Matemática · 6.ª–9.ª classe

Como calcular potências de base 10?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Uma potência de base 10 é o número 1 seguido de tantos zeros quantos indica o expoente: 103 = 1 000 e 106 = 1 000 000. Com expoente 0 vale 1; com expoente negativo dá um decimal, 10−2 = 0,01. Multiplicar um número por 10n desloca a vírgula n casas para a direita.

O que são e para que servem

A base 10 é a mais importante da Matemática escolar, porque o nosso sistema de numeração é decimal: cada casa vale dez vezes a casa da direita. As potências de 10 servem para escrever números muito grandes ou muito pequenos de forma curta, para converter unidades (km, m, cm, mm) e para a notação científica.

Tabela das potências de 10

PotênciaValorComo se lê
1001um
10110dez
102100cem
1031 000mil
10410 000dez mil
105100 000cem mil
1061 000 000um milhão
10−10,1um décimo
10−20,01um centésimo
10−30,001um milésimo

O padrão é claro: no expoente positivo n, o número tem n zeros. No expoente negativo −n, o número decimal tem n casas depois da vírgula, a última das quais é o algarismo 1.

Método passo a passo

  1. Olhe para o expoente e veja o sinal.
  2. Expoente positivo n: escreva 1 e junte n zeros à direita.
  3. Expoente zero: o valor é 1.
  4. Expoente negativo −n: escreva 0, vírgula, n − 1 zeros e depois o 1. É o inverso de 10n: 10−n = 1 ÷ 10n.
  5. Para multiplicar um número por 10n, desloque a vírgula n casas para a direita (n positivo) ou para a esquerda (n negativo), juntando zeros se for preciso.
  6. Para operar com várias potências de 10, use as propriedades: 10m × 10n = 10(m+n) e 10m ÷ 10n = 10(m−n).

Ligação à notação científica

Um número escreve-se em notação científica como um valor entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10. Por exemplo, 4 500 000 = 4,5 × 106 (a vírgula anda seis casas) e 0,00032 = 3,2 × 10−4 (a vírgula anda quatro casas para a direita, por isso o expoente é negativo).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Calcular o valor

Enunciado: Escreva por extenso 104, 100 e 10−3.

Resolução:

  1. 104: o expoente é 4, por isso o 1 leva quatro zeros: 10 000.
  2. 100: qualquer base diferente de zero com expoente 0 vale 1.
  3. 10−3: expoente negativo, 1 ÷ 103 = 1 ÷ 1 000 = 0,001.

Resposta: 10 000, 1 e 0,001. Verificação: 10 000 × 0,001 = 10 e 104 × 10−3 = 101 = 10.

Exemplo 2 — Multiplicar por uma potência de 10

Enunciado: Calcule (a) 4,25 × 103; (b) 72 × 10−2; (c) 5 × 10−3.

Resolução:

  1. (a) Expoente positivo 3: a vírgula anda três casas para a direita. 4,25 tem duas casas decimais, por isso junta-se um zero: 4 250.
  2. (b) Expoente −2: a vírgula anda duas casas para a esquerda. 72, passa a 0,72.
  3. (c) Expoente −3: a vírgula anda três casas para a esquerda. 5, passa a 0,005.

Resposta: (a) 4 250; (b) 0,72; (c) 0,005. Verificação: 4 250 ÷ 1 000 = 4,25; 0,72 × 100 = 72; 0,005 × 1 000 = 5.

Exemplo 3 — Produto e quociente

Enunciado: Escreva como uma só potência de 10 e calcule: (a) 100 000 × 1 000; (b) 107 ÷ 109.

Resolução:

  1. (a) 100 000 = 105 e 1 000 = 103. Somam-se os expoentes: 5 + 3 = 8, logo 108.
  2. (b) Subtraem-se os expoentes: 7 − 9 = −2, logo 10−2 = 0,01.

Resposta: (a) 108 = 100 000 000; (b) 10−2 = 0,01. Verificação: (b) 10 000 000 ÷ 1 000 000 000 = 1/100 = 0,01.

Exemplo 4 — Nível de exame: unidades e notação científica

Enunciado: (a) Sabendo que 1 km = 103 m e 1 m = 102 cm, quantos centímetros tem 2,5 km? (b) Escreva 4 500 000 e 0,00032 em notação científica.

Resolução:

  1. (a) 1 km = 103 × 102 cm = 105 cm. Então 2,5 km = 2,5 × 105 cm; a vírgula anda cinco casas para a direita, juntando quatro zeros: 250 000.
  2. (b) 4 500 000 = 4,5 × 106, porque a vírgula anda seis casas para a esquerda. 0,00032 = 3,2 × 10−4, porque a vírgula anda quatro casas para a direita.

Resposta: (a) 250 000 cm; (b) 4,5 × 106 e 3,2 × 10−4. Verificação: (a) 2,5 km = 2 500 m e 2 500 × 100 = 250 000 cm. (b) 4,5 × 1 000 000 = 4 500 000 e 3,2 × 0,0001 = 0,00032.

Erros frequentes

  • Contar mal os zeros. 104 tem quatro zeros (10 000); não tem três nem cinco. O número de zeros é igual ao expoente.
  • Multiplicar a base pelo expoente. 102 é 100, e não 10 × 2 = 20.
  • Dizer que 100 = 0 ou 10. Vale 1, porque 103 ÷ 103 = 1.
  • Achar que um expoente negativo dá um número negativo. 10−2 é 0,01, que é positivo; o sinal do expoente indica o inverso.
  • Deslocar a vírgula para o lado errado. Expoente positivo, vírgula para a direita (número maior); expoente negativo, vírgula para a esquerda (número menor).
  • Multiplicar os expoentes num produto. 103 × 102 é 105, e não 106.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Escreva por extenso 105 e 107.

Ver solução

105 = 100 000 (cinco zeros) e 107 = 10 000 000 (sete zeros).

2Exercício 2

Escreva em forma decimal 10−1 e 10−4.

Ver solução

10−1 = 1 ÷ 10 = 0,1. 10−4 = 1 ÷ 10 000 = 0,0001 (quatro casas decimais).

3Exercício 3

Calcule 3,7 × 102 e 0,9 × 104.

Ver dica

A vírgula anda duas casas no primeiro e quatro no segundo.

Ver solução

3,7 × 102 = 370 (a vírgula anda duas casas, juntando um zero). 0,9 × 104 = 9 000 (quatro casas, juntando três zeros). Verificação: 370 ÷ 100 = 3,7.

4Exercício 4

Escreva 1 000 000 × 10 000 como uma só potência de 10 e diga quantos zeros tem o resultado.

Ver solução

1 000 000 = 106 e 10 000 = 104. Produto: 10(6+4) = 1010, que tem 10 zeros: 10 000 000 000.

5Exercício 5

Um fio mede 3,2 × 104 mm. Quantos metros mede, sabendo que 1 m = 103 mm? Escreva também 0,0006 em notação científica.

Ver dica

Divida por 103, subtraindo os expoentes de base 10.

Ver solução

3,2 × 104 ÷ 103 = 3,2 × 101 = 32 m. Verificação: 32 000 mm ÷ 1 000 = 32 m. Quanto a 0,0006: a vírgula anda quatro casas para a direita e fica 6, logo 0,0006 = 6 × 10−4.

Perguntas frequentes

Quantos zeros tem 109?

Tem nove zeros: 1 000 000 000, que se lê «mil milhões» em português europeu. Se o seu manual usar outro nome para este valor, siga o do manual.

Porque é que 100 é igual a 1 e não a zero?

Porque a divisão de potências obriga: 103 ÷ 103 = 10(3−3) = 100, mas qualquer número diferente de zero dividido por si próprio dá 1. Assim se mantém coerente a regra dos expoentes.

Como sei se o expoente de uma notação científica é positivo ou negativo?

Pergunte-se se o número original é grande ou pequeno. Números maiores ou iguais a 10 têm expoente positivo (4 500 000 = 4,5 × 106); números entre 0 e 1 têm expoente negativo (0,00032 = 3,2 × 10−4).

Serve também para outras bases, como o 2?

As regras são as mesmas (somar expoentes no produto, subtrair no quociente), mas só na base 10 a potência se lê diretamente pelos zeros. Por exemplo, 23 = 8 não tem «três zeros».

Resumo

  • 10n (n positivo) é o 1 seguido de n zeros; 100 = 1; 10−n = 1 ÷ 10n tem n casas decimais.
  • Multiplicar por 10n desloca a vírgula n casas para a direita; por 10−n, para a esquerda.
  • 10m × 10n = 10(m+n) e 10m ÷ 10n = 10(m−n).
  • As potências de 10 convertem unidades (km, m, cm, mm) e escrevem a notação científica.
  • O expoente negativo não torna o número negativo: dá um número decimal pequeno.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A secção sobre notação científica e potências de 10 do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
  • Os exercícios sobre notação científica da Khan Academy, disponíveis em português.

Continue a estudar

6.ª–9.ª classe7 min

O que é uma potência (em Matemática)?

Uma potência é uma forma abreviada de escrever uma multiplicação de fatores iguais. Em an, a base a é o fator que se repete e o expoente n indica quantas vezes. Por…

4 exemplos5 exercícios com solução

6.ª–9.ª classe8 min

Como calcular uma potência de expoente natural?

Para calcular uma potência de expoente natural, multiplique a base por si própria tantas vezes quantas o expoente indica. Assim, 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. O expoente…

5 exemplos5 exercícios com solução

6.ª–9.ª classe7 min

Quais são as propriedades das potências?

As propriedades das potências permitem simplificar cálculos sem desenvolver tudo. Com a mesma base, soma-se o expoente no produto e subtrai-se no quociente; numa…

4 exemplos5 exercícios com solução

6.ª–9.ª classe7 min

Como multiplicar potências com a mesma base?

Para multiplicar potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes: am × an = a(m+n). Por exemplo, 52 × 53 = 55 = 3 125. A regra só se aplica quando…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Potências, raízes e notação científica