Matemática · 6.ª–9.ª classe

Como calcular a raiz cúbica de um número?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

A raiz cúbica de um número a é o número b que, multiplicado por si próprio três vezes, dá a: ³√a = b quando b3 = a. Por exemplo, ³√64 = 4, porque 4 × 4 × 4 = 64. Ao contrário da raiz quadrada, existe raiz cúbica de números negativos: ³√(−8) = −2.

O que é e como se lê

O símbolo ³√ lê-se «raiz cúbica de». O pequeno 3 é o índice e o número dentro do símbolo é o radicando. Calcular a raiz cúbica é desfazer o cubo: se 43 = 64, então ³√64 = 4.

Raiz cúbica

³√a = b quando b3 = a

O nome «cúbica» vem do cubo geométrico: se um cubo tem volume V, a sua aresta é ³√V, porque V = aresta × aresta × aresta.

Cubos perfeitos a conhecer

n12345678910
n31827641252163435127291 000

Estes números chamam-se cubos perfeitos. A sua raiz cúbica é um número inteiro.

Diferença para a raiz quadrada

  • A raiz cúbica existe para qualquer número real, positivo, nulo ou negativo. Se o radicando for negativo, a raiz é negativa: (−3)3 = −27, logo ³√(−27) = −3.
  • A raiz quadrada, em contraste, só existe (nos números reais) para radicandos maiores ou iguais a zero.
  • ³√64 = 4, mas √64 = 8. O índice muda tudo.

Método passo a passo

Método A: tabela de cubos

  1. Procure o radicando na tabela de cubos.
  2. Se estiver lá, a raiz é o número correspondente.

Método B: decomposição em fatores primos

  1. Decomponha o radicando em fatores primos.
  2. Escreva-o como produto de potências.
  3. Se todos os expoentes forem múltiplos de 3, divida cada expoente por 3.
  4. Multiplique as bases que ficaram. Esse produto é a raiz.

Método C: estimar quando não é cubo perfeito

  1. Encontre os dois cubos perfeitos consecutivos entre os quais o radicando se situa.
  2. A raiz está entre as raízes desses dois cubos.
  3. Refine por tentativas com uma casa decimal.

Truque do último algarismo (cubos grandes)

O último algarismo de um cubo determina o último algarismo da raiz: se o cubo termina em 1, a raiz termina em 1; em 8, em 2; em 7, em 3; em 4, em 4; em 5, em 5; em 6, em 6; em 3, em 7; em 2, em 8; em 9, em 9; em 0, em 0. Para o algarismo das dezenas, compare o cubo com os cubos das dezenas redondas (103 = 1 000, 203 = 8 000, 303 = 27 000, 403 = 64 000, e assim por diante). Com as duas pistas, descobre a raiz de um cubo perfeito até seis algarismos sem decompor.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Pela tabela, e com sinal negativo

Enunciado: Calcule ³√512 e ³√(−27).

Resolução:

  1. Na tabela, 83 = 512, logo ³√512 = 8.
  2. Para o radicando negativo: 33 = 27, então (−3)3 = −27, e ³√(−27) = −3.

Resposta: ³√512 = 8 e ³√(−27) = −3. Verificação: 8 × 8 × 8 = 512 e (−3) × (−3) × (−3) = 9 × (−3) = −27.

Exemplo 2 — Decomposição em fatores primos

Enunciado: Calcule ³√1 728.

Resolução:

  1. 1 728 ÷ 2 = 864; ÷ 2 = 432; ÷ 2 = 216; ÷ 2 = 108; ÷ 2 = 54; ÷ 2 = 27. Seis fatores 2.
  2. 27 ÷ 3 = 9; ÷ 3 = 3; ÷ 3 = 1. Três fatores 3.
  3. Então 1 728 = 26 × 33. Os expoentes 6 e 3 são múltiplos de 3.
  4. Dividindo por 3: 22 × 31 = 4 × 3 = 12.

Resposta: ³√1 728 = 12. Verificação: 12 × 12 = 144 e 144 × 12 = 1 728.

Exemplo 3 — Raiz que não é exata

Enunciado: Entre que inteiros consecutivos está ³√30? Dê uma aproximação a uma casa decimal.

Resolução:

  1. 33 = 27 e 43 = 64. Como 27 < 30 < 64, tem-se 3 < ³√30 < 4.
  2. O 30 está muito perto de 27, por isso a raiz fica logo acima de 3.
  3. Teste 3,1: 3,1 × 3,1 = 9,61 e 9,61 × 3,1 = 29,791, que está muito perto de 30. Teste 3,2: 3,23 = 32,768, que já passa de 30.

Resposta: ³√30 está entre 3 e 4 e vale aproximadamente 3,1. Verificação: 3,13 = 29,791 ≈ 30.

Exemplo 4 — Nível de exame: o reservatório cúbico

Enunciado: Um reservatório em forma de cubo tem capacidade para 2 197 litros. Qual é a medida da aresta, em decímetros e em metros? (Use 1 litro = 1 dm³.)

Resolução:

  1. O volume é 2 197 dm³ e V = aresta3, logo aresta = ³√2 197.
  2. O cubo termina em 7, e como 33 = 27 termina em 7, a raiz termina em 3.
  3. 2 197 está entre 1 000 (103) e 8 000 (203), portanto a raiz está entre 10 e 20. Com o último algarismo 3, a raiz é 13.
  4. Em metros: 13 dm = 1,3 m.

Resposta: a aresta mede 13 dm, ou seja, 1,3 m. Verificação: 13 × 13 = 169 e 169 × 13 = 2 197.

Erros frequentes

  • Dividir por 3. ³√27 não é 27 ÷ 3 = 9, é 3, porque 3 × 3 × 3 = 27. A raiz desfaz o cubo, não divide por 3.
  • Confundir com a raiz quadrada. ³√64 = 4, mas √64 = 8. Repare no índice do símbolo.
  • Dizer que não existe raiz cúbica de negativos. Existe: ³√(−125) = −5.
  • Dividir os expoentes por 2 na decomposição. Para a raiz cúbica, divide-se por 3.
  • Ignorar expoentes que não são múltiplos de 3. Em 24 × 33, o 4 não é múltiplo de 3, logo o número não é cubo perfeito.
  • Somar raízes como se fossem a raiz da soma. ³√8 + ³√27 = 2 + 3 = 5, mas ³√(8 + 27) = ³√35 está entre 3 e 4 (porque 27 < 35 < 64), e não é 5.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule ³√125.

Ver solução

5 × 5 × 5 = 125, logo ³√125 = 5.

2Exercício 2

Calcule ³√(−343).

Ver dica

Procure primeiro ³√343 na tabela.

Ver solução

73 = 343, então (−7)3 = −343 e ³√(−343) = −7. Verificação: (−7) × (−7) × (−7) = 49 × (−7) = −343.

3Exercício 3

Calcule ³√3 375 por decomposição em fatores primos.

Ver dica

3 375 é divisível por 3 (soma dos algarismos 18) e acaba em 5.

Ver solução

3 375 ÷ 3 = 1 125; ÷ 3 = 375; ÷ 3 = 125; 125 ÷ 5 = 25; ÷ 5 = 5; ÷ 5 = 1. Logo 3 375 = 33 × 53, e ³√3 375 = 3 × 5 = 15. Verificação: 15 × 15 = 225 e 225 × 15 = 3 375.

4Exercício 4

Entre que inteiros consecutivos está ³√100? Qual é a melhor aproximação a uma casa decimal?

Ver solução

43 = 64 e 53 = 125, logo 4 < ³√100 < 5. Teste: 4,63 = 97,336 e 4,73 = 103,823. Como 100 está mais perto de 97,336 (diferença de 2,664) do que de 103,823 (diferença de 3,823), a aproximação é 4,6.

5Exercício 5

Um contentor em forma de cubo tem um volume de 27 000 cm³. Calcule a aresta e a área total da superfície (as seis faces).

Ver dica

Cada face é um quadrado de lado igual à aresta.

Ver solução

Aresta = ³√27 000 = ³√27 × ³√1 000 = 3 × 10 = 30 cm. Cada face tem 30 × 30 = 900 cm², e as seis faces têm 6 × 900 = 5 400 cm². Verificação: 30 × 30 × 30 = 27 000.

Perguntas frequentes

Como se escreve a raiz cúbica no computador ou na calculadora?

Muitas calculadoras científicas têm uma tecla ³√; outras permitem elevar a 1/3 (27 elevado a 1/3 = 3). Confirme no manual da sua calculadora. Em texto simples escreve-se «raiz cúbica de 27» ou ³√27. Confirme no seu programa qual a notação adotada.

Um número negativo tem raiz cúbica?

Tem, e é negativa. Isso acontece porque o produto de três números negativos é negativo: (−2) × (−2) × (−2) = −8, logo ³√(−8) = −2. Na raiz quadrada isso não acontece.

Como sei se um número é cubo perfeito?

Decomponha-o em fatores primos: se todos os expoentes forem múltiplos de 3, é cubo perfeito. Por exemplo, 216 = 23 × 33 é cubo perfeito (63), mas 100 = 22 × 52 não é.

Para que serve a raiz cúbica?

Serve para encontrar a aresta de um cubo a partir do volume, como no exemplo do reservatório. Aparece em Geometria, Física e em problemas de escalas, sempre que o volume é dado e se procura um comprimento.

Resumo

  • ³√a = b quando b3 = a: a raiz cúbica desfaz o cubo.
  • Existe raiz cúbica de números negativos: ³√(−27) = −3.
  • Na decomposição em fatores primos, divide-se cada expoente por 3 (e não por 2).
  • Conheça os cubos de 1 a 10: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1 000.
  • Se o número não é cubo perfeito, situe-o entre dois cubos e estime.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O capítulo sobre raízes e radicais do manual aberto OpenStax Intermediate Algebra (em inglês).
  • As secções de raízes cúbicas da Khan Academy, disponíveis em português.

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