Matemática · 10.ª–12.ª classe

O que é uma progressão geométrica?

  • 10 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Uma progressão geométrica (PG) é uma sucessão em que cada termo, a partir do segundo, se obtém multiplicando o anterior por um número fixo, diferente de zero, chamado razão (q). Exemplo: 2, 6, 18, 54, … tem razão q = 3. A razão obtém-se dividindo qualquer termo pelo termo anterior.

Definição e características

Numa PG, o quociente entre dois termos consecutivos é sempre o mesmo. Esse quociente é a razão, representada por q:

Definição

an+1 = an × q ou q = an+1 ÷ an

A lista 2, 6, 18, 54, 162, … é uma PG porque 6 ÷ 2 = 3, 18 ÷ 6 = 3, 54 ÷ 18 = 3 e 162 ÷ 54 = 3. Em regra, exige-se que o primeiro termo e a razão sejam diferentes de zero (confirme no seu manual): se q = 0, o quociente entre termos deixa de estar definido.

Terminologia

  • a1: primeiro termo.
  • an: termo de ordem n.
  • q: razão (alguns manuais usam r; confirme a notação do seu).
  • Numa PG os termos crescem ou diminuem por multiplicação: a distância entre termos vizinhos não é constante, ao contrário da progressão aritmética.

Classificação (com a1 > 0)

RazãoComportamentoExemplo
q > 1crescente3, 6, 12, 24, … (q = 2)
0 < q < 1decrescente81, 27, 9, 3, … (q = 1/3)
q = 1constante5, 5, 5, 5, …
q < 0alternada (sinais trocam)5, −10, 20, −40, … (q = −2)

Se a1 < 0, o comportamento inverte-se nos dois primeiros casos: −8, −4, −2, −1, … (q = 1/2) é crescente.

Propriedades úteis

  • Termo médio: se a, b, c são termos consecutivos, então b2 = a × c. Em 2, 6, 18: 62 = 36 = 2 × 18.
  • Termos equidistantes: se m + n = s + t, então am × an = as × at. Em 1, 2, 4, 8, 16, 32: 2 × 16 = 4 × 8 = 32.
  • Três termos em PG podem escrever-se x ÷ q, x e x × q, o que simplifica problemas com produto dado.

Exemplos do quotidiano

  • Dobrar de dia para dia: uma notícia que, em cada dia, chega ao dobro das pessoas do dia anterior (1, 2, 4, 8, …) forma uma PG de razão 2, enquanto o modelo se mantiver.
  • Desvalorização: um telemóvel que perde 10% do valor por ano passa a valer 90% do anterior; os valores formam uma PG de razão 0,9.
  • Juros compostos: um capital que rende uma percentagem fixa por ano é multiplicado sempre pelo mesmo fator.
  • Metade de cada vez: um tanque a esvaziar-se de modo a ficar com metade da água a cada hora forma uma PG de razão 1/2.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Reconhecer uma PG

Enunciado: Diga quais das sucessões são progressões geométricas e indique a razão: (a) 3, 6, 12, 24; (b) 81, 27, 9, 3; (c) 5, −10, 20, −40; (d) 1, 2, 3, 4.

Resolução:

  1. Em cada caso calcule o quociente entre termos consecutivos.
  2. (a) 6 ÷ 3 = 2; 12 ÷ 6 = 2; 24 ÷ 12 = 2: q = 2.
  3. (b) 27 ÷ 81 = 1/3; 9 ÷ 27 = 1/3; 3 ÷ 9 = 1/3: q = 1/3.
  4. (c) −10 ÷ 5 = −2; 20 ÷ (−10) = −2; −40 ÷ 20 = −2: q = −2.
  5. (d) 2 ÷ 1 = 2, mas 3 ÷ 2 = 1,5: quocientes diferentes.

Resposta: (a), (b) e (c) são PG, com q = 2, q = 1/3 e q = −2; (d) não é PG. Verificação: em (c), 5 × (−2) = −10 e −40 × (−2) = 80 seria o termo seguinte, mantendo a alternância de sinais.

Exemplo 2 — Termo médio

Enunciado: Determine x de modo que 2, x e 18 sejam termos consecutivos de uma PG.

Resolução:

  1. O quadrado do termo do meio é o produto dos extremos: x2 = 2 × 18 = 36.
  2. Logo x = 6 ou x = −6.
  3. Com x = 6: 2, 6, 18 (q = 3). Com x = −6: 2, −6, 18 (q = −3).

Resposta: x = 6 ou x = −6. Verificação: 6 ÷ 2 = 3 e 18 ÷ 6 = 3; −6 ÷ 2 = −3 e 18 ÷ (−6) = −3.

Exemplo 3 — Desvalorização

Enunciado: Um telemóvel custa 100 000 Kz e perde 10% do seu valor em cada ano. Mostre que os valores sucessivos formam uma PG e escreva os valores ao fim de 1, 2, 3 e 4 anos.

Resolução:

  1. Perder 10% é ficar com 90% do valor anterior, ou seja, multiplicar por 0,9.
  2. Ao fim de 1 ano: 100 000 × 0,9 = 90 000 Kz.
  3. Ao fim de 2 anos: 90 000 × 0,9 = 81 000 Kz.
  4. Ao fim de 3 anos: 81 000 × 0,9 = 72 900 Kz.
  5. Ao fim de 4 anos: 72 900 × 0,9 = 65 610 Kz.

Resposta: os valores formam uma PG de razão q = 0,9: 90 000; 81 000; 72 900; 65 610 Kz. Verificação: 81 000 ÷ 90 000 = 0,9 e 65 610 ÷ 72 900 = 0,9.

Exemplo 4 — Três termos com soma e produto (nível de exame)

Enunciado: Três números positivos em PG têm soma 21 e produto 216. Determine-os.

Resolução:

  1. Escreva-os como x ÷ q, x e x × q. O produto é (x ÷ q) × x × (x × q) = x3 = 216, logo x = 6.
  2. Soma: 6 ÷ q + 6 + 6q = 21, isto é, 6 ÷ q + 6q = 15.
  3. Multiplique por q: 6 + 6q2 = 15q, ou seja, 6q2 − 15q + 6 = 0, que dividida por 3 dá 2q2 − 5q + 2 = 0.
  4. Δ = 25 − 16 = 9, logo q = (5 ± 3) ÷ 4, ou seja, q = 2 ou q = 1/2.
  5. Com q = 2: 3, 6, 12. Com q = 1/2: 12, 6, 3 (a mesma terna por ordem inversa).

Resposta: os números são 3, 6 e 12. Verificação: 3 + 6 + 12 = 21 e 3 × 6 × 12 = 216.

Erros frequentes

  • Confundir PG com PA. Em 2, 4, 6, 8 soma-se 2 (aritmética); em 2, 4, 8, 16 multiplica-se por 2 (geométrica).
  • Calcular a razão por subtração. Em 3, 6, 12, a diferença 6 − 3 = 3 não é igual a 12 − 6 = 6; a razão é o quociente.
  • Inverter o quociente. q = termo seguinte ÷ termo anterior, e não o contrário (em 81, 27, 9, a razão é 1/3, não 3).
  • Esquecer que a razão pode ser negativa ou fracionária. Uma PG pode alternar sinais (q < 0) ou diminuir (0 < q < 1).
  • Aceitar razão zero. Com q = 0 os termos a partir do segundo seriam todos 0; fica de fora da definição.
  • Esquecer uma das soluções no termo médio. De x2 = 36 saem x = 6 e x = −6; verifique se o enunciado exclui alguma.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

A sucessão 4, 12, 36, 108, … é uma PG? Em caso afirmativo, indique a razão e o termo seguinte.

Ver solução

12 ÷ 4 = 3; 36 ÷ 12 = 3; 108 ÷ 36 = 3. É uma PG crescente de razão 3. O termo seguinte é 108 × 3 = 324.

2Exercício 2

Indique a razão da PG 100, 50, 25, 12,5, … e escreva o termo seguinte.

Ver solução

50 ÷ 100 = 0,5; 25 ÷ 50 = 0,5; 12,5 ÷ 25 = 0,5. A razão é q = 0,5 (PG decrescente). O termo seguinte é 12,5 × 0,5 = 6,25.

3Exercício 3

Determine x de modo que 3, x e 12 sejam termos consecutivos de uma PG.

Ver dica

Use x2 = produto dos extremos e não se esqueça das duas raízes.

Ver solução

x2 = 3 × 12 = 36, logo x = 6 ou x = −6. Verificação: 3, 6, 12 tem razão 2; 3, −6, 12 tem razão −2.

4Exercício 4

Um depósito tem 800 litros de água. A cada hora fica com metade da água que tinha na hora anterior. (a) Os volumes formam uma PG? Qual é a razão? (b) Quantos litros restam ao fim de 5 horas?

Ver solução

(a) Sim: cada volume é o anterior multiplicado por 1/2, logo q = 1/2. (b) 800 → 400 → 200 → 100 → 50 → 25. Restam 25 litros. Verificação: 800 × (1/2)5 = 800 ÷ 32 = 25.

5Exercício 5

Três números positivos em PG têm soma 13 e produto 27. Determine-os.

Ver dica

Escreva os números como x ÷ q, x e x × q. O produto dá logo x.

Ver solução

Produto: x3 = 27, logo x = 3. Soma: 3 ÷ q + 3 + 3q = 13, isto é, 3 ÷ q + 3q = 10. Multiplicando por q: 3 + 3q2 = 10q, ou seja, 3q2 − 10q + 3 = 0. Δ = 100 − 36 = 64, q = (10 ± 8) ÷ 6, logo q = 3 ou q = 1/3. Os números são 1, 3 e 9. Verificação: 1 + 3 + 9 = 13 e 1 × 3 × 9 = 27.

Perguntas frequentes

A razão de uma PG pode ser negativa?

Pode. Com q < 0, os termos alternam de sinal: 5, −10, 20, −40, … Nesse caso a progressão não é nem crescente nem decrescente. O que não pode é ser zero.

Porque é que a razão não pode ser zero?

Se q = 0, todos os termos a partir do segundo seriam 0, e o quociente 0 ÷ 0 não está definido. Por isso a definição de PG exige, em regra, primeiro termo e razão diferentes de zero.

Onde aparece a PG na vida real?

Em fenómenos de variação percentual constante: juros compostos, desvalorização de bens, descontos sucessivos, modelos idealizados de crescimento populacional ou de decaimento radioativo. Em todos eles o valor é multiplicado pelo mesmo fator em períodos iguais.

Como distinguir PA de PG olhando para uma lista?

Calcule a diferença e o quociente entre os dois primeiros pares de termos. Se as diferenças coincidem, é PA; se os quocientes coincidem, é PG; se nenhum coincide, não é nenhuma das duas.

Resumo

  • Numa PG, cada termo é o anterior multiplicado pela razão q, com q ≠ 0.
  • A razão obtém-se por q = termo seguinte ÷ termo anterior.
  • Com a1 > 0: q > 1 cresce, 0 < q < 1 decresce, q < 0 alterna os sinais.
  • Em três termos consecutivos, b2 = a × c.
  • Para problemas com produto dado, escreva os três termos como x ÷ q, x, x × q.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O tema seguinte desta secção, sobre o termo geral de uma progressão geométrica.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre sucessões geométricas.

Continue a estudar

10.ª–12.ª classe8 min

Como calcular o termo geral de uma progressão geométrica?

O termo geral de uma progressão geométrica é an = a1 × qn − 1, em que a1 é o primeiro termo, q a razão e n a posição do termo. Identifique a1 e q, substitua e calcule a…

4 exemplos5 exercícios com solução

10.ª–12.ª classe9 min

Como determinar o termo geral de uma sucessão?

Para determinar o termo geral un de uma sucessão, observe os primeiros termos, descubra como cada um depende da sua posição n e escreva essa regra como fórmula. Se a…

4 exemplos5 exercícios com solução

10.ª–12.ª classe9 min

O que é uma progressão aritmética?

Uma progressão aritmética (PA) é uma sucessão de números em que cada termo, a partir do segundo, se obtém somando ao anterior um número fixo, chamado razão (r)…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Sucessões e progressões