Matemática · 10.ª–12.ª classe

Como calcular o termo geral de uma progressão aritmética?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

O termo geral de uma progressão aritmética é an = a1 + (n − 1) × r, onde a1 é o primeiro termo, r a razão e n a posição do termo. Para o calcular, identifique a1 e r e substitua. Exemplo: a1 = 5 e r = 3 dão an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, e o 10.º termo é 32.

Fórmula e significado de cada letra

Termo geral de uma PA

an = a1 + (n − 1) × r

LetraSignificado
antermo de ordem n (o que se quer calcular)
a1primeiro termo da progressão
nposição do termo (1, 2, 3, …)
rrazão: a2 − a1

De onde vem a fórmula

Cada passo de um termo para o seguinte soma r. Então a2 = a1 + r, a3 = a1 + 2r, a4 = a1 + 3r. Para chegar ao termo de ordem n são precisos n − 1 passos, e daí o fator (n − 1). Repare que o número de razões somadas é sempre uma unidade abaixo da posição.

Variante útil

Se conhecer um termo qualquer ap (e não o primeiro), pode partir dele:

Partir de um termo qualquer

an = ap + (n − p) × r

Em particular, a razão entre dois termos não consecutivos obtém-se por r = (aq − ap) ÷ (q − p).

Condições de aplicação

  • A sucessão tem de ser mesmo uma PA: diferença constante entre termos consecutivos.
  • A posição n é um número natural (1, 2, 3, …). Se o cálculo der um n fracionário ou negativo, esse valor não é termo da progressão.

Passo a passo

  1. Confirme que é uma PA calculando duas ou três diferenças consecutivas.
  2. Identifique a1 (primeiro termo) e r (razão, com o sinal correto).
  3. Substitua na fórmula an = a1 + (n − 1) × r.
  4. Simplifique a expressão (elimine o parêntese): fica da forma r × n + (a1 − r).
  5. Calcule o termo pedido, ou resolva a equação em n se quiser saber a posição de um valor.
  6. Verifique com n = 1, que tem de dar a1, e com outro termo conhecido.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Calcular um termo

Enunciado: Numa PA, a1 = 4 e r = 3. Escreva o termo geral e calcule a20.

Resolução:

  1. an = 4 + (n − 1) × 3 = 4 + 3n − 3 = 3n + 1.
  2. a20 = 3 × 20 + 1 = 61.

Resposta: an = 3n + 1 e a20 = 61. Verificação: diretamente, 4 + 19 × 3 = 4 + 57 = 61.

Exemplo 2 — Descobrir a posição de um valor

Enunciado: Na PA 7, 12, 17, 22, …, que termo é igual a 102?

Resolução:

  1. a1 = 7 e r = 12 − 7 = 5, logo an = 7 + 5(n − 1) = 5n + 2.
  2. Igualar a 102: 5n + 2 = 102, 5n = 100, n = 20.

Resposta: 102 é o 20.º termo. Verificação: a20 = 7 + 19 × 5 = 7 + 95 = 102.

Exemplo 3 — Um valor pode não ser termo

Enunciado: O número 150 é termo da PA 8, 14, 20, 26, …?

Resolução:

  1. a1 = 8 e r = 6, logo an = 8 + 6(n − 1) = 6n + 2.
  2. 6n + 2 = 150 → 6n = 148 → n = 148 ÷ 6 ≈ 24,67.
  3. A posição tem de ser um número natural, e 24,67 não é.

Resposta: 150 não é termo da progressão. Verificação: a24 = 6 × 24 + 2 = 146 e a25 = 152; o 150 fica entre os dois.

Exemplo 4 — Dois termos não consecutivos (nível de exame)

Enunciado: Numa PA, a3 = 11 e a8 = 31. Determine a razão, o primeiro termo, o termo geral e a15.

Resolução:

  1. Entre o 3.º e o 8.º termo há 8 − 3 = 5 razões: 5r = 31 − 11 = 20, logo r = 4.
  2. a1 = a3 − 2r = 11 − 8 = 3.
  3. an = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1.
  4. a15 = 4 × 15 − 1 = 59.

Resposta: r = 4, a1 = 3, an = 4n − 1 e a15 = 59. Verificação: a3 = 12 − 1 = 11 e a8 = 32 − 1 = 31, como no enunciado.

Erros frequentes no cálculo

  • Usar n em vez de n − 1. Com n, o primeiro termo sairia a1 + r. Teste sempre n = 1.
  • Errar o sinal da razão. Em 50, 46, 42 a razão é −4; a fórmula fica 50 − 4(n − 1) e não 50 + 4(n − 1).
  • Distribuir mal o parêntese. 5 + 3(n − 1) = 5 + 3n − 3 = 3n + 2; um erro comum é escrever 5 + 3n − 1.
  • Aceitar posições não naturais. Se n não é inteiro positivo, o valor não pertence à progressão.
  • Contar razões a mais ou a menos quando se parte de um termo que não é o primeiro: do termo p ao termo n há n − p razões.
  • Esquecer a unidade ou o contexto num problema de aplicação (Kz, semanas, filas).

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Numa PA, a1 = 6 e r = 5. Escreva o termo geral e calcule a12.

Ver solução

an = 6 + 5(n − 1) = 5n + 1. a12 = 5 × 12 + 1 = 61. Verificação: 6 + 11 × 5 = 6 + 55 = 61.

2Exercício 2

Considere a PA 50, 46, 42, 38, … Escreva o termo geral e determine o primeiro termo negativo.

Ver dica

A razão é negativa. Resolva a desigualdade an < 0.

Ver solução

r = −4 e an = 50 − 4(n − 1) = 54 − 4n. Condição 54 − 4n < 0 → n > 13,5, logo n = 14 e o primeiro termo negativo é a14 = 54 − 56 = −2. Verificação: a13 = 54 − 52 = 2 > 0.

3Exercício 3

Numa PA, a1 = 2 e r = 7. Que termo é igual a 156?

Ver solução

2 + 7(n − 1) = 156 → 7(n − 1) = 154 → n − 1 = 22 → n = 23. Verificação: 2 + 22 × 7 = 2 + 154 = 156.

4Exercício 4

Uma pessoa deposita 1 000 Kz no 1.º mês e, em cada mês seguinte, deposita mais 250 Kz do que no anterior. (a) Quanto deposita no 12.º mês? (b) Em que mês deposita 5 000 Kz?

Ver solução

É uma PA com a1 = 1 000 e r = 250, logo an = 1 000 + 250(n − 1). (a) a12 = 1 000 + 11 × 250 = 1 000 + 2 750 = 3 750 Kz. (b) 1 000 + 250(n − 1) = 5 000 → 250(n − 1) = 4 000 → n − 1 = 16 → n = 17, isto é, no 17.º mês.

5Exercício 5

Numa PA, a4 = 17 e a9 = 42. Determine a razão, a1, o termo geral e a30.

Ver dica

Entre o 4.º e o 9.º termo há cinco razões.

Ver solução

5r = 42 − 17 = 25 → r = 5. a1 = a4 − 3r = 17 − 15 = 2. an = 2 + 5(n − 1) = 5n − 3. a30 = 5 × 30 − 3 = 147. Verificação: a4 = 20 − 3 = 17 e a9 = 45 − 3 = 42.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do termo geral de uma PA?

É an = a1 + (n − 1) × r. Lê-se: o termo de ordem n é o primeiro termo mais (n − 1) vezes a razão.

E se a progressão começar no termo de ordem zero?

Nesse caso há um termo a0 e a fórmula passa a ser an = a0 + n × r, porque já não é preciso subtrair 1. O enunciado indica sempre de onde parte a numeração; na dúvida, assuma que começa em 1.

Como verificar se o resultado está correto?

Substitua n = 1 na expressão simplificada: tem de dar o primeiro termo. Depois substitua a posição de outro termo conhecido. Se os dois coincidirem, a fórmula está certa.

Como calculo a razão se só conheço dois termos afastados?

Subtraia os valores e divida pelo número de posições que os separam: r = (aq − ap) ÷ (q − p). No exemplo 4, (31 − 11) ÷ (8 − 3) = 20 ÷ 5 = 4.

Resumo

  • an = a1 + (n − 1) × r dá qualquer termo de uma PA sem escrever os anteriores.
  • O fator (n − 1) conta quantas vezes se soma a razão.
  • Com dois termos conhecidos, r = (aq − ap) ÷ (q − p).
  • Para saber a posição de um valor, resolva uma equação em n; o resultado tem de ser natural.
  • Confirme sempre com n = 1 e com um termo dado.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O tema «O que é uma progressão aritmética?» e o tema da soma dos termos, nesta mesma secção.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre sucessões aritméticas.

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