sempre um mínimo ou um máximo.
- Errar o vértice: xv = −b ÷ (2a). Com b = −4 e a = 1, xv = +2, não −2.
- Esquecer exclusões nas funções racionais: na fração (2x + 1) ÷ (x − 1), o valor 2 nunca é atingido.
- Ignorar o domínio restrito: o mesmo f pode ter contradomínios diferentes consoante o domínio.
- Esquecer a constante somada ou subtraída: o contradomínio de √x − 1 é [−1, +∞[.
- Usar intervalos mal fechados: o infinito nunca é incluído.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine o contradomínio de f(x) = 3x + 5 em ℝ e de g(x) = 7 em ℝ.
Ver solução
A função f é afim não constante, logo o contradomínio é ℝ (para qualquer y, x = (y − 5) ÷ 3). A função g é constante: só toma o valor 7, logo o contradomínio é {7}.
2Exercício 2
Determine o contradomínio de f(x) = x2 + 2.
Ver solução
O vértice está em x = 0 e f(0) = 2. Como a > 0, é o mínimo: [2, +∞[. Verificação: f(1) = 3 e f(−3) = 11, ambos maiores do que 2.
3Exercício 3
Determine o contradomínio de f(x) = −x2 + 4x − 1.
Ver dica
Calcule xv = −b ÷ (2a) e depois f(xv).
Ver solução
xv = −4 ÷ (−2) = 2 e f(2) = −4 + 8 − 1 = 3. Como a < 0, é o máximo: ]−∞, 3]. Verificação: f(0) = −1 e f(4) = −16 + 16 − 1 = −1, ambos menores do que 3.
4Exercício 4
Determine o contradomínio de f(x) = √(x + 3) − 1.
Ver solução
O domínio é [−3, +∞[. A raiz toma todos os valores não negativos, com mínimo 0 em x = −3, logo f(x) ≥ −1. Contradomínio: [−1, +∞[. Verificação: f(−3) = −1 e f(1) = √4 − 1 = 1.
5Exercício 5
Determine o contradomínio de f(x) = x2 − 6x + 5 no intervalo [0, 4].
Ver dica
O vértice pertence ao intervalo? Compare com os valores nos extremos.
Ver solução
xv = 6 ÷ 2 = 3, que está em [0, 4], e f(3) = 9 − 18 + 5 = −4 (mínimo). Nos extremos: f(0) = 5 e f(4) = 16 − 24 + 5 = −3. O máximo é 5. Contradomínio: [−4, 5]. Verificação: x = 0, 1, 2, 3, 4 dá 5, 0, −3, −4, −3.
Perguntas frequentes
Contradomínio é o mesmo que conjunto de chegada?
Depende do manual. Em muitos manuais o contradomínio é o conjunto das imagens; noutros, é o conjunto de chegada, e as imagens formam o «conjunto-imagem». Em caso de dúvida, confirme a definição no manual da sua classe.
Como se lê o contradomínio num gráfico?
Projete o gráfico no eixo dos yy: o contradomínio é o conjunto de alturas que o gráfico alcança. O ponto mais baixo e o mais alto (se existirem) dão os extremos do intervalo.
Como sei se um valor pertence ao contradomínio?
Resolva f(x) = y e veja se há solução no domínio. Em f(x) = x2 − 4x + 1, o valor 10 dá x2 − 4x − 9 = 0, com Δ = 52 > 0, por isso existe; o valor −5 dá x2 − 4x + 6 = 0, com Δ = 16 − 24 < 0, por isso não pertence, o que concorda com [−3, +∞[.
Existe um método mais rápido?
Para retas e parábolas, o vértice e o declive resolvem quase tudo sem cálculos longos. Para frações e raízes, o método da equação (isolar x em y = f(x)) é o mais seguro.
Resumo
- O contradomínio é o conjunto dos valores que a função efetivamente toma.
- Reta não constante em ℝ: ℝ; parábola: parte do vértice, para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
- Em domínios limitados, compare o vértice com os valores nos extremos.
- Para frações e raízes, use o método da equação: isole x em y = f(x) e veja que valores de y são possíveis.
- Convenções diferem: confirme se o seu manual chama «contradomínio» ao conjunto de chegada ou ao conjunto das imagens.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre funções, na parte de domínio e imagem (range).
Continue a estudar
Como determinar o domínio de uma função?
O domínio de uma função é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão tem sentido. Passos: procure os pontos «perigosos» (denominador, raiz quadrada…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como determinar os zeros de uma função?
Os zeros de uma função f são os valores de x do domínio para os quais f(x) = 0; no gráfico, são as abcissas dos pontos onde a curva corta o eixo dos xx. Para os achar…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
O que é uma função?
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que faz corresponder a cada elemento do primeiro (o domínio) um só elemento do segundo. Escreve-se y = f(x): x é a…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como ler informação em gráficos de funções?
Para ler o gráfico de uma função: confirme os eixos e a escala; leia o domínio na extensão horizontal e o contradomínio na vertical; marque os zeros (cortes com o eixo…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado