Matemática · 8.ª–12.ª classe
Como determinar os zeros de uma função?
Resposta curta
Os zeros de uma função f são os valores de x do domínio para os quais f(x) = 0; no gráfico, são as abcissas dos pontos onde a curva corta o eixo dos xx. Para os achar: determine o domínio, resolva a equação f(x) = 0, rejeite as soluções que não pertencem ao domínio e verifique cada zero substituindo-o na função.
O que são os zeros de uma função
Um zero (ou raiz) de f é um número a tal que f(a) = 0. Geometricamente, o ponto (a; 0) pertence ao gráfico, isto é, o gráfico toca ou corta o eixo Ox. Uma função pode ter nenhum, um, vários ou infinitos zeros.
Não confunda duas coisas diferentes:
| Conceito | O que é | Como se calcula |
|---|---|---|
| Zero de f | valor de x em que f(x) = 0 | resolve-se a equação f(x) = 0 |
| Ordenada na origem | valor de f em x = 0 (onde o gráfico corta Oy) | calcula-se f(0) |
Por exemplo, em f(x) = 2x − 6, o zero é x = 3 (porque f(3) = 0), mas a ordenada na origem é −6 (porque f(0) = −6).
Como resolver f(x) = 0 consoante o tipo
| Tipo de função | Como resolver f(x) = 0 |
|---|---|
| Afim ax + b | isole x: x = −b ÷ a |
| Quadrática | fatorização, soma e produto, ou fórmula resolvente; Δ < 0 significa sem zeros |
| Produto de fatores | lei do anulamento do produto: cada fator igual a zero |
| Fração A ÷ B | numerador igual a zero e denominador diferente de zero |
| Com raiz quadrada | isolar a raiz, elevar ao quadrado e verificar as soluções |
Método passo a passo
- Determine o domínio da função (denominadores, raízes, logaritmos).
- Escreva a equação f(x) = 0.
- Resolva-a com a técnica adequada: isolar x, fatorizar (pondo em evidência ou com produtos notáveis), fórmula resolvente.
- Rejeite as soluções que não pertencem ao domínio e as soluções «falsas» que surgem ao elevar ao quadrado.
- Verifique substituindo cada zero em f: o resultado tem de ser 0.
- Escreva a resposta como «os zeros de f são …» ou como pontos (a; 0), se o enunciado pedir as interseções com o eixo Ox.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Função afim
Enunciado: Determine o zero de f(x) = 3x − 12 e a ordenada na origem.
Resolução:
- O domínio é ℝ.
- 3x − 12 = 0 dá 3x = 12 e x = 4.
- A ordenada na origem é f(0) = −12.
Resposta: o zero é x = 4 (ponto (4; 0)) e a ordenada na origem é −12. Verificação: f(4) = 12 − 12 = 0.
Exemplo 2 — Função quadrática com e sem zeros
Enunciado: Determine os zeros de (a) f(x) = x2 − 5x + 6; (b) g(x) = x2 + 4.
Resolução:
- (a) x2 − 5x + 6 = 0 fatoriza-se em (x − 2)(x − 3) = 0, porque 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6. Logo x = 2 ou x = 3.
- (b) x2 + 4 = 0 dá x2 = −4, que é impossível em ℝ (Δ = 0 − 16 = −16 < 0).
Resposta: (a) os zeros são 2 e 3; (b) g não tem zeros (o gráfico não toca o eixo Ox). Verificação: f(2) = 4 − 10 + 6 = 0 e f(3) = 9 − 15 + 6 = 0; g(x) ≥ 4 para todo o x, logo nunca é 0.
Exemplo 3 — Nível de exame: fração e domínio
Enunciado: Determine os zeros de f(x) = (x2 − 4) ÷ (x − 2).
Resolução:
- Domínio: x − 2 ≠ 0, logo D = ℝ ∖ {2}.
- Numerador igual a zero: x2 − 4 = 0, isto é, (x − 2)(x + 2) = 0, logo x = 2 ou x = −2.
- O valor x = 2 não pertence ao domínio (anula o denominador), por isso é rejeitado.
Resposta: o único zero é x = −2. Verificação: f(−2) = (4 − 4) ÷ (−4) = 0 ÷ (−4) = 0, enquanto f(2) = 0 ÷ 0 não existe.
Exemplo 4 — Nível de exame: equação com raiz
Enunciado: Determine os zeros de f(x) = √(x + 2) − x.
Resolução:
- Domínio: x + 2 ≥ 0, logo x ≥ −2.
- f(x) = 0 dá √(x + 2) = x. Elevando ao quadrado: x + 2 = x2, isto é, x2 − x − 2 = 0, ou (x − 2)(x + 1) = 0. Logo x = 2 ou x = −1.
- Ao elevar ao quadrado podem surgir soluções falsas, por isso testam-se: f(2) = √4 − 2 = 0, certo. f(−1) = √1 − (−1) = 1 + 1 = 2, diferente de 0.
Resposta: o único zero é x = 2; x = −1 é uma solução falsa (a raiz nunca é negativa, mas −1 < 0). Verificação: f(2) = 2 − 2 = 0.
Erros frequentes
- Confundir zero com ordenada na origem. O zero resulta de f(x) = 0; a ordenada resulta de x = 0. Em f(x) = x2 − 2x − 3, a ordenada é −3, mas os zeros são −1 e 3.
- Esquecer o domínio. Em (x2 − 4) ÷ (x − 2), x = 2 anula o numerador, mas também o denominador, e por isso não é zero.
- Igualar numerador e denominador a zero em simultâneo: só o numerador se iguala a zero.
- Dividir por x e perder o zero x = 0. Em x2 − 4x = 0, escreva x(x − 4) = 0 e obtenha x = 0 ou x = 4.
- Não testar as soluções de equações com raízes. Elevar ao quadrado cria soluções falsas.
- Dizer «sem solução» a uma equação do 2.º grau com Δ ≥ 0, ou o contrário: com Δ < 0 não há zeros reais; com Δ = 0 há um zero duplo.
- Escrever pontos em vez de números (ou vice-versa): os zeros são números (x = 3), os pontos de interseção são (3; 0).
- Errar sinais ao isolar x: de 2x + 10 = 0 vem x = −5, não 5.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine o zero de f(x) = 2x + 10.
Ver solução
2x + 10 = 0 dá 2x = −10 e x = −5. Verificação: f(−5) = −10 + 10 = 0.
2Exercício 2
Determine os zeros de f(x) = x2 − 7x + 10.
Ver dica
Procure dois números com soma 7 e produto 10, ou use a fórmula resolvente.
Ver solução
Δ = 49 − 40 = 9 e x = (7 ± 3) ÷ 2, isto é, x = 5 ou x = 2. Verificação: f(5) = 25 − 35 + 10 = 0 e f(2) = 4 − 14 + 10 = 0.
3Exercício 3
Determine os zeros de f(x) = x3 − 4x.
Ver dica
Ponha x em evidência e depois use a diferença de quadrados.
Ver solução
x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2). Pela lei do anulamento do produto, x = 0, x = 2 ou x = −2. Verificação: f(2) = 8 − 8 = 0 e f(−2) = −8 + 8 = 0.
4Exercício 4
Determine os zeros de f(x) = (x2 − 1) ÷ (x + 1).
Ver solução
Domínio: x + 1 ≠ 0, logo D = ℝ ∖ {−1}. Numerador: x2 − 1 = 0, isto é, x = 1 ou x = −1. O valor −1 não pertence ao domínio. O único zero é x = 1. Verificação: f(1) = 0 ÷ 2 = 0.
5Exercício 5
A altura, em metros, de uma bola lançada para cima é h(t) = 20t − 5t2, com t em segundos. Em que instantes a altura é zero? O que significa cada um?
Ver dica
Ponha 5t em evidência.
Ver solução
20t − 5t2 = 5t(4 − t) = 0, logo t = 0 ou t = 4. O instante t = 0 é o do lançamento (a bola sai do solo) e t = 4 s é quando volta ao solo. Verificação: h(4) = 80 − 5 × 16 = 80 − 80 = 0.
Perguntas frequentes
Zero de uma função e raiz de uma equação são a mesma coisa?
Na prática sim: o zero de f é a raiz da equação f(x) = 0. A palavra «zero» refere-se à função, e «raiz» à equação, mas designam o mesmo número.
Como se leem os zeros num gráfico?
Procure os pontos onde o gráfico corta ou toca o eixo dos xx. As abcissas desses pontos são os zeros. Num gráfico só se podem ler valores aproximados; o cálculo algébrico dá o valor exato.
Uma função pode não ter zeros?
Sim. A função g(x) = x2 + 4 nunca é 0, e a função f(x) = 1 ÷ x também não, apesar de o seu gráfico se aproximar do eixo Ox. Nesses casos, o gráfico não toca o eixo.
Existe um método mais rápido?
Nas quadráticas, tente primeiro a soma e o produto das raízes ou pôr em evidência; use a fórmula resolvente quando a fatorização não for óbvia. Em qualquer caso, a verificação final é rápida e evita erros.
Resumo
- Os zeros de f são as soluções de f(x) = 0 que pertencem ao domínio.
- No gráfico, são as abcissas dos pontos de interseção com o eixo Ox.
- Não confunda zero (f(x) = 0) com ordenada na origem (f(0)).
- Nas frações, anula-se o numerador e exclui-se o que anula o denominador; nas raízes, teste as soluções.
- Verifique cada zero substituindo-o na função original.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), secções sobre equações quadráticas, polinómios e funções.
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