Matemática · 8.ª–12.ª classe
O que é uma função?
Resposta curta
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que faz corresponder a cada elemento do primeiro (o domínio) um só elemento do segundo. Escreve-se y = f(x): x é a variável independente e y a variável dependente. Se algum valor de x tiver duas imagens, ou nenhuma, não é função.
Definição e características
Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma regra que associa a cada x de A exatamente um y de B. Escreve-se f: A → B e y = f(x), lê-se «f de x».
Vocabulário essencial
- Domínio: o conjunto dos valores que x pode tomar.
- Conjunto de chegada: o conjunto onde os valores y são escolhidos.
- Imagem de x: o valor f(x) associado a x. O conjunto de todas as imagens chama-se conjunto-imagem. Atenção: alguns manuais chamam «contradomínio» ao conjunto de chegada e outros ao conjunto-imagem; confirme a convenção do seu manual.
- Objeto: o valor de x cuja imagem se calcula.
- Variável independente (x) e variável dependente (y, que depende de x).
- Zero da função: o valor de x para o qual f(x) = 0.
As quatro formas de representar uma função
| Forma | Exemplo |
|---|---|
| Expressão analítica (fórmula) | f(x) = 2x + 3 |
| Tabela de valores | x: 1, 2, 3 e y: 5, 7, 9 |
| Gráfico | pontos (x, y) num referencial cartesiano |
| Diagrama de setas | setas dos elementos de A para os de B |
Como reconhecer se é função
- Em pares ordenados ou diagramas: cada objeto tem uma e uma só imagem. Dois objetos diferentes podem ter a mesma imagem; o contrário (um objeto com duas imagens) é que não pode.
- No gráfico: qualquer reta vertical traçada no domínio corta o gráfico no máximo num ponto.
Exemplos do quotidiano
A preço fixo, o valor a pagar por tecido depende dos metros comprados; a distância percorrida por um candongueiro a velocidade constante depende do tempo; a conta de água pode depender do consumo. Em todos estes casos, a uma quantidade corresponde um único valor, que é exatamente a ideia de função.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Uma função num contexto real
Enunciado: Num serviço fictício de táxi, paga-se 1 000 Kz de bandeirada mais 200 Kz por quilómetro, ou seja, C(x) = 1 000 + 200x, com x em km. Calcule C(0), C(5) e o número de km para um custo de 3 400 Kz.
Resolução:
- C(0) = 1 000 + 200 × 0 = 1 000.
- C(5) = 1 000 + 200 × 5 = 2 000.
- 1 000 + 200x = 3 400 → 200x = 2 400 → x = 12.
Resposta: C(0) = 1 000 Kz, C(5) = 2 000 Kz e o percurso é de 12 km. Verificação: 1 000 + 200 × 12 = 3 400.
Exemplo 2 — Será função?
Enunciado: Seja A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}. Diga se cada correspondência é função de A em B: (I) 1→a, 2→a, 3→c; (II) 1→a, 1→b, 2→c, 3→c; (III) 1→a, 2→b.
Resolução:
- (I) Cada elemento de A tem exatamente uma imagem (1 e 2 partilham a imagem a, o que é permitido): é função.
- (II) O elemento 1 tem duas imagens, a e b: não é função.
- (III) O elemento 3 de A não tem imagem: não é função de A em B.
Resposta: só (I) é função. Verificação: em (I) contam-se 3 setas, uma por cada elemento de A.
Exemplo 3 — Calcular imagens e objetos
Enunciado: Seja f(x) = x2 − 3. Calcule f(2), f(−2), f(0) e os valores de x tais que f(x) = 6.
Resolução:
- f(2) = 4 − 3 = 1.
- f(−2) = (−2)2 − 3 = 4 − 3 = 1.
- f(0) = −3.
- x2 − 3 = 6 → x2 = 9 → x = 3 ou x = −3.
Resposta: f(2) = f(−2) = 1, f(0) = −3 e os objetos de imagem 6 são 3 e −3. Verificação: f(3) = 9 − 3 = 6 e f(−3) = 6. Note-se que dois objetos distintos podem ter a mesma imagem.
Exemplo 4 — Nível de exame: domínio
Enunciado: Determine o domínio de g(x) = √(x − 2) e de h(x) = 1/(x − 3), no conjunto dos números reais, e calcule g(6) e h(5).
Resolução:
- A raiz quadrada exige radicando maior ou igual a zero: x − 2 ≥ 0, logo x ≥ 2.
- A divisão exige denominador diferente de zero: x − 3 ≠ 0, logo x ≠ 3.
- g(6) = √4 = 2 e h(5) = 1/2.
Resposta: domínio de g: x ≥ 2; domínio de h: todos os reais exceto 3; g(6) = 2 e h(5) = 1/2. Verificação: 6 ≥ 2 e 5 ≠ 3, logo os dois valores pertencem aos domínios.
Erros frequentes
- Confundir função com equação. Uma equação procura valores de x; uma função é a regra que associa x a y.
- Pensar que dois objetos não podem ter a mesma imagem. Podem (f(2) = f(−2) = 1); o que não pode é um objeto ter duas imagens.
- Esquecer o domínio e aceitar valores proibidos, como x = 3 em 1/(x − 3).
- Ler f(x) como «f vezes x». f(x) é o valor da função em x, não um produto.
- Achar que todo o gráfico é função. Uma circunferência não é gráfico de função, porque uma reta vertical a pode cortar em dois pontos.
- Trocar objeto com imagem ao ler uma tabela: x é o objeto, y é a imagem.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Seja f(x) = 3x − 4. Calcule f(0), f(2) e f(−1).
Ver solução
f(0) = −4; f(2) = 6 − 4 = 2; f(−1) = −3 − 4 = −7. Resultados: −4, 2 e −7.
2Exercício 2
A tabela dá x = 1, 2, 3, 4 e y = 5, 7, 9, 11. Encontre uma expressão para y e calcule o valor para x = 10.
Ver dica
Veja quanto aumenta y quando x aumenta uma unidade.
Ver solução
y aumenta 2 por cada aumento de 1 em x, e para x = 1 vale 5; logo y = 2x + 3. Teste: 2 × 4 + 3 = 11. Para x = 10, y = 23.
3Exercício 3
Diga se são funções: (a) {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}; (b) {(2, 1), (2, 3), (4, 5)}.
Ver solução
(a) É função (função constante): cada objeto, 1, 2 e 3, tem uma só imagem, 2. (b) Não é função: o objeto 2 tem duas imagens, 1 e 3.
4Exercício 4
Determine o domínio de f(x) = √(5 − x) e de g(x) = 1/(x + 4).
Ver solução
Para f: 5 − x ≥ 0, logo x ≤ 5. Para g: x + 4 ≠ 0, logo x ≠ −4.
5Exercício 5
Um metro de tecido custa 800 Kz, e o preço de x metros é P(x) = 800x. Calcule P(2,5) e quantos metros se compram com 6 000 Kz.
Ver solução
P(2,5) = 800 × 2,5 = 2 000 Kz. 800x = 6 000 → x = 6 000 ÷ 800 = 7,5 metros. Verificação: 800 × 7,5 = 6 000.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre função e relação?
Uma relação pode associar a um objeto vários valores; uma função associa a cada objeto do domínio um único valor. Toda a função é uma relação, mas nem toda a relação é função.
Como se lê e escreve f(x)?
Lê-se «f de x» e representa a imagem de x pela função f. Se f(x) = 2x + 3, então f(5) = 2 × 5 + 3 = 13.
Para que servem as funções na prática?
Servem para descrever como uma grandeza depende de outra: o custo de uma viagem em função da distância, a altura de uma planta em função do tempo, o preço total em função da quantidade comprada. Permitem prever valores e comparar situações.
Domínio e conjunto-imagem são a mesma coisa?
Não. O domínio contém os objetos (valores de x permitidos); o conjunto-imagem contém os valores y que efetivamente aparecem. Em f(x) = x2, o domínio é R mas as imagens são só números maiores ou iguais a 0.
Resumo
- Função: a cada elemento do domínio corresponde um só valor.
- Notação y = f(x), com x variável independente e y dependente.
- Representa-se por fórmula, tabela, gráfico ou diagrama de setas.
- Dois objetos podem ter a mesma imagem; um objeto não pode ter duas.
- Raízes pedem radicando maior ou igual a zero e frações pedem denominador não nulo.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre funções e os seus gráficos.
Continue a estudar
Como determinar o domínio de uma função?
O domínio de uma função é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão tem sentido. Passos: procure os pontos «perigosos» (denominador, raiz quadrada…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular o contradomínio de uma função?
O contradomínio (ou conjunto-imagem) de f é o conjunto de todos os valores que f(x) toma quando x percorre o domínio. Para o calcular: determine o domínio, identifique…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como determinar os zeros de uma função?
Os zeros de uma função f são os valores de x do domínio para os quais f(x) = 0; no gráfico, são as abcissas dos pontos onde a curva corta o eixo dos xx. Para os achar…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como ler informação em gráficos de funções?
Para ler o gráfico de uma função: confirme os eixos e a escala; leia o domínio na extensão horizontal e o contradomínio na vertical; marque os zeros (cortes com o eixo…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado