Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como calcular raízes de números complexos?

  • 11 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Escreva z na forma trigonométrica, z = r(cos θ + i sen θ). As n raízes de índice n são wk = ⁿ√r [cos((θ + 2kπ) ÷ n) + i sen((θ + 2kπ) ÷ n)], com k = 0, 1, 2 até n − 1. Todas têm o mesmo módulo ⁿ√r e os argumentos diferem de 2π ÷ n. Exemplo: as raízes quadradas de −4 são 2i e −2i.

Quando se aplica

Aplica-se quando se pede as raízes de índice n de um número complexo z diferente de zero, ou quando se resolve uma equação do tipo wn = z. Ao contrário do que acontece com os números reais, um número complexo não nulo tem exatamente n raízes de índice n, todas diferentes. Por exemplo, 8 tem três raízes cúbicas em ℂ: uma real e duas não reais.

Pré-requisitos

  • Escrever z na forma trigonométrica: r = |z| e θ = argumento, atendendo ao quadrante.
  • Conhecer os valores de seno e cosseno dos ângulos notáveis (0, π/6, π/4, π/3, π/2 e π).
  • Saber a fórmula de De Moivre para potências: [ρ(cos φ + i sen φ)]n = ρn(cos nφ + i sen nφ).

A fórmula

Raízes de índice n de z = r(cos θ + i sen θ)

wk = ⁿ√r [cos((θ + 2kπ) ÷ n) + i sen((θ + 2kπ) ÷ n)], k = 0, 1, 2 até n − 1

Porque é assim: procura-se w = ρ(cos φ + i sen φ) tal que wn = z. Por De Moivre, wn = ρn(cos nφ + i sen nφ). Para este número ser igual a z, o módulo tem de verificar ρn = r, logo ρ = ⁿ√r, e os argumentos têm de diferir de um múltiplo de 2π: nφ = θ + 2kπ, ou seja, φ = (θ + 2kπ) ÷ n. Só k = 0, 1, 2 até n − 1 dão pontos diferentes; para k = n volta-se à raiz de k = 0.

Leitura geométrica

As n raízes estão na mesma circunferência, de centro na origem e raio ⁿ√r, e dividem-na em n arcos iguais. São os vértices de um polígono regular de n lados: um triângulo equilátero para n = 3, um quadrado para n = 4. A primeira raiz (k = 0) tem argumento θ ÷ n e as seguintes obtêm-se somando 2π ÷ n de cada vez.

Método passo a passo

  1. Escreva z na forma trigonométrica: calcule r = √(a2 + b2) e o argumento θ (com o quadrante certo).
  2. Calcule o módulo comum das raízes: ⁿ√r.
  3. Escreva a fórmula geral com θ + 2kπ no numerador e n no denominador.
  4. Substitua k = 0, 1, 2 e assim até n − 1, simplificando cada ângulo.
  5. Se pedido, passe cada raiz à forma algébrica com os valores de cos e sen.
  6. Verifique: eleve cada raiz a n e confirme que obtém z. Pode ainda confirmar que a soma das n raízes é zero (quando n é pelo menos 2).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Raízes quadradas de um número real negativo

Enunciado: Calcule as raízes quadradas de −4.

Resolução:

  1. −4 = 4(cos π + i sen π), logo r = 4 e θ = π. Módulo das raízes: √4 = 2.
  2. Para n = 2, os argumentos são (π + 2kπ) ÷ 2. Com k = 0: π/2. Com k = 1: 3π/2.
  3. w0 = 2(cos π/2 + i sen π/2) = 2(0 + i) = 2i.
  4. w1 = 2(cos 3π/2 + i sen 3π/2) = 2(0 − i) = −2i.

Resposta: as raízes são 2i e −2i. Verificação: (2i)2 = 4i2 = −4 e (−2i)2 = 4i2 = −4.

Exemplo 2 — Raízes cúbicas de 8

Enunciado: Determine as raízes cúbicas de 8 em ℂ.

Resolução:

  1. 8 = 8(cos 0 + i sen 0), logo r = 8 e θ = 0. Módulo das raízes: ³√8 = 2.
  2. Para n = 3, os argumentos são 2kπ ÷ 3: 0, 2π/3 e 4π/3.
  3. w0 = 2(cos 0 + i sen 0) = 2.
  4. w1 = 2(cos 2π/3 + i sen 2π/3) = 2(−1/2 + i√3/2) = −1 + √3 i.
  5. w2 = 2(cos 4π/3 + i sen 4π/3) = 2(−1/2 − i√3/2) = −1 − √3 i.

Resposta: 2, −1 + √3 i e −1 − √3 i. Verificação: (−1 + √3 i)2 = 1 − 2√3 i + 3i2 = −2 − 2√3 i; multiplicando por (−1 + √3 i) obtém-se 2 − 2√3 i + 2√3 i − 6i2 = 8. Além disso, 2 + (−1) + (−1) = 0 e as partes imaginárias cancelam-se (√3 − √3 = 0).

Exemplo 3 — Raízes quartas de −16 na forma algébrica

Enunciado: Calcule as raízes quartas de −16 e escreva-as na forma algébrica.

Resolução:

  1. −16 = 16(cos π + i sen π). Módulo das raízes: ⁴√16 = 2.
  2. Argumentos: (π + 2kπ) ÷ 4, ou seja, π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4 para k = 0, 1, 2, 3.
  3. w0 = 2(√2/2 + i√2/2) = √2 + √2 i.
  4. w1 = 2(−√2/2 + i√2/2) = −√2 + √2 i.
  5. w2 = 2(−√2/2 − i√2/2) = −√2 − √2 i.
  6. w3 = 2(√2/2 − i√2/2) = √2 − √2 i.

Resposta: ±√2 ± √2 i, isto é, os quatro números obtidos com todas as combinações de sinais. Estão nos vértices de um quadrado de centro na origem. Verificação: (√2 + √2 i)2 = 2(1 + i)2 = 2 × 2i = 4i, e (4i)2 = −16.

Exemplo 4 — Nível de exame: resolver uma equação

Enunciado: Resolva, em ℂ, a equação z3 = −8i.

Resolução:

  1. O ponto que representa −8i está no semieixo imaginário negativo: r = 8 e θ = 3π/2.
  2. Módulo das raízes: ³√8 = 2. Argumentos: (3π/2 + 2kπ) ÷ 3 = π/2 + 2kπ/3.
  3. k = 0: π/2, logo z0 = 2(cos π/2 + i sen π/2) = 2i.
  4. k = 1: π/2 + 2π/3 = 3π/6 + 4π/6 = 7π/6, logo z1 = 2(−√3/2 − i/2) = −√3 − i.
  5. k = 2: π/2 + 4π/3 = 3π/6 + 8π/6 = 11π/6, logo z2 = 2(√3/2 − i/2) = √3 − i.

Resposta: as soluções são 2i, −√3 − i e √3 − i. Verificação: (2i)3 = 8i3 = −8i. Para a terceira, (√3 − i)2 = 2 − 2√3 i e (√3 − i)(2 − 2√3 i) = 2√3 − 6i − 2i + 2√3 i2 = −8i.

Erros frequentes

  • Dar uma só raiz. Há n raízes de índice n; esquecer o termo 2kπ é a causa mais comum.
  • Escrever θ ÷ n + 2kπ. O correto é (θ + 2kπ) ÷ n: o 2kπ também é dividido por n. Caso contrário, os argumentos afastam-se de 2π em vez de 2π ÷ n.
  • Usar k = 1 até k = n. Os valores certos são k = 0 até k = n − 1; com k = n repete-se a primeira raiz.
  • Calcular o módulo como r ÷ n em vez de ⁿ√r. Para −16 e n = 4, o módulo é ⁴√16 = 2 e não 16 ÷ 4 = 4.
  • Dar módulos diferentes às raízes. O módulo é o mesmo para todas; só o argumento muda.
  • Errar o quadrante de θ na forma trigonométrica de z, o que roda todo o conjunto de raízes.
  • Não verificar. Elevar cada raiz a n e comparar com z apanha a maior parte dos erros.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule as raízes quadradas de −25.

Ver solução

−25 = 25(cos π + i sen π), logo o módulo das raízes é √25 = 5 e os argumentos são π/2 (k = 0) e 3π/2 (k = 1). As raízes são 5(cos π/2 + i sen π/2) = 5i e 5(cos 3π/2 + i sen 3π/2) = −5i. Verificação: (5i)2 = −25.

2Exercício 2

Determine as raízes cúbicas de 1 (as raízes cúbicas da unidade).

Ver dica

1 = cos 0 + i sen 0. Os argumentos das raízes são 0, 2π/3 e 4π/3.

Ver solução

Módulo 1 e argumentos 0, 2π/3 e 4π/3. As raízes são 1, −1/2 + (√3/2)i e −1/2 − (√3/2)i. Verificação: a soma é 1 − 1/2 − 1/2 = 0.

3Exercício 3

Determine as raízes quartas de 1 e indique em que pontos do plano complexo estão.

Ver solução

Módulo 1 e argumentos (2kπ) ÷ 4 = kπ/2, para k = 0, 1, 2, 3, ou seja, 0, π/2, π e 3π/2. As raízes são 1, i, −1 e −i. Estão sobre os eixos, a uma distância 1 da origem, nos vértices de um quadrado.

4Exercício 4

Calcule as raízes cúbicas de −27.

Ver dica

−27 = 27(cos π + i sen π); os argumentos são (π + 2kπ) ÷ 3.

Ver solução

Módulo ³√27 = 3 e argumentos π/3, π e 5π/3. As raízes são 3(1/2 + i√3/2) = 3/2 + (3√3/2)i, 3(−1) = −3 e 3(1/2 − i√3/2) = 3/2 − (3√3/2)i. Verificação: (−3)3 = −27, e a soma das raízes é 3/2 − 3 + 3/2 = 0.

5Exercício 5

Resolva, em ℂ, a equação z4 = −8 + 8√3 i.

Ver dica

Calcule o módulo (resulta 16) e o argumento (2.º quadrante, com cos θ = −1/2 e sen θ = √3/2). Depois use n = 4.

Ver solução

r = √(64 + 192) = √256 = 16 e θ = 2π/3. Módulo das raízes: ⁴√16 = 2. Argumentos: (2π/3 + 2kπ) ÷ 4 = π/6 + kπ/2, ou seja, π/6, 2π/3, 7π/6 e 5π/3. As soluções são √3 + i, −1 + √3 i, −√3 − i e 1 − √3 i. Verificação: (√3 + i)2 = 2 + 2√3 i e (2 + 2√3 i)2 = 4 + 8√3 i + 12i2 = −8 + 8√3 i.

Perguntas frequentes

Quantas raízes de índice n tem um número complexo?

Se z é diferente de zero, tem exatamente n raízes de índice n, todas distintas, e a fórmula dá-as para k = 0 até k = n − 1. O número zero tem uma só raiz, que é zero.

Porque é que √4 = 2 mas há duas raízes quadradas de 4?

O símbolo √4 designa a raiz quadrada positiva, que é 2. Quando se procuram todos os números w com w2 = 4, obtêm-se dois: 2 e −2. Nos complexos, a fórmula das raízes dá sempre o conjunto completo.

Existe um método mais rápido?

Para raízes quadradas com módulo simples, pode resolver na forma algébrica: para (x + yi)2 = 3 + 4i, obtém-se x2 − y2 = 3 e 2xy = 4, que dá x = 2 e y = 1 (e o simétrico). Logo as raízes quadradas de 3 + 4i são 2 + i e −2 − i. Para índices maiores, a forma trigonométrica é o caminho normal.

Como verificar se o resultado está correto?

Eleve cada raiz a n: tem de obter z. Confirme ainda que todas têm o mesmo módulo, que os argumentos consecutivos diferem de 2π ÷ n e que a soma das n raízes é zero.

Resumo

  • Um número complexo não nulo tem n raízes de índice n, dadas por wk = ⁿ√r [cos((θ + 2kπ) ÷ n) + i sen((θ + 2kπ) ÷ n)].
  • Usa-se k = 0, 1, 2 até n − 1; para k = n repete-se a primeira raiz.
  • Todas as raízes têm o mesmo módulo ⁿ√r e os argumentos diferem de 2π ÷ n.
  • Geometricamente, são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência.
  • Verifique elevando cada raiz a n e confirmando que a soma das raízes dá zero.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), na parte sobre a forma polar e as raízes de números complexos.
  • A Khan Academy, que tem lições gratuitas sobre raízes de números complexos.

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