Matemática · 10.ª–12.ª classe

Como determinar o termo geral de uma sucessão?

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Resposta curta

Para determinar o termo geral un de uma sucessão, observe os primeiros termos, descubra como cada um depende da sua posição n e escreva essa regra como fórmula. Se a diferença entre termos consecutivos é constante, trata-se de uma progressão aritmética; se o quociente é constante, de uma progressão geométrica. Confirme sempre a fórmula nos termos dados.

Quando se aplica

Uma sucessão é uma lista ordenada de números u1, u2, u3, … em que cada termo tem uma posição n (1, 2, 3, …). O termo geral un é a expressão que dá o valor do termo de ordem n só a partir de n. Com ele calcula-se qualquer termo sem escrever os anteriores: o 50.º, o 200.º, ou descobre-se em que posição aparece um valor.

Há duas formas de definir uma sucessão, e convém não as confundir:

  • Termo geral: un = 3n + 2. Basta substituir n.
  • Definição por recorrência: u1 = 5 e un+1 = un + 3. Cada termo depende do anterior, por isso para chegar ao 50.º teria de calcular os 49 anteriores.

Esta página mostra como passar da lista de termos (ou da recorrência) para o termo geral.

Pré-requisitos

  • Operar com potências, frações e números negativos.
  • Saber o que são progressões aritméticas e geométricas (diferença ou quociente constante entre termos consecutivos).

Método passo a passo

  1. Escreva uma tabela com a posição n e o termo un, para pelo menos quatro ou cinco termos.
  2. Calcule as diferenças u2 − u1, u3 − u2, … Se forem todas iguais a d, a sucessão é uma progressão aritmética e un = u1 + (n − 1) × d.
  3. Se as diferenças não são constantes, calcule os quocientes u2 ÷ u1, u3 ÷ u2, … Se forem todos iguais a q, a sucessão é uma progressão geométrica e un = u1 × qn − 1.
  4. Se nenhuma das duas serve, procure um padrão ligado a n: quadrados, potências de 2, números pares ou ímpares, frações com numerador e denominador a variar, sinais alternados.
  5. Escreva a fórmula candidata e simplifique-a.
  6. Verifique substituindo n = 1, 2, 3 e mais um valor: tem de reproduzir todos os termos dados.

Padrões que aparecem com frequência

TermosTermo geral un
2, 4, 6, 8, …2n
1, 3, 5, 7, …2n − 1
1, 4, 9, 16, …n2
2, 4, 8, 16, …2n
3, 6, 12, 24, …3 × 2n − 1
−1, 1, −1, 1, …(−1)n
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …n ÷ (n + 1)
1, 3, 6, 10, …n × (n + 1) ÷ 2

Nota

Alguns termos iniciais não determinam a sucessão de forma única: duas fórmulas diferentes podem coincidir nos primeiros termos e divergir depois. Por isso os enunciados de exame costumam dar a regra de formação, ou pedem a fórmula mais simples compatível com os termos dados.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Diferença constante

Enunciado: Determine o termo geral da sucessão 5, 8, 11, 14, … e calcule o 10.º termo.

Resolução:

  1. Diferenças: 8 − 5 = 3; 11 − 8 = 3; 14 − 11 = 3. São constantes, d = 3.
  2. un = u1 + (n − 1) × d = 5 + 3(n − 1) = 5 + 3n − 3 = 3n + 2.
  3. u10 = 3 × 10 + 2 = 32.

Resposta: un = 3n + 2 e u10 = 32. Verificação: n = 1 dá 5; n = 4 dá 14. Ambos coincidem com a lista.

Exemplo 2 — Quociente constante

Enunciado: Determine o termo geral de 3, 6, 12, 24, … e o 7.º termo.

Resolução:

  1. Diferenças: 3, 6, 12 — não são constantes.
  2. Quocientes: 6 ÷ 3 = 2; 12 ÷ 6 = 2; 24 ÷ 12 = 2. São constantes, q = 2.
  3. un = u1 × qn − 1 = 3 × 2n − 1.
  4. u7 = 3 × 26 = 3 × 64 = 192.

Resposta: un = 3 × 2n − 1 e u7 = 192. Verificação: u4 = 3 × 23 = 24, como na lista.

Exemplo 3 — Padrão com quadrados

Enunciado: Determine o termo geral de 2, 5, 10, 17, 26, …

Resolução:

  1. Diferenças: 3, 5, 7, 9 — não são constantes. Quocientes: 2,5; 2; 1,7 — também não.
  2. Compare com os quadrados 1, 4, 9, 16, 25: cada termo é o quadrado da posição mais 1 (2 = 1 + 1; 5 = 4 + 1; 10 = 9 + 1; …).
  3. Fórmula candidata: un = n2 + 1.

Resposta: un = n2 + 1. Verificação: n = 5 dá 25 + 1 = 26, como na lista; e u6 = 37, que mantém as diferenças a crescer de 2 em 2 (26 + 11 = 37).

Exemplo 4 — Sinais alternados (nível de exame)

Enunciado: Determine o termo geral de 1/2, −2/3, 3/4, −4/5, …

Resolução:

  1. Separe o valor absoluto do sinal. Valores absolutos: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 — o numerador é n e o denominador é n + 1, logo n ÷ (n + 1).
  2. Sinais: +, −, +, −. Para n = 1 o sinal é positivo, por isso usa-se (−1)n + 1 (expoente 2 para n = 1, que dá +1).
  3. Junte as duas partes: un = (−1)n + 1 × n ÷ (n + 1).

Resposta: un = (−1)n + 1 × n ÷ (n + 1). Verificação: n = 2 dá (−1)3 × 2/3 = −2/3; n = 3 dá (+1) × 3/4 = 3/4; n = 4 dá −4/5.

Erros frequentes

  • Concluir a partir de dois termos. Dois termos servem para uma hipótese, não para uma fórmula; confirme com pelo menos quatro.
  • Escrever n em vez de n − 1 na fórmula da progressão geométrica (ou esquecer o − 1 na aritmética). Teste n = 1: tem de dar o primeiro termo.
  • Trocar a posição de partida. Se a lista começa em u0, a fórmula muda; veja o enunciado.
  • Esquecer os sinais alternados. Termos que mudam de sinal pedem (−1)n ou (−1)n + 1; escolha o expoente testando n = 1.
  • Calcular −22 como 4. Sem parênteses, −22 = −4; (−2)2 = 4.
  • Não verificar. Substituir três ou quatro valores de n demora um minuto e apanha quase todos os erros.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Um estudante poupa 500 Kz na 1.ª semana, 700 Kz na 2.ª, 900 Kz na 3.ª e assim sucessivamente. Escreva o termo geral da sucessão das poupanças semanais.

Ver dica

Calcule a diferença entre semanas consecutivas.

Ver solução

As diferenças são 700 − 500 = 200 e 900 − 700 = 200, logo d = 200 e u1 = 500. Então un = 500 + 200(n − 1) = 200n + 300. Verificação: n = 3 dá 600 + 300 = 900.

2Exercício 2

Determine o termo geral de 5, 10, 20, 40, … e calcule o 8.º termo.

Ver solução

Quociente constante q = 10 ÷ 5 = 2, u1 = 5. Então un = 5 × 2n − 1. u8 = 5 × 27 = 5 × 128 = 640. Verificação: u4 = 5 × 8 = 40.

3Exercício 3

Determine o termo geral de 3, 8, 15, 24, 35, …

Ver dica

Some 1 a cada termo e compare com os quadrados.

Ver solução

Somando 1: 4, 9, 16, 25, 36, que são 22, 32, 42, 52, 62, ou seja (n + 1)2. Logo un = (n + 1)2 − 1 = n2 + 2n + 1 − 1 = n2 + 2n. Verificação: n = 1 dá 3; n = 4 dá 16 + 8 = 24.

4Exercício 4

Uma sucessão é definida por u1 = 10 e un+1 = un − 3. Determine o termo geral e diga que termo é igual a −8.

Ver solução

Cada termo é o anterior menos 3: é uma progressão aritmética com d = −3. un = 10 − 3(n − 1) = 13 − 3n. Para un = −8: 13 − 3n = −8, 3n = 21, n = 7. Verificação: u7 = 13 − 21 = −8.

5Exercício 5

Determine o termo geral de 2, −4, 8, −16, 32, … e calcule u8.

Ver dica

Calcule o quociente entre termos consecutivos, sem ignorar o sinal.

Ver solução

Quocientes: −4 ÷ 2 = −2; 8 ÷ (−4) = −2; −16 ÷ 8 = −2. É uma progressão geométrica com q = −2 e u1 = 2. Então un = 2 × (−2)n − 1. u8 = 2 × (−2)7 = 2 × (−128) = −256. Verificação: u3 = 2 × 4 = 8.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre termo geral e definição por recorrência?

O termo geral dá un diretamente em função de n; a recorrência dá cada termo em função do anterior. Com o termo geral calcula-se o 100.º termo de uma só vez; com a recorrência é preciso passar por todos os anteriores, a menos que a converta numa fórmula.

Os primeiros termos chegam para provar a fórmula?

Não. Verificar alguns termos só mostra que a fórmula é compatível com eles. Para demonstrar que vale para todo o n usa-se, em muitos programas, o princípio de indução matemática; confirme no manual se o seu nível o inclui.

Como sei se devo procurar diferença ou quociente constante?

Comece sempre pela diferença: é a verificação mais rápida. Se falhar, teste o quociente. Se também falhar, compare os termos com sequências conhecidas (quadrados, potências, números pares e ímpares) e olhe para o sinal.

A posição começa em 1 ou em 0?

Na maioria dos exercícios do secundário n começa em 1. Se o enunciado indicar u0 ou n ≥ 0, ajuste a fórmula: numa progressão aritmética passa a ser un = u0 + n × d.

Resumo

  • O termo geral un dá cada termo apenas em função da posição n.
  • Teste primeiro a diferença constante (progressão aritmética) e depois o quociente constante (progressão geométrica).
  • Se nenhuma serve, compare com quadrados, potências, pares/ímpares e trate separadamente o sinal.
  • Verifique a fórmula com n = 1, 2, 3 e mais um valor.
  • Uma recorrência pode ser convertida em termo geral quando é aritmética ou geométrica.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Os temas seguintes desta secção: progressões aritméticas e geométricas, com as fórmulas do termo geral e da soma.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), no capítulo sobre sucessões e séries.

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