Como ler informação em gráficos de funções?

Enunciado: A Joana vai de casa para a escola. O gráfico da distância a casa, d (em metros), em função do tempo t (em minutos), é formado por segmentos que unem os pontos (0; 0), (10; 600), (15; 600) e (25; 1 000). Leia o domínio e o contradomínio, diga durante quanto tempo ela esteve parada, calcule a velocidade em cada fase e d(20).

Resolução:

1. Domínio: t vai de 0 a 25, logo [0, 25]. Contradomínio: d vai de 0 a 1 000, logo [0, 1 000].
2. Entre t = 10 e t = 15 o gráfico é horizontal: a distância não muda, ou seja, esteve parada 5 minutos a 600 m de casa.
3. Na primeira fase: 600 m em 10 min, isto é, 600 ÷ 10 = 60 m/min. Na última: (1 000 − 600) ÷ (25 − 15) = 400 ÷ 10 = 40 m/min.
4. Em t = 20, está no último segmento, 5 min depois de t = 15: d(20) = 600 + 5 × 40 = 800.

Resposta: domínio [0, 25]; contradomínio [0, 1 000]; parada 5 min; 60 m/min e depois 40 m/min; d(20) = 800 m. Verificação: 600 + 10 × 40 = 1 000 m em t = 25, o ponto final do gráfico.

Enunciado: O gráfico de g é a parábola que passa pelos pontos da tabela e se prolonga dos dois lados.

Leia o domínio, o contradomínio, os zeros, a ordenada na origem, o sinal, a monotonia, o extremo e as soluções de g(x) = 5.

Resolução:

1. Domínio: o gráfico prolonga-se para ambos os lados, logo ℝ.
2. O ponto mais baixo é (1; −4) e a parábola abre para cima: contradomínio [−4, +∞[, com mínimo −4 em x = 1.
3. Zeros: g(−1) = 0 e g(3) = 0. Ordenada na origem: g(0) = −3.
4. Sinal: g > 0 em ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[ e g < 0 em ]−1, 3[.
5. Monotonia: decrescente em ]−∞, 1] e crescente em [1, +∞[.
6. g(x) = 5: a horizontal y = 5 corta o gráfico em x = −2 e x = 4.

Resposta: como acima. Verificação: a tabela corresponde a g(x) = x² − 2x − 3: g(−2) = 4 + 4 − 3 = 5, g(1) = 1 − 2 − 3 = −4 e g(4) = 16 − 8 − 3 = 5.

Enunciado: Decida, pelo teste da reta vertical, se são gráficos de funções: (a) a circunferência de centro na origem e raio 5, x² + y² = 25; (b) a parábola do Exemplo 2; (c) a reta vertical x = 2.

Resolução:

1. (a) A reta vertical x = 3 corta a circunferência em (3; 4) e (3; −4), porque 9 + 16 = 25 nos dois casos. Logo x = 3 tem duas imagens.
2. (b) Cada valor de x tem um só valor de g(x), logo qualquer vertical corta a parábola uma só vez.
3. (c) A reta x = 2 é ela própria uma vertical: contém todos os pontos (2; y), e o valor x = 2 teria infinitas imagens.

Resposta: (a) não é função; (b) é função; (c) não é função. Verificação: em (a), o mesmo x = 3 dá y = 4 e y = −4, o que contradiz a definição de função (cada x tem uma só imagem).

Enunciado: O gráfico de h é formado por segmentos que unem os pontos (−3; 3), (−1; −1), (2; −1) e (4; 3). Determine o domínio, o contradomínio, os zeros, h(0), o sinal, a monotonia, os extremos e as soluções de h(x) = 1.

Resolução:

1. Domínio [−3, 4]; contradomínio [−1, 3].
2. O primeiro segmento tem declive (−1 − 3) ÷ (−1 + 3) = −2, logo h(x) = 3 − 2(x + 3) = −2x − 3. O terceiro tem declive (3 + 1) ÷ (4 − 2) = 2, logo h(x) = −1 + 2(x − 2) = 2x − 5.
3. Zeros: −2x − 3 = 0 dá x = −1,5; 2x − 5 = 0 dá x = 2,5. O segmento do meio está em y = −1, sem zeros.
4. Como 0 está no segmento horizontal, h(0) = −1.
5. Sinal: h > 0 em [−3; −1,5[ e em ]2,5; 4]; h < 0 em ]−1,5; 2,5[.
6. Monotonia: decrescente em [−3, −1], constante em [−1, 2], crescente em [2, 4].
7. Mínimo −1 (atingido em todo o [−1, 2]); máximo 3 (em x = −3 e em x = 4).
8. h(x) = 1: −2x − 3 = 1 dá x = −2; 2x − 5 = 1 dá x = 3.

Resposta: como acima. Verificação: h(−1,5) = 3 − 3 = 0, h(2,5) = 5 − 5 = 0, h(−2) = 4 − 3 = 1 e h(3) = 6 − 5 = 1.