Matemática · 10.ª–12.ª classe

O que é uma progressão aritmética?

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Resposta curta

Uma progressão aritmética (PA) é uma sucessão de números em que cada termo, a partir do segundo, se obtém somando ao anterior um número fixo, chamado razão (r). Exemplo: 3, 7, 11, 15, … tem razão r = 4. Se r > 0 a PA é crescente; se r < 0 é decrescente; se r = 0 é constante.

Definição e características

Numa PA, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é a razão, representada por r:

Definição

an+1 = an + r ou r = an+1 − an

A lista 3, 7, 11, 15, 19, … é uma PA porque 7 − 3 = 4, 11 − 7 = 4, 15 − 11 = 4, e assim por diante: r = 4.

Terminologia

  • a1: o primeiro termo.
  • an: o termo de ordem n (o n-ésimo termo).
  • r: a razão (alguns manuais usam d, de «diferença»).
  • n: o número de termos considerados, ou a posição de um termo.

Classificação pela razão

RazãoTipo de PAExemplo
r > 0crescente2, 5, 8, 11, … (r = 3)
r < 0decrescente20, 15, 10, 5, … (r = −5)
r = 0constante7, 7, 7, 7, …

Propriedades que mais se usam

  • Termo médio: em três termos consecutivos, o do meio é a média aritmética dos outros dois: an = (an−1 + an+1) ÷ 2. Em 3, 7, 11: (3 + 11) ÷ 2 = 7.
  • Termos equidistantes: se p + q = s + t, então ap + aq = as + at. Em 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20: a2 + a5 = 5 + 14 = 19 e a3 + a4 = 8 + 11 = 19.
  • Três termos em PA podem escrever-se x − r, x e x + r, o que simplifica muitos problemas.
  • Ligação à função afim: os termos de uma PA são valores de uma função afim de n (an = r × n + b), por isso, no gráfico, ficam alinhados.

Exemplos do quotidiano

  • Cadeiras num auditório: 12 na primeira fila e mais 3 em cada fila seguinte dão 12, 15, 18, 21, … (r = 3).
  • Poupança semanal: guardar 500 Kz e aumentar 200 Kz por semana dá 500, 700, 900, … (r = 200).
  • Degraus que estreitam: se a largura de cada degrau de uma escada diminui 2 cm em relação ao anterior, as larguras formam uma PA com r = −2.
  • Juro simples: num depósito a juro simples, o capital cresce sempre a mesma quantia por ano.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Reconhecer uma PA

Enunciado: Diga quais das sucessões são progressões aritméticas e indique a razão: (a) 2, 5, 8, 11; (b) 20, 15, 10, 5; (c) 1, 2, 4, 8; (d) 7, 7, 7, 7.

Resolução:

  1. Em cada caso calcule as diferenças entre termos consecutivos.
  2. (a) 5 − 2 = 3; 8 − 5 = 3; 11 − 8 = 3: constantes, r = 3.
  3. (b) 15 − 20 = −5; 10 − 15 = −5; 5 − 10 = −5: r = −5.
  4. (c) 2 − 1 = 1; 4 − 2 = 2: diferentes, não é PA.
  5. (d) todas as diferenças são 0: r = 0.

Resposta: (a), (b) e (d) são PA, com r = 3, r = −5 e r = 0; (c) não é PA. Verificação: em (a), 11 + 3 = 14 seria o termo seguinte, coerente com a regra «somar 3».

Exemplo 2 — Usar o termo médio

Enunciado: Determine x para que x, 2x + 1 e 4x − 1 sejam termos consecutivos de uma PA.

Resolução:

  1. O termo do meio é a média dos outros: 2x + 1 = (x + 4x − 1) ÷ 2.
  2. Multiplique por 2: 2(2x + 1) = 5x − 1, ou seja, 4x + 2 = 5x − 1.
  3. Resolva: 2 + 1 = 5x − 4x, logo x = 3.
  4. Os termos são 3, 7, 11.

Resposta: x = 3. Verificação: 7 − 3 = 4 e 11 − 7 = 4, a razão é r = 4.

Exemplo 3 — Três termos com soma e produto

Enunciado: Três números em PA têm soma 24 e produto 480. Determine-os.

Resolução:

  1. Escreva os números como x − r, x e x + r.
  2. Soma: (x − r) + x + (x + r) = 3x = 24, logo x = 8.
  3. Produto: 8 × (8 − r) × (8 + r) = 8 × (64 − r2) = 480, logo 64 − r2 = 60 e r2 = 4, r = 2 ou r = −2.
  4. Com r = 2 obtém-se 6, 8, 10; com r = −2, os mesmos números por ordem inversa: 10, 8, 6.

Resposta: os números são 6, 8 e 10. Verificação: 6 + 8 + 10 = 24 e 6 × 8 × 10 = 480.

Exemplo 4 — Situação concreta

Enunciado: Num auditório, a 1.ª fila tem 12 cadeiras e cada fila seguinte tem mais 3. Quantas cadeiras tem a 5.ª fila?

Resolução:

  1. É uma PA com a1 = 12 e r = 3.
  2. Para chegar da 1.ª à 5.ª fila somam-se 4 razões: 12 + 4 × 3 = 12 + 12 = 24.

Resposta: a 5.ª fila tem 24 cadeiras. Verificação: listando, 12, 15, 18, 21, 24: o quinto termo é 24.

Erros frequentes

  • Confundir PA com progressão geométrica. Na PA soma-se um valor fixo; na geométrica multiplica-se. Em 2, 4, 8, 16 a diferença muda (2, 4, 8), logo não é PA.
  • Verificar só duas diferenças. Em 1, 3, 5, 8, as duas primeiras diferenças são 2, mas a terceira é 3. Teste todas.
  • Perder o sinal da razão. Em 20, 15, 10 a razão é −5, não 5; subtraia sempre «termo seguinte − termo anterior».
  • Inverter a subtração. r = a2 − a1, e não a1 − a2.
  • Achar que a razão tem de ser positiva ou inteira. Pode ser negativa, nula ou fracionária: 1; 1,5; 2; 2,5 tem r = 0,5.
  • Contar mal as razões entre dois termos. Do 2.º ao 7.º termo há 5 razões (7 − 2), e não 6.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Diga se 4, 9, 14, 19, … é uma PA e, em caso afirmativo, indique a razão e o termo seguinte.

Ver solução

9 − 4 = 5; 14 − 9 = 5; 19 − 14 = 5. É uma PA crescente com r = 5. O termo seguinte é 19 + 5 = 24.

2Exercício 2

Classifique a PA 50, 44, 38, 32, … (crescente, decrescente ou constante) e escreva mais dois termos.

Ver solução

44 − 50 = −6, logo r = −6 < 0: PA decrescente. Termos seguintes: 32 − 6 = 26 e 26 − 6 = 20.

3Exercício 3

A sucessão 1, 3, 6, 10, 15, … é uma PA? Justifique.

Ver dica

Calcule as diferenças entre termos consecutivos.

Ver solução

As diferenças são 3 − 1 = 2, 6 − 3 = 3, 10 − 6 = 4, 15 − 10 = 5: não são constantes, logo não é uma PA. (As diferenças formam, elas próprias, uma PA de razão 1.)

4Exercício 4

Determine x para que x + 1, 2x + 3 e 4x − 1 sejam termos consecutivos de uma PA e escreva os três termos.

Ver dica

Use o termo médio: o dobro do termo do meio é igual à soma dos outros dois.

Ver solução

2(2x + 3) = (x + 1) + (4x − 1), isto é, 4x + 6 = 5x, logo x = 6. Os termos são 7, 15 e 23. Verificação: 15 − 7 = 8 e 23 − 15 = 8.

5Exercício 5

Intercale três números entre 2 e 18 de modo que os cinco números formem uma PA.

Ver dica

Entre o 1.º e o 5.º termo há quatro razões.

Ver solução

Com a1 = 2 e a5 = 18, as quatro razões somam 18 − 2 = 16, logo r = 16 ÷ 4 = 4. A PA é 2, 6, 10, 14, 18; os números intercalados são 6, 10 e 14. Verificação: todas as diferenças são 4.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre progressão aritmética e progressão geométrica?

Na aritmética, passa-se de um termo ao seguinte somando sempre o mesmo valor (a razão r). Na geométrica, multiplica-se sempre pelo mesmo valor. Por isso a primeira cresce ou decresce de forma regular, e a segunda cresce ou decresce cada vez mais depressa.

A razão pode ser zero ou negativa?

Pode. Com r = 0 todos os termos são iguais (PA constante); com r negativa os termos diminuem (PA decrescente). Só a progressão geométrica tem a restrição de a razão não poder ser zero.

Onde se usa uma PA na prática?

Em qualquer situação em que algo aumenta ou diminui sempre a mesma quantidade: juro simples, aumentos salariais fixos por escalão, filas de cadeiras ou de pilhas de objetos, ou o número de lugares de bancadas que aumenta sempre o mesmo de fila para fila.

Como posso saber se três números estão em PA sem calcular a razão?

Verifique se o dobro do número do meio é igual à soma dos outros dois. Por exemplo, 5, 9, 13: 2 × 9 = 18 e 5 + 13 = 18, logo estão em PA.

Resumo

  • Numa PA, cada termo é o anterior mais a razão r (constante).
  • A razão obtém-se por r = an+1 − an, sempre com o sinal certo.
  • r > 0: crescente; r < 0: decrescente; r = 0: constante.
  • O termo do meio de três termos consecutivos é a média dos extremos.
  • Para resolver problemas com três termos, escreva-os como x − r, x, x + r.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Os temas seguintes desta secção: termo geral e soma dos termos de uma progressão aritmética.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), no capítulo sobre sucessões aritméticas.

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