Matemática · 6.ª–9.ª classe

Como calcular a raiz quadrada de um número?

  • 7 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

A raiz quadrada de um número a é o número não negativo que, multiplicado por si próprio, dá a. Escreve-se √a. Por exemplo, √49 = 7, porque 7 × 7 = 49. Se o número não for um quadrado perfeito, estima-se o valor entre dois quadrados perfeitos consecutivos.

Fórmula e significado de cada termo

Raiz quadrada

√a = b quando b2 = a e b ≥ 0

  • √ é o sinal de raiz quadrada;
  • a é o radicando, o número de que se procura a raiz (não pode ser negativo, no conjunto dos números reais);
  • b é a raiz, o resultado.

A raiz quadrada «desfaz» o quadrado: calcular √a é perguntar «que número, elevado ao quadrado, dá a?». Os números que são o quadrado de um número natural chamam-se quadrados perfeitos.

Condições de aplicação

  • O radicando tem de ser maior ou igual a zero. √(−9) não existe nos números reais, porque nenhum número real ao quadrado dá um valor negativo.
  • A raiz quadrada é sempre positiva ou nula: √25 = 5, e não ±5. (A equação x2 = 25 tem duas soluções, 5 e −5, mas o símbolo √25 designa só a positiva.)

Quadrados perfeitos a conhecer

n123456789101112131415
n2149162536496481100121144169196225

Passo a passo

Método A: reconhecer um quadrado perfeito

  1. Procure o radicando na tabela dos quadrados.
  2. Se estiver lá, a raiz é o número correspondente.

Método B: decomposição em fatores primos

  1. Decomponha o radicando em fatores primos (divisões sucessivas por 2, 3, 5, 7...).
  2. Escreva-o como produto de potências.
  3. Se todos os expoentes forem pares, divida cada expoente por 2.
  4. Multiplique os resultados. Esse produto é a raiz.

Método C: estimar quando não é quadrado perfeito

  1. Encontre os dois quadrados perfeitos consecutivos entre os quais o radicando se situa.
  2. A raiz está entre as raízes desses dois números.
  3. Refine por tentativas com uma casa decimal, se for pedido.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Quadrado perfeito conhecido

Enunciado: Calcule √144.

Resolução:

  1. Procura-se n tal que n2 = 144.
  2. Pela tabela, 122 = 144.

Resposta: √144 = 12. Verificação: 12 × 12 = 144.

Exemplo 2 — Decomposição em fatores primos

Enunciado: Calcule √324.

Resolução:

  1. Decomponha: 324 ÷ 2 = 162; 162 ÷ 2 = 81; 81 ÷ 3 = 27; 27 ÷ 3 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1.
  2. Portanto 324 = 22 × 34.
  3. Os expoentes são pares (2 e 4). Dividem-se por 2: ficam 21 e 32.
  4. Multiplica-se: 2 × 9 = 18.

Resposta: √324 = 18. Verificação: 18 × 18 = 324.

Exemplo 3 — Raiz que não é exata

Enunciado: Entre que números inteiros consecutivos está √50? Dê uma aproximação com uma casa decimal.

Resolução:

  1. 72 = 49 e 82 = 64. Como 49 < 50 < 64, tem-se 7 < √50 < 8.
  2. 50 está muito perto de 49, por isso a raiz fica ligeiramente acima de 7.
  3. Experimente 7,1: 7,1 × 7,1 = 50,41, que passa de 50. Experimente 7,0: dá 49. Como 50 está mais perto de 50,41 do que de 49, a melhor aproximação com uma casa decimal é 7,1.

Resposta: √50 está entre 7 e 8 e vale aproximadamente 7,1. Verificação: 7,1 × 7,1 = 50,41, valor próximo de 50.

Exemplo 4 — Nível de exame: problema e erro clássico

Enunciado: Um terreno quadrado em Luanda tem 625 m² de área. (a) Qual é o lado? (b) Qual é o perímetro? (c) Calcule √(9 + 16) e √9 + √16 e compare.

Resolução:

  1. (a) lado = √625. Como 25 × 25 = 625, o lado é 25 m.
  2. (b) perímetro = 4 × 25 = 100 m.
  3. (c) √(9 + 16) = √25 = 5. Mas √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Resposta: (a) lado de 25 m; (b) perímetro de 100 m; (c) 5 e 7, logo √(a + b) não é igual a √a + √b. Verificação: 252 = 625.

Erros frequentes no cálculo

  • Dividir por 2 em vez de procurar o número que, ao quadrado, dá o radicando. √36 não é 18: é 6, porque 6 × 6 = 36. Confirme sempre elevando ao quadrado.
  • Dizer que √a + √b = √(a + b). Como viu no exemplo 4, √9 + √16 = 7, mas √25 = 5. A raiz não «distribui» sobre a soma.
  • Confundir √a com a ÷ 2 ou com a2. A raiz e o quadrado são operações inversas.
  • Escolher a raiz negativa. O símbolo √ dá apenas o valor não negativo.
  • Cortar na decomposição: em 324 = 22 × 34, esquecer de dividir todos os expoentes por 2 dá resultados errados.
  • Tentar a raiz de um número negativo nos reais: não existe.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule √81.

Ver solução

9 × 9 = 81, logo √81 = 9.

2Exercício 2

Calcule √196.

Ver dica

Entre 10 e 15 na tabela.

Ver solução

14 × 14 = 196, logo √196 = 14.

3Exercício 3

Calcule √2 025 por decomposição em fatores primos.

Ver dica

2 025 termina em 5, por isso é divisível por 5.

Ver solução

2 025 ÷ 5 = 405; 405 ÷ 5 = 81; 81 = 34. Logo 2 025 = 34 × 52. Dividindo os expoentes por 2: 32 × 5 = 9 × 5 = 45. Verificação: 45 × 45 = 2 025.

4Exercício 4

Entre que dois inteiros consecutivos está √90? Qual é a melhor aproximação a uma casa decimal?

Ver solução

81 < 90 < 100, logo 9 < √90 < 10. Teste: 9,5 × 9,5 = 90,25 (um pouco acima de 90) e 9,4 × 9,4 = 88,36. Como 90 está mais perto de 90,25, a aproximação é 9,5.

5Exercício 5

Um tanque quadrado tem 1 764 cm² de área de base. Calcule o lado e o perímetro.

Ver solução

1 764 = 22 × 32 × 72, logo o lado é 2 × 3 × 7 = 42 cm. O perímetro é 4 × 42 = 168 cm. Verificação: 42 × 42 = 1 764.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular a raiz quadrada?

Não há uma fórmula de cálculo direto para qualquer número: a definição é √a = b se b2 = a e b ≥ 0. Na prática usam-se a tabela de quadrados perfeitos, a decomposição em fatores primos e a estimativa.

Como verificar se o resultado está correto?

Eleve o resultado ao quadrado: tem de dar o radicando. Se calculou √169 = 13, confirme que 13 × 13 = 169. Nas raízes aproximadas, o quadrado fica perto do radicando, mas não igual.

Todos os números têm raiz quadrada exata?

Não. Só os quadrados perfeitos têm raiz inteira. Os outros, como 50, têm raiz que não é um número inteiro; por exemplo, √2 e √50 têm infinitas casas decimais que não se repetem.

Que erros se cometem ao calcular a raiz quadrada?

Os principais são dividir por 2, somar raízes como se fossem a raiz da soma e esquecer que o radicando não pode ser negativo. Veja a secção de erros.

Resumo

  • √a é o número não negativo cujo quadrado é a.
  • O radicando tem de ser ≥ 0; a raiz nunca é negativa.
  • Conheça os quadrados de 1 a 15; ajudam a reconhecer raízes exatas.
  • Na decomposição em fatores primos, se todos os expoentes forem pares, divide-se cada um por 2.
  • Se não for quadrado perfeito, situe o radicando entre dois quadrados consecutivos e estime.
  • √(a + b) não é √a + √b.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O capítulo sobre raízes quadradas do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
  • A secção de raízes quadradas da Khan Academy, disponível em português.

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