Matemática · 6.ª–9.ª classe

Como multiplicar potências com a mesma base?

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Resposta curta

Para multiplicar potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes: am × an = a(m+n). Por exemplo, 52 × 53 = 55 = 3 125. A regra só se aplica quando as bases são iguais; se forem diferentes, calcula-se cada potência separadamente.

Quando se aplica

Use esta regra quando o cálculo é um produto (sinal de ×) de potências que têm exatamente a mesma base, seja um número (5, 10, −3) ou uma letra (x, a). Os expoentes podem ser diferentes.

Produto de potências com a mesma base

am × an = a(m+n)

Porque é que se somam os expoentes

O expoente conta quantos fatores iguais à base existem. Em 52 × 53 tem-se (5 × 5) × (5 × 5 × 5), ou seja, 2 + 3 = 5 fatores iguais a 5. Por isso o resultado é 55. A regra é só uma forma de contar fatores sem os escrever todos.

Como saber se pode aplicar

ExpressãoSituaçãoResultado
23 × 25mesma base (2), produto28 = 256
23 × 35bases diferentesnão se junta: 8 × 243 = 1 944
23 + 25soma, não produtonão se junta: 8 + 32 = 40

Método passo a passo

  1. Verifique que é um produto e que as bases são iguais (inclusive no sinal).
  2. Escreva o expoente 1 onde não aparece nenhum: a = a1.
  3. Mantenha a base e some os expoentes.
  4. Calcule o valor, se for pedido, ou deixe na forma de potência.
  5. Confirme desenvolvendo as potências num caso pequeno, ou calculando cada uma e multiplicando.

Quando as bases parecem diferentes

Por vezes é possível escrever uma das bases como potência da outra: 4 = 22, 8 = 23, 9 = 32, 25 = 52, 100 = 102. Faça essa troca primeiro e só depois some os expoentes.

Com letras

Nos monómios multiplicam-se os coeficientes e, para cada letra, somam-se os expoentes: 3x2 × 4x3 = 12x5.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Mesma base, números naturais

Enunciado: Escreva 52 × 53 como uma só potência e calcule o valor.

Resolução:

  1. As bases são iguais (5), por isso somam-se os expoentes: 2 + 3 = 5.
  2. Fica 55.
  3. 55 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3 125.

Resposta: 55 = 3 125. Verificação: 52 = 25, 53 = 125 e 25 × 125 = 3 125.

Exemplo 2 — Três fatores e expoente 1

Enunciado: Calcule 104 × 102 × 10.

Resolução:

  1. O último fator tem expoente 1 escondido: 10 = 101.
  2. Somam-se os três expoentes: 4 + 2 + 1 = 7.
  3. 107 é o 1 seguido de sete zeros.

Resposta: 107 = 10 000 000. Verificação: 10 000 × 100 = 1 000 000 e 1 000 000 × 10 = 10 000 000.

Exemplo 3 — Base negativa

Enunciado: Calcule (−3)2 × (−3)3.

Resolução:

  1. A base é a mesma, (−3), incluindo o sinal. Somam-se os expoentes: 2 + 3 = 5.
  2. Fica (−3)5.
  3. Expoente ímpar com base negativa dá resultado negativo: 35 = 243, logo (−3)5 = −243.

Resposta: (−3)5 = −243. Verificação: (−3)2 = 9, (−3)3 = −27 e 9 × (−27) = −243.

Exemplo 4 — Nível de exame: reduzir à mesma base

Enunciado: Calcule 42 × 23, escrevendo tudo com base 2, e simplifique 3a2 × 4a3.

Resolução:

  1. Como 4 = 22, tem-se 42 = (22)2 = 24 (a potência de uma potência multiplica os expoentes).
  2. Agora a base é comum: 24 × 23 = 2(4+3) = 27 = 128.
  3. Para 3a2 × 4a3: coeficientes 3 × 4 = 12; letra a, expoentes 2 + 3 = 5. Fica 12a5.

Resposta: 42 × 23 = 128 e 3a2 × 4a3 = 12a5. Verificação: 42 = 16, 23 = 8 e 16 × 8 = 128.

Erros frequentes

  • Multiplicar os expoentes em vez de os somar. 52 × 53 é 55 = 3 125, e não 56 = 15 625. Multiplicam-se os expoentes só quando se eleva uma potência a outra potência.
  • Multiplicar também as bases. 32 × 33 não é 95; a base mantém-se (3) e o resultado é 35 = 243.
  • Aplicar a regra a bases diferentes. 23 × 32 não dá 65; calcula-se 8 × 9 = 72.
  • Esquecer o expoente 1. a × a3 = a4, e não a3. Escreva a1 para não se enganar.
  • Aplicar a regra a somas. 23 + 24 não é 27; é 8 + 16 = 24.
  • Perder o sinal da base negativa. (−2)2 × (−2)3 = (−2)5 = −32, e não +32.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Escreva 24 × 23 como uma só potência e calcule.

Ver solução

Mesma base: 4 + 3 = 7, logo 27 = 128. Verificação: 16 × 8 = 128.

2Exercício 2

Calcule 73 × 7.

Ver dica

Escreva 7 como 71.

Ver solução

73 × 71 = 74 = 2 401. Verificação: 73 = 343 e 343 × 7 = 2 401.

3Exercício 3

Simplifique a3 × a6 e 2a2 × 5a4.

Ver solução

a3 × a6 = a(3+6) = a9. 2a2 × 5a4: coeficientes 2 × 5 = 10; letra a, 2 + 4 = 6. Resultado: 10a6.

4Exercício 4

Calcule (−2)3 × (−2)4.

Ver dica

Some os expoentes e depois decida o sinal pelo expoente final.

Ver solução

(−2)3 × (−2)4 = (−2)7. Com expoente ímpar a base negativa dá resultado negativo, e 27 = 128, logo o valor é −128. Verificação: (−8) × 16 = −128.

5Exercício 5

Escreva 27 × 34 como uma potência de base 3 e calcule o valor.

Ver dica

Quantas vezes é preciso multiplicar 3 por si próprio para obter 27?

Ver solução

27 = 3 × 3 × 3 = 33. Então 33 × 34 = 37 = 2 187. Verificação: 27 × 81 = 2 187.

Perguntas frequentes

Posso aplicar esta regra com expoentes negativos?

Sim, a regra mantém-se, desde que a base não seja zero: 25 × 2−2 = 23 = 8. Verifique no seu programa se os expoentes negativos já fazem parte da sua classe.

O que fazer se as bases forem 4 e 2?

Escreva 4 como 22 e só depois some os expoentes. Assim, 43 × 25 passa a (22)3 × 25 = 26 × 25 = 211 = 2 048.

A regra serve para 103 × 104?

Sim, é um caso muito usado: dá 107, ou seja, 10 000 000. Em notação científica, somar os expoentes de base 10 é o que se faz ao multiplicar números muito grandes.

Como posso conferir sem calculadora?

Escolha uma base pequena e expoentes pequenos e desenvolva à mão: 22 × 23 = 4 × 8 = 32 = 25. Se a regra funciona nesse caso, o raciocínio dos expoentes está certo.

Resumo

  • am × an = a(m+n): mantém-se a base e somam-se os expoentes.
  • A regra só se aplica a produtos de potências com a mesma base.
  • O expoente conta fatores iguais; por isso se somam (e não se multiplicam) os expoentes.
  • Quando não aparece expoente, vale 1; quando as bases são potências uma da outra, reduza à mesma base primeiro.
  • Com letras, multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes de cada letra.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A secção sobre propriedades dos expoentes do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
  • Os exercícios sobre produto de potências da Khan Academy, disponíveis em português.

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