Matemática · 6.ª–9.ª classe
Como extrair a raiz quadrada pelo método da decomposição em fatores?
Resposta curta
Para extrair a raiz quadrada pela decomposição em fatores, decomponha o número em fatores primos, escreva-o como produto de potências e divida por 2 cada expoente; depois multiplique as bases que ficaram. Exemplo: 576 = 26 × 32, logo √576 = 23 × 3 = 24. Se algum expoente for ímpar, o número não é quadrado perfeito.
Quando se aplica
Este método é útil quando o número é grande demais para ser reconhecido na tabela dos quadrados (por exemplo 576, 1 296 ou 3 969), ou quando se quer saber se um número é quadrado perfeito. Resolve também problemas de lados de quadrados quando se conhece a área.
A ideia por trás do método
Um número é quadrado perfeito se for o produto de um número por si próprio, n × n. Quando se decompõe n × n em fatores primos, cada primo aparece duas vezes mais do que em n; por isso os expoentes ficam todos pares. Ao dividir os expoentes por 2, recupera-se n.
Critérios de divisibilidade para decompor mais depressa
| Divisível por | Como reconhecer |
|---|---|
| 2 | termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | a soma dos algarismos é múltipla de 3 |
| 5 | termina em 0 ou 5 |
| 7 | não há critério simples; experimente a divisão |
| 11 | a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a dos de ordem par dá 0 ou um múltiplo de 11 (em 121: 1 + 1 − 2 = 0) |
Método passo a passo
- Decomponha o radicando em fatores primos, dividindo sempre pelo menor primo possível (2, depois 3, 5, 7, 11...), até chegar a 1.
- Escreva o número como produto de potências de primos, contando quantas vezes cada primo foi usado.
- Verifique os expoentes: se todos forem pares, o número é quadrado perfeito. Se algum for ímpar, a raiz não é exata.
- Divida cada expoente por 2 e mantenha as bases.
- Multiplique as potências obtidas. O produto é a raiz.
- Confirme elevando o resultado ao quadrado.
Uma decomposição completa, passo a passo
Para 576, as divisões sucessivas são: 576, 288, 144, 72, 36, 18, 9, 3, 1, dividindo por 2 seis vezes e por 3 duas vezes. Por isso 576 = 26 × 32.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Caso básico
Enunciado: Calcule √196 pela decomposição em fatores primos.
Resolução:
- 196 ÷ 2 = 98; 98 ÷ 2 = 49; 49 ÷ 7 = 7; 7 ÷ 7 = 1.
- Então 196 = 22 × 72.
- Os expoentes são pares. Divide-se cada um por 2: 21 × 71.
- 2 × 7 = 14.
Resposta: √196 = 14. Verificação: 14 × 14 = 196.
Exemplo 2 — Número com muitos fatores
Enunciado: Calcule √1 296 e √3 969.
Resolução:
- 1 296: ÷ 2 = 648; ÷ 2 = 324; ÷ 2 = 162; ÷ 2 = 81; depois 81 ÷ 3 = 27; ÷ 3 = 9; ÷ 3 = 3; ÷ 3 = 1. Logo 1 296 = 24 × 34. Dividindo os expoentes: 22 × 32 = 4 × 9 = 36.
- 3 969: a soma dos algarismos é 27, por isso é divisível por 3. 3 969 ÷ 3 = 1 323; ÷ 3 = 441; ÷ 3 = 147; ÷ 3 = 49; 49 ÷ 7 = 7; ÷ 7 = 1. Logo 3 969 = 34 × 72. Dividindo os expoentes: 32 × 7 = 9 × 7 = 63.
Resposta: √1 296 = 36 e √3 969 = 63. Verificação: 36 × 36 = 1 296 e 63 × 63 = 3 969.
Exemplo 3 — O número é quadrado perfeito?
Enunciado: Diga se 180 é quadrado perfeito. Se não for, entre que inteiros consecutivos está √180?
Resolução:
- 180 ÷ 2 = 90; ÷ 2 = 45; ÷ 3 = 15; ÷ 3 = 5; ÷ 5 = 1. Logo 180 = 22 × 32 × 51.
- O expoente de 5 é 1, que é ímpar. Portanto 180 não é quadrado perfeito.
- Para localizar a raiz: 132 = 169 e 142 = 196. Como 169 < 180 < 196, tem-se 13 < √180 < 14.
Resposta: 180 não é quadrado perfeito e √180 está entre 13 e 14. Verificação: 4 × 9 × 5 = 180.
Exemplo 4 — Nível de exame: o lado de um terreno
Enunciado: Um terreno quadrado em Huambo tem 7 744 m² de área. (a) Qual é o lado? (b) Quantos metros de rede são precisos para o vedar? (c) Se a rede custar 1 500 kwanzas por metro, qual é o custo?
Resolução:
- (a) Decomponha 7 744: ÷ 2 = 3 872; ÷ 2 = 1 936; ÷ 2 = 968; ÷ 2 = 484; ÷ 2 = 242; ÷ 2 = 121; ÷ 11 = 11; ÷ 11 = 1. Logo 7 744 = 26 × 112. Lado = 23 × 11 = 8 × 11 = 88 m.
- (b) O perímetro é 4 × 88 = 352 m.
- (c) Custo: 352 × 1 500 = 352 000 + 176 000 = 528 000 kwanzas.
Resposta: (a) lado de 88 m; (b) 352 m de rede; (c) 528 000 kwanzas. Verificação: 88 × 88 = 7 744.
Erros frequentes
- Dividir a base em vez do expoente. Em 24, a raiz é 22 = 4, e não 24 ÷ 2 = 8. O que se divide por 2 é o expoente.
- Parar a decomposição antes do 1. Se parar em 49, por exemplo, ainda falta decompor em 7 × 7. Só termina quando o quociente for 1.
- Dividir por números que não são primos (4, 6, 9...). Pode chegar ao mesmo resultado, mas depois os expoentes ficam confusos. Use sempre 2, 3, 5, 7...
- Esquecer um expoente. Se um dos primos ficar por dividir por 2, o produto final está errado. Confirme com o quadrado do resultado.
- Contar mal as divisões repetidas. Numa decomposição longa, risque os fatores um a um: conte quantos 2, quantos 3, e assim por diante, antes de escrever as potências.
- Concluir que a raiz é exata com um expoente ímpar. Se aparece 51, 33, ou qualquer expoente ímpar, o número não é quadrado perfeito.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule √225 por decomposição em fatores primos.
Ver dica
225 termina em 5.
Ver solução
225 ÷ 3 = 75; 75 ÷ 3 = 25; 25 ÷ 5 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Então 225 = 32 × 52, e √225 = 3 × 5 = 15. Verificação: 15 × 15 = 225.
2Exercício 2
Calcule √784.
Ver solução
784 ÷ 2 = 392; ÷ 2 = 196; ÷ 2 = 98; ÷ 2 = 49; 49 ÷ 7 = 7; 7 ÷ 7 = 1. Logo 784 = 24 × 72, e √784 = 22 × 7 = 4 × 7 = 28. Verificação: 28 × 28 = 784.
3Exercício 3
Calcule √2 304.
Ver dica
O 2 aparece várias vezes. Divida por 2 até o quociente ser ímpar.
Ver solução
2 304 ÷ 2 = 1 152; ÷ 2 = 576; ÷ 2 = 288; ÷ 2 = 144; ÷ 2 = 72; ÷ 2 = 36; ÷ 2 = 18; ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. Há oito fatores 2 e dois fatores 3: 2 304 = 28 × 32. Então √2 304 = 24 × 3 = 16 × 3 = 48. Verificação: 48 × 48 = 2 304.
4Exercício 4
O número 252 é quadrado perfeito? Justifique pela decomposição e localize √252 entre dois inteiros consecutivos.
Ver solução
252 ÷ 2 = 126; ÷ 2 = 63; ÷ 3 = 21; ÷ 3 = 7; ÷ 7 = 1. Logo 252 = 22 × 32 × 71. O expoente de 7 é ímpar, portanto não é quadrado perfeito. Como 152 = 225 e 162 = 256, a raiz está entre 15 e 16.
5Exercício 5
Um terreno quadrado em Benguela tem 5 625 m². Calcule o lado, o perímetro e o custo da rede para o vedar, a 800 kwanzas por metro.
Ver dica
5 625 termina em 25, logo é divisível por 5 várias vezes.
Ver solução
5 625 ÷ 5 = 1 125; ÷ 5 = 225; ÷ 5 = 45; ÷ 5 = 9; ÷ 3 = 3; ÷ 3 = 1. Logo 5 625 = 54 × 32. Lado = 52 × 3 = 25 × 3 = 75 m. Perímetro = 4 × 75 = 300 m. Custo = 300 × 800 = 240 000 kwanzas. Verificação: 75 × 75 = 5 625.
Perguntas frequentes
Posso usar este método para qualquer número?
Pode decompor qualquer número, mas só obtém uma raiz exata quando todos os expoentes são pares. Nos outros casos o método diz-lhe que o número não é quadrado perfeito, e a raiz fica por estimar.
Qual é a vantagem em relação à tabela dos quadrados?
A tabela só vai até números pequenos (por exemplo 152 = 225). A decomposição funciona com números grandes sem decorar nada e deixa uma verificação automática: se um expoente ficar ímpar, sabe logo que a raiz não é exata.
Como sei qual é o menor primo a experimentar?
Comece sempre por 2; se não dividir, tente 3, depois 5, 7, 11... Os critérios de divisibilidade ajudam: se a soma dos algarismos for múltipla de 3, o número é divisível por 3.
E se o número tiver expoentes ímpares, como 72?
Então a raiz não é um número inteiro, mas pode simplificar: 72 = 23 × 32, e extraindo o que for par, √72 = 6√2. Verifique no seu programa se a classe já inclui esta simplificação; se não, estime a raiz entre dois inteiros.
Resumo
- Decomponha o radicando em fatores primos até chegar a 1 e escreva-o como produto de potências.
- Se todos os expoentes forem pares, o número é quadrado perfeito; divida cada expoente por 2 e multiplique.
- Um expoente ímpar mostra que a raiz não é exata.
- O que se divide por 2 é o expoente, nunca a base.
- Confirme sempre elevando o resultado ao quadrado.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A secção sobre raízes quadradas e fatores primos do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
- Os exercícios sobre raízes quadradas e fatores primos da Khan Academy, disponíveis em português.
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