Matemática · 8.ª–12.ª classe
Como determinar o domínio de uma função?
Resposta curta
O domínio de uma função é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão tem sentido. Passos: procure os pontos «perigosos» (denominador, raiz quadrada, logaritmo), escreva uma condição para cada um, resolva as condições e junte-as. O denominador tem de ser diferente de zero e o radicando de uma raiz quadrada não pode ser negativo. Sem restrições (polinómios), o domínio é ℝ.
O que é o domínio e quando há restrições
O domínio de f, escrito Df, é o conjunto dos números x que podem ser «metidos» na função e dar um resultado real. Quando o enunciado dá só a expressão, como f(x) = 5 ÷ (x − 2), procura-se o domínio natural: todos os x para os quais as operações são possíveis. Quando o enunciado dá um contexto (um lado de um terreno, o número de alunos), o domínio também tem de respeitar o contexto.
Só há três grandes fontes de restrição no ensino secundário: a divisão por zero, a raiz de índice par de um número negativo e o logaritmo de um número que não seja positivo.
Tabela das restrições
| Tipo de expressão | Condição sobre x | Exemplo |
|---|---|---|
| Polinómio (3x − 7, x2 + 1) | nenhuma | D = ℝ |
| Fração A ÷ B | B ≠ 0 | 5 ÷ (x − 2): x ≠ 2 |
| Raiz quadrada (ou de índice par) de A | A ≥ 0 | √(2x − 6): 2x − 6 ≥ 0 |
| Raiz de índice ímpar de A | nenhuma | ∛(x − 1): D = ℝ |
| 1 ÷ √A (raiz no denominador) | A > 0 | 1 ÷ √(4 − x): 4 − x > 0 |
| Logaritmo de A | A > 0 | log(x − 3): x − 3 > 0 |
Notação: nos manuais de Angola e Portugal, os intervalos escrevem-se com parênteses retos virados para fora quando o extremo não pertence, como em ]−∞, 4[; o símbolo ∖ lê-se «menos»: ℝ ∖ {2} é «todos os reais exceto o 2».
Método passo a passo
- Procure o que pode falhar: denominadores, raízes de índice par e logaritmos. Se não há nenhum, o domínio é ℝ.
- Escreva uma condição por cada um (denominador ≠ 0; radicando ≥ 0; argumento do logaritmo > 0; raiz no denominador: radicando > 0).
- Resolva cada condição. As de «≠» resolvem-se como equações; as de «≥» e «>» como inequações (se dividir por um número negativo, inverta o sentido).
- Junte as condições. Têm de valer todas ao mesmo tempo: faz-se a interseção.
- Escreva o domínio em intervalos ou em conjunto.
- Verifique com um valor dentro do domínio (a função calcula-se) e um valor fora (aparece uma divisão por zero ou uma raiz de negativo).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Polinómios e frações
Enunciado: Determine o domínio de (a) f(x) = 3x − 7; (b) g(x) = 5 ÷ (x − 2); (c) h(x) = (x + 1) ÷ (x2 − 9).
Resolução:
- (a) É um polinómio, sem restrições: Df = ℝ.
- (b) Condição: x − 2 ≠ 0, logo x ≠ 2. Dg = ℝ ∖ {2}.
- (c) Condição: x2 − 9 ≠ 0. Como x2 − 9 = (x − 3)(x + 3), é preciso x ≠ 3 e x ≠ −3. Dh = ℝ ∖ {−3, 3}.
Resposta: Df = ℝ; Dg = ℝ ∖ {2}; Dh = ℝ ∖ {−3, 3}. Verificação: g(2) = 5 ÷ 0 e h(3) = 4 ÷ 0 são impossíveis; já h(0) = 1 ÷ (−9) existe.
Exemplo 2 — Raízes quadradas
Enunciado: Determine o domínio de (a) f(x) = √(2x − 6); (b) g(x) = √(x2 − 4).
Resolução:
- (a) Condição: 2x − 6 ≥ 0, logo 2x ≥ 6 e x ≥ 3. Df = [3, +∞[.
- (b) Condição: x2 − 4 ≥ 0, isto é, (x − 2)(x + 2) ≥ 0. A expressão x2 − 4 é uma parábola virada para cima com zeros em −2 e 2: é positiva fora dos zeros e negativa entre eles. Logo x ≤ −2 ou x ≥ 2.
Resposta: Df = [3, +∞[; Dg = ]−∞, −2] ∪ [2, +∞[. Verificação: f(3) = √0 = 0 e f(2) = √(−2) não existe; g(3) = √5 e g(−3) = √5 existem, mas g(0) = √(−4) não existe.
Exemplo 3 — Nível de exame: várias condições em simultâneo
Enunciado: Determine o domínio de (a) f(x) = √(x − 1) ÷ (x2 − 5x + 6); (b) g(x) = 1 ÷ √(4 − x).
Resolução:
- (a) Duas condições: x − 1 ≥ 0, logo x ≥ 1; e x2 − 5x + 6 ≠ 0. Como x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), é preciso x ≠ 2 e x ≠ 3.
- Juntando: x ≥ 1, retirando o 2 e o 3.
- (b) A raiz está no denominador, por isso o radicando tem de ser estritamente positivo: 4 − x > 0, logo −x > −4 e, invertendo o sentido, x < 4.
Resposta: Df = [1, +∞[ ∖ {2, 3}; Dg = ]−∞, 4[. Verificação: f(1) = 0 ÷ 2 = 0 existe, f(2) = 1 ÷ 0 não existe e f(4) = √3 ÷ 2 existe; g(0) = 1 ÷ 2 existe, g(4) = 1 ÷ 0 e g(5) = 1 ÷ √(−1) não existem.
Exemplo 4 — Domínio dado pelo contexto
Enunciado: Um terreno retangular tem 20 m de perímetro. Se um lado mede x, a área é A(x) = x(10 − x). Qual é o domínio de A neste problema?
Resolução:
- O outro lado mede 10 − x (porque os dois lados somam metade do perímetro).
- Os lados têm de ser positivos: x > 0 e 10 − x > 0, isto é, x < 10.
- Juntando: 0 < x < 10.
Resposta: DA = ]0, 10[. A expressão x(10 − x) tem sentido para qualquer real, mas só estes valores correspondem a um terreno possível. Verificação: com x = 5, o terreno é um quadrado de 5 m e a área é 25 m2; com x = 10, o outro lado seria 0 e não haveria terreno.
Erros frequentes
- Simplificar antes de calcular o domínio. Em (x2 − 4) ÷ (x − 2), simplificar dá x + 2, mas o domínio continua a ser ℝ ∖ {2}, porque a função original não está definida em 2.
- Usar «>» em vez de «≥» na raiz quadrada no numerador (√0 existe), ou «≥» em vez de «>» quando a raiz está no denominador (1 ÷ √0 não existe).
- Não inverter a desigualdade ao dividir ou multiplicar por um número negativo: de 5 − x ≥ 0 obtém-se x ≤ 5, e não x ≥ 5.
- Retirar só uma raiz do denominador: em x2 − 9 ≠ 0 há duas exclusões, 3 e −3.
- Trocar «e» por «ou» quando há várias condições: o domínio é a interseção, não a reunião.
- Confundir domínio com contradomínio: o domínio é o conjunto dos x; os valores de f(x) formam outro conjunto.
- Ignorar o contexto: se x é um comprimento ou um número de pessoas, o domínio tem de respeitar isso.
- Esquecer a notação: escrever «D = x ≠ 2» em vez de D = ℝ ∖ {2}.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine o domínio de f(x) = (x + 4) ÷ (2x − 10).
Ver solução
Condição: 2x − 10 ≠ 0, logo 2x ≠ 10 e x ≠ 5. D = ℝ ∖ {5}. Verificação: f(5) = 9 ÷ 0 é impossível e f(0) = 4 ÷ (−10) existe.
2Exercício 2
Determine o domínio de g(x) = √(5 − x).
Ver dica
O radicando não pode ser negativo; atenção ao sinal ao isolar x.
Ver solução
Condição: 5 − x ≥ 0, logo −x ≥ −5 e, invertendo o sentido, x ≤ 5. D = ]−∞, 5]. Verificação: g(5) = 0, g(1) = 2 e g(6) = √(−1) não existe.
3Exercício 3
Determine o domínio de h(x) = √(x − 2) + 3 ÷ (x − 4).
Ver solução
Duas condições: x − 2 ≥ 0, logo x ≥ 2; e x − 4 ≠ 0, logo x ≠ 4. D = [2, +∞[ ∖ {4}. Verificação: h(2) = 0 + 3 ÷ (−2) = −1,5 existe; h(4) tem divisão por zero.
4Exercício 4
Determine o domínio de f(x) = (x2 − 9) ÷ (x − 3). A função é igual a g(x) = x + 3?
Ver dica
Calcule o domínio na expressão original, antes de simplificar.
Ver solução
Condição: x − 3 ≠ 0, logo Df = ℝ ∖ {3}. Para x ≠ 3, f(x) = (x − 3)(x + 3) ÷ (x − 3) = x + 3, mas g(x) = x + 3 tem domínio ℝ. Como os domínios são diferentes, as funções não são iguais: g(3) = 6, mas f(3) não existe.
5Exercício 5
Determine o domínio de f(x) = √(x2 − 5x + 6).
Ver dica
Fatorize o radicando e estude o sinal da parábola.
Ver solução
Condição: x2 − 5x + 6 ≥ 0, isto é, (x − 2)(x − 3) ≥ 0. A parábola é virada para cima e tem zeros em 2 e 3, logo é positiva ou nula fora do intervalo ]2, 3[. D = ]−∞, 2] ∪ [3, +∞[. Verificação: x = 0 dá 6 ≥ 0 (existe); x = 2,5 dá 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 (não existe); x = 4 dá 2 ≥ 0 (existe).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre o domínio natural e o domínio do contexto?
O domínio natural só olha para a expressão: tudo o que não dá divisão por zero, raiz de negativo, etc. O domínio do contexto acrescenta as limitações do problema (comprimentos positivos, quantidades inteiras). Quando o enunciado descreve uma situação real, use o do contexto.
E se a função tiver logaritmos?
Se o seu programa já inclui logaritmos, a regra é que o argumento seja positivo. Por exemplo, em g(x) = log(x − 3) exige-se x − 3 > 0, logo x > 3 e D = ]3, +∞[.
Como se vê o domínio num gráfico?
Olhe para a «sombra» do gráfico no eixo dos xx: o domínio é o conjunto dos valores de x onde existe gráfico. Uma bolinha cheia numa extremidade inclui esse valor; uma bolinha vazia exclui-o.
Existe um método mais rápido?
Basta decorar as três regras (denominador ≠ 0, radicando de raiz par ≥ 0, argumento do logaritmo > 0) e aplicá-las por ordem. A rapidez vem de resolver bem as inequações, sobretudo as quadráticas.
Resumo
- O domínio é o conjunto dos x para os quais a expressão faz sentido; sem restrições, é ℝ.
- Denominador ≠ 0; radicando de raiz de índice par ≥ 0; com a raiz no denominador, radicando > 0; logaritmo: argumento > 0.
- Todas as condições valem ao mesmo tempo: faça a interseção.
- Calcule sempre o domínio na expressão original, antes de simplificar.
- Em problemas com contexto, acrescente as condições do contexto e escreva o resultado em intervalos.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre funções e os seus gráficos, na parte do domínio e da imagem.
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