Matemática · 10.ª–12.ª classe
Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética?
Resposta curta
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é Sn = (a1 + an) × n ÷ 2: soma-se o primeiro com o último termo, multiplica-se pelo número de termos e divide-se por 2. Sem o último termo, use Sn = (2a1 + (n − 1) × r) × n ÷ 2. Exemplo: 1 + 2 + … + 100 = 101 × 100 ÷ 2 = 5 050.
Fórmula e ideia por trás dela
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Sn = (a1 + an) × n ÷ 2
Sn = (2a1 + (n − 1) × r) × n ÷ 2
A segunda forma obtém-se da primeira substituindo an = a1 + (n − 1) × r. Use a primeira quando conhece o último termo e a segunda quando só conhece a1, r e n.
Porque funciona (a ideia dos pares)
Escreva a soma de 1 a 10 duas vezes, uma ao contrário da outra:
| Linha | Parcelas |
|---|---|
| S | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 |
| S (ao contrário) | 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 |
| 2S (parcela a parcela) | 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 |
Cada par de parcelas alinhadas soma 11 (o primeiro mais o último) e há 10 pares, logo 2S = 11 × 10 = 110 e S = 55. Numa PA qualquer, os termos equidistantes dos extremos somam sempre o mesmo valor, a1 + an, e é por isso que a fórmula funciona. A divisão por 2 existe porque a soma foi contada duas vezes.
Legenda
- Sn: soma dos n primeiros termos.
- a1 e an: primeiro e último termo da soma.
- n: número de termos somados.
- r: razão da progressão.
Condições de aplicação
Os termos somados têm de ser consecutivos e de formar uma PA. Para somar de um termo p a um termo q basta usar n = q − p + 1 termos, com primeiro termo ap e último aq.
Passo a passo
- Confirme que a lista é uma PA (diferença constante) e identifique a1 e r.
- Determine n, o número de termos. Se conhece o último termo, use n = (an − a1) ÷ r + 1.
- Determine an, se ainda não o tem: an = a1 + (n − 1) × r.
- Aplique Sn = (a1 + an) × n ÷ 2.
- Verifique com a outra fórmula, ou com a ideia dos pares (n ÷ 2 pares, cada um a somar a1 + an).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — A soma de 1 a 100
Enunciado: Calcule 1 + 2 + 3 + … + 100.
Resolução:
- É uma PA com a1 = 1, an = 100 e n = 100.
- S100 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 101 × 50 = 5 050.
Resposta: a soma é 5 050. Verificação: são 50 pares (1 + 100, 2 + 99, …), cada um a somar 101, e 50 × 101 = 5 050.
Exemplo 2 — Sem conhecer o último termo
Enunciado: Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA 3, 7, 11, 15, …
Resolução:
- a1 = 3, r = 4 e n = 20.
- Último termo: a20 = 3 + 19 × 4 = 3 + 76 = 79.
- S20 = (3 + 79) × 20 ÷ 2 = 82 × 10 = 820.
Resposta: S20 = 820. Verificação: pela segunda fórmula, (2 × 3 + 19 × 4) × 20 ÷ 2 = (6 + 76) × 10 = 820.
Exemplo 3 — Descobrir primeiro o número de termos
Enunciado: Calcule a soma de todos os múltiplos de 7 entre 1 e 100.
Resolução:
- Os múltiplos são 7, 14, 21, …, 98: uma PA com a1 = 7, r = 7 e an = 98.
- Número de termos: n = (98 − 7) ÷ 7 + 1 = 13 + 1 = 14.
- S14 = (7 + 98) × 14 ÷ 2 = 105 × 7 = 735.
Resposta: a soma é 735. Verificação: 7 × (1 + 2 + … + 14) = 7 × 105 = 735.
Exemplo 4 — Qual é o número de termos? (nível de exame)
Enunciado: Quantos termos da PA 5, 8, 11, … é preciso somar para obter 440?
Resolução:
- a1 = 5 e r = 3, logo Sn = (2 × 5 + (n − 1) × 3) × n ÷ 2 = (3n + 7) × n ÷ 2.
- Igualar a 440: (3n + 7) × n = 880, isto é, 3n2 + 7n − 880 = 0.
- Discriminante: Δ = 72 + 4 × 3 × 880 = 49 + 10 560 = 10 609 = 1032.
- n = (−7 ± 103) ÷ 6, ou seja, n = 16 ou n = −110 ÷ 6. Como n é natural, n = 16.
Resposta: é preciso somar 16 termos. Verificação: a16 = 5 + 15 × 3 = 50 e S16 = (5 + 50) × 16 ÷ 2 = 55 × 8 = 440.
Erros frequentes
- Esquecer a divisão por 2. Sem ela obtém-se o dobro da soma. Teste com 1 + 2 + 3 = 6: (1 + 3) × 3 = 12, e 12 ÷ 2 = 6.
- Confundir n com o último termo. Em 7 + 14 + … + 98, o último termo é 98, mas n = 14 (o número de termos).
- Calcular n como a diferença dos extremos. Em 7, 14, …, 98, n não é 98 − 7; é (98 − 7) ÷ 7 + 1. Esquecer o «+ 1» é o erro mais frequente.
- Confundir an com Sn. O termo an é um número da lista; Sn é a soma dos n primeiros.
- Usar a fórmula numa lista que não é PA, como 1, 2, 4, 8, onde a diferença não é constante.
- Trocar o sinal da razão numa PA decrescente: 40, 36, 32 tem r = −4.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule 1 + 2 + 3 + … + 50.
Ver solução
a1 = 1, an = 50, n = 50. S50 = (1 + 50) × 50 ÷ 2 = 51 × 25 = 1 275.
2Exercício 2
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA 2, 5, 8, 11, …
Ver solução
a1 = 2, r = 3, n = 10. a10 = 2 + 9 × 3 = 29. S10 = (2 + 29) × 10 ÷ 2 = 31 × 5 = 155. Verificação: (2 × 2 + 9 × 3) × 5 = 31 × 5 = 155.
3Exercício 3
Calcule a soma dos números pares de 2 a 100.
Ver dica
Primeiro descubra quantos números pares existem de 2 a 100.
Ver solução
a1 = 2, r = 2, an = 100, logo n = (100 − 2) ÷ 2 + 1 = 50. S50 = (2 + 100) × 50 ÷ 2 = 102 × 25 = 2 550.
4Exercício 4
Uma pessoa poupa 1 000 Kz na 1.ª semana e, em cada semana seguinte, poupa mais 500 Kz do que na anterior. Quanto terá poupado ao fim de 12 semanas?
Ver solução
É uma PA com a1 = 1 000, r = 500 e n = 12. a12 = 1 000 + 11 × 500 = 6 500. S12 = (1 000 + 6 500) × 12 ÷ 2 = 7 500 × 6 = 45 000 Kz. Verificação: (2 × 1 000 + 11 × 500) × 6 = 7 500 × 6 = 45 000.
5Exercício 5
Numa PA, a1 = 4 e a soma dos 10 primeiros termos é 220. Determine a razão e o décimo termo.
Ver dica
Use a segunda fórmula com n = 10 e S10 = 220.
Ver solução
S10 = (2 × 4 + 9r) × 10 ÷ 2 = 5 × (8 + 9r) = 220, logo 8 + 9r = 44, 9r = 36 e r = 4. O décimo termo é a10 = 4 + 9 × 4 = 40. Verificação: (4 + 40) × 10 ÷ 2 = 44 × 5 = 220.
Perguntas frequentes
Preciso de saber o último termo para calcular a soma?
Não. Se conhece a1, r e n, use a segunda fórmula, Sn = (2a1 + (n − 1) × r) × n ÷ 2, que dispensa o último termo. Se conhece o último termo mas não n, calcule n por (an − a1) ÷ r + 1.
Porque é que a fórmula divide por 2?
Porque, ao somar os termos de frente para trás e de trás para a frente, cada termo é contado duas vezes. A multiplicação (a1 + an) × n é o dobro da soma, e dividir por 2 repõe o valor certo.
Como somo apenas alguns termos do meio, por exemplo do 5.º ao 10.º?
Há duas vias. Pode calcular S10 − S4. Ou usar diretamente n = 10 − 5 + 1 = 6 termos, com primeiro termo a5 e último a10: (a5 + a10) × 6 ÷ 2.
A fórmula serve para uma PA decrescente?
Serve, tal como está. Em 40, 36, 32, …, com 8 termos, a8 = 40 − 7 × 4 = 12 e S8 = (40 + 12) × 8 ÷ 2 = 52 × 4 = 208. A razão negativa limita-se a entrar no cálculo de an.
Resumo
- Sn = (a1 + an) × n ÷ 2 soma os n primeiros termos de uma PA.
- Sem o último termo: Sn = (2a1 + (n − 1) × r) × n ÷ 2.
- A fórmula nasce da ideia dos pares: termos equidistantes dos extremos têm a mesma soma.
- O número de termos de a1 a an é n = (an − a1) ÷ r + 1.
- Verifique sempre com a outra forma da fórmula.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Os temas «O que é uma progressão aritmética?» e «Termo geral de uma progressão aritmética», nesta secção.
- O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre sucessões e séries aritméticas.
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